Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 5
Текст из файла (страница 5)
УравнеНf!Я И неравенства, ИХ СОВОКУПНОСТИ И системыТребование <<I~ешить уравнение25означает «найти всеf(x)его корни или доказать, что дarшое уравнение не имеет КОDнеи».Определение.даны два уравнения(1)f1Если каждый корень уравненияуравнение(2);:::: g2(X),иявляется корнем уравнения(1)называется следствием уравнения(2),то(1).в частности, если некоторое уравнение не имеет корней, то любоедругое уравнение будет его следствием.примеры преобразований уравнений, при КОТОРЫХ получается уравнение-:следствие.1.f(x):::: g(x)ЛХ)2.3.=>;:::: loga 9f(х)=>g(x);:::: g(x)4.3аме'{8ние.f 2"(x);::::(х),n Е М.а> О, аf(x:)f(x)i-1.g(x)· h(x).+ '~(x) +g( х).=>Если при решении уравнения использошмся хотя бы одинпереход к уравнению-следствию, то, возможно, были приобретены посторонние корпи.
ПотеряОпределение.при переходе к следствию невозможна.Пусть даны два уравнениякорень уравненияявляетсякаждый корень уравнения(2)(1)и(2). Если каждый(2), и наоборот,уравнения (1), то этикорнем уравненияявляется корнемуравнения называются равносильными.в частности, равносильны любые уравнения, не имеющие корней.равносильных преобразований уравнений.Приведем1.ЛХ);::::а(х){:}2.f(x)= g(x){:}3.f(x) ;:::: g(x){:}4.=g(x){:}5.g(x){:}6.лх){:}:::: g2"+1af(x)n Е М.а> О, аеслиi-1.h(x).266.Замечание.Уравнения и неравенства, их совокупностисистемыJ{Если при решении уравнения применялись только равносильные преобразования, то не происходило ни приобретения, нипотери корней, и позтому дополните.lIьные проверки не требуются.Определение.Пусть даны уравненияи(1)и дано множество(2)принадлежащее пересечению ОД3 этих уравнений.
Еurи каждый корень уравненияуравнения(2),(1),прина.длежашиЙ множеСТlIУ А1, является корнеми наоборот, каждый корень уравнениямножеству М, является корнем уравнения(1),(2),принадлежато эти уравненияназываются ра6носи.лы-tЫ"~ИJ на ,м,ножесmве М.Приведем примеры1.:=равносильных на множестве.g(x) {::}={::} loga.f (х)2.f(x)3.Г( х)g(x) {::}4.I(·т)g(x) {::} f(x)logag(x),а> О,f(x)· J,(.T) = g(x) h(x),а~ О.# 1,f(x), Q(x) >О.# о.J,g(x) =J,(x),= f(x)Пусть даны функции у~ О,f(x),nЕи у= g(x).Если требуется найтивсе числа а, для которых сущеСТlIУЮТ обе эти функции, для: каждогоиз которых выполняется: неравенстпо.f(a) > g(a),то говорят, что1'ребуется: решить неравенсmвоf(x) > g(x).Понятия: 06,ластu.
доnустu..иых зн,а1-1СНu.U, рсшенu.я,с.ледствuJt иpa61-iOсu.,льностu для неравенств вводятся так же, как для уравнений.что переход к СJlеДСТlIИЮ в неравенствах считается нежела1'ельным, поскольку при ЗТО М может быть приобре1'ено бесконечномного ПОС1'оронних решений, отброси1'Ь которые может быть недегко.примеры ра.вносильных неравеНСТБ.ц(х)> О.+ С>g(x)1.f(x) > g(x) {::} f(x)2.((х)з.f(x) > g(x) {::}С· I(х)4.Нх)С· I(х)5.f(x) >q(x)6.f(x) > g(x)>g(x) {::}> g(.T) {::}I(х)a.f(x){::}+С Е>С· g(з:),С> О.<СС. g(x),>ag\x),а><ag(x) ,О<<1.а< 1.О.JR.6.>wа(х)ЛХ)>'! (х) = 9 (х ) .',(х),7.('(х)8.f(x) > g(X)w (f (х ) ) n > (g (х )) n,9.f(x) > g(X)w logaf(x) > logag(x),10.f(x) > g(x)11.j'(x) > g(x) w f(x)·'!(х)> g(x)12.f(x) > g(x)'!(х)<Пусть даныwloga f (х)w f(x)·nQn Е W,о<а <,МХ),а(х)'лх)а> 1,< loga 9 (х ),h(x),~ О,f(x)g(x)>~ О.О, а(х)> О.> О.((:1:), а(х)1,Мх»О.Il(х)< О.у равненийfl(X) = gl(X),Через27и неравенства, их совокупности и системыf2(X) = g2(X),...Jn(x))= g11обозначим пересечение областей допустимыхуравнений.
ОбластьQ называютэтихобластью OOr!UCffiU.AtbIX значе'tШ'Й сонайти все числаQ'из областиQ, каждоеиз которыхявляется корнем хотя бы одного из этих уравнений, или доказать,чтотакихчиселсов ох;уnностьнесуществует,то говорят,чторешитьравнений и пишут= g1(2'),f1(X)f2(X) = g2(X),= gп(х).fn(x)Число()'называют решением СО60х;упности уравнений, если оноявляется решениемхотябыодного уравнения совокупности и приэтом все остальные уравнения этой совокупности имеют смысл, тоесть число()'ПРИlj"адлежит ОД3 совокупности.Например, ур(~внениел(х)·f2(X) ' ... ' fn(x)= О,левая часть которого представляет собой произведениелей, равносильно совокупностиflНезна'iения(х)= О,'-1'1'0 еслиQ' -nnсомножитеуравнеНИIlf2 (х) =О,fn(x)= О.решение совокупностиfi (а) должны БЫ'гь определены!'го все286.Уравнения и неравенства, их совокупности и системыПусть да,ныnлQуравнений9n91обозначим пересечение областей допустимых значений CJтихQОбластьназывают облаеrnью доnуеmи,мых значений сиеmе.М.ЫЕслистимых значенийнайти все числа а, принадлежа,щие области допуQ,каждое из I<ОТОРЫХ является корнем ка,ждого изэтих уравнений, или доказать, что таких 'шсел не существует, то говорят I что требуется решить сисm,е.му ",,~,",пмттz;-',Г'ТЖ~~М'"обознача.ют фигурной скобкойft ~ Х )91 \ '"f2(X)92fn(x)9n(Х).l'{Число а называется решение.м сисmе.мы уравнений,принадлежит обла.сти допустимых значенийиеслионо одновременно являетсяесли это числоQ этой системырешениемкаждого""'''':>Т,тt'i.ТТHKизэтан системы.Теорема (утверждсн:и.я о равНОСИJIЪности систем уравнений).1.
Еслиизменить порядок уравнений системы, то полученная система будет равносильна исходной системе.2. Если какое-либо из уравнений системы заменить 1fa равносильное емууравнение, то полученная система уравнений будет раf!носильна исходнойсистеме.3. Если одно из уравнений системы заменить уравнением, равным сумме этого уравнения, умноженного на некоторое отличное от нуля число,идругого уравнения, умноженного на некоторое отличн~ от нуля число, тополученная система уравнений будет равносильна исходной системе.4.
Пусть одно из уравнений в системе записано в таком виде, что одна изнеизвестных выражена как функция относительно других неизвестных. Тогда, подставив это выражение в другие уравнения системы, получим систему,равносильную исходной системе.5.Если одно из уравнений системы равносильно совокупностинений, то исходная система равносильна совокупностиkkуравсистем уравнений,в каждой из которых это уравнение заменено на соответствующее уравнениеиз упомянутой совокупности.6.
Уравнен~я и неравенства, их совокупности и системы29Линейной системой двух уравнений (или системой двух уравненийпервой степени) с двумя неизвестными будем называть систему видаа13: + tl1Уа2 Х{в которой коэффициенты а1, а2,+ bi f= (:1,+ Ь 2 У = (:2,b1о ии Ь 2 удовлетворяют условиям+ b~ f о.системы двух линейныхвозможны три ситуации:система имеег единст~еllное решение;система имеет бесконечно много решений;система не имеет решений.Рассмотрим геометрическую интерпретацию системы линейнЫХсдвумя неизвестными,которалзачастуюможе'l'ПОМО'IЬпри решении более сложных систем, в частности, при анаJIизе системнескольких линейных уравнений с параметрами.Каждое из JIинейных уравнений системы с двумя неизвестнымизадает на плоскости переменных(х;; у)некоторую прямую линию.Заметим, '-1'1'0 привычное, «ШКОJIьное» уравнение прямой имеет виду= kx + Ь,однако в таком виде может быть задана не всякая прямая на плоскости,а именно,так неможет быть задана вертикадьная прямая х= а.Напротив, динейное уравнениеах+ Ьу + с = Озадает любую прямую, лежащую на плоскости.
Исключение составляютследующие вырожденные случаи:а±:: Ь= о,с=ьсfо .~ пустое множествоилиа0-вся плоскость.На плоскости возможны три случая взаимного расположения двухпрямых. 3'1'и прямые могут:а)пересекаться, в этом случае система имеет единственное решение;б)совпадать, тогда система имеет бесконе'lНО много решений;В)идти парадлельно друг другу, тогда система не имеет решений.7. Формула корней квадратного уравн~ни.в:30Пере'lисленные СЛУ'lаи проиллюстрированы на рис.а)б)уВ)у6.1.ухРис.6.1.Остается выяснить, каким условиям удовлетворяют коэффициенты а1, а2, Ь 1 и Ь 2 линейной системы в каждом из ::этих трех СЛУ'lаев.СЛУ'lай а), когда две прямые пересекаются, имеет место, когдако::эффициенты системы У довлстворяют условию(Х1 f. ~.Ь2СЛУ'lай б), КОГ1\а две прямые совпадают, имеет место, когда их0,2уравнения совпадают, то естьЬ10,1а2С1С2В), когда прямые пара.ллельны, но не совпадают, имеетместо, когда выполнены условияа1 =0,2Замечание.ПОД'lеркнсм,'lTOны не дроби, а пропорции1;1f.
2.С2в последних трех соотношениях записаОнИ имеют смысл и в том СЛУ'lае, когданекоторые из знаменателей ра,вны нулю!7.ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯОпределение.f{6acJpo,ffil~blM yp0,6HCH1J,e,M называется уравнение вида0,.1:2+ Ьх + с = О,в котором ко::эффициент а отличен от нуля. Здесь х-неизвестнаявсли'lина., а коэффициенты уравнения а, Ь и с-- произвольныевительные 'lисла.Если а1,то уравнение на;зывается llриведенным. Квадратноеуравнение называют неполным, если хотя бы один из его ко::эффициентов 1; ИЛИ С равен нулю.7.Определение.Формула корней квадратного уравнения31Число (Х, принадлежащее области допустимых значенийуравненин лх)= g(x), называется его решением, или 'II:OpHe.'d, если приПОДС'l'ановке этогЬ числа вместо переменной в уравнение получаетсяверное ЧИСЛОDое равенствоj'( 0;)9 ((Х).Выведем формулу для корней квадратного уравнения в общемслучае.
Сначала разделим обе части уравнения+ Ьх + сах 2на отличное от нуля число аОот этого его корни не изменятся. Длярешения получившегосн уравненияЬсаа+ -х + -:::: Опреобразуем его левую частьХ2+ -хЬ + -саВыражение ЬвойD.(2Ь + ( -Ь ) 2)а: + 2· -хаЬ )( х+2а2-выделим полный квадрат-2а2- ь + аС2(Ь)- 2+ с:2аь2аь2+ 2а2а4ас-4а 24ас: называют дискриминантом и обо:шачают букИспользуя это обозначение, уравнение(2)можно переписатьв видех2Ь+ -х+ -ас:аВозможны три случая:Случай1.Еслии представитьDD >(1) D>2+ 2аЬхО,2) D ::::D ::::(Гn~2х•2(3)О.3) D <DО.!Jа'ПiЫИD(Гn)2,(2а)2(3)::::О,О, то можно извлечь изв виде полного квадратаи потому равенствоD- -'о2апринимает вид+ аЬ Х + асI= ( х + -2аЬ ) 2(Гn)-- 22аО.По формуле раэности квадратов получаем отсюдаьс+-х+аа= (х -+ ~ _ ГD) (х + Ь + ГD)2а-Ь +2а2а2а(-Ь- ГDх2а2а:::: О.корень7.
Формула корней квадратного уравнения32Так как нроизведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя быодин из множителей равен нулю (при условии, что множители сущестто, следова.тельно, это уравнение имеет два действительных[,орпя-Ь+ГпХlИ2а-Ь-ГпХ22аОбычно эти корни записывают одной=Хl,2или, учитывая, чтоD=Ь2 -Хl,2Случай2.-Ь±(4)2ав виде-Ь ±Vb2 2аЕсли дискриминант DО, тб равенство(3)принимаетвидх 2 + ~ х + ~ = (х + Ьаа22а=О.Поскольку квадрат какого-либо чисда равен нулю, только еС.llИ самоэто число равно нулю, мы должны заК,1ЮЧИТЬ, что в случаеуравнениеD=Оимеет единственный корень(1)ЬХl2а'=:Этот корень можно нолучить с помощьюВ нейDЗамечание.равенформулы= О.случае, когда дискриминант квадра.тного уравнения13нулю,, положивможнота,кжеговорить,чтовэтомслучаеквадра:гноеуравнение имеет два совпадающих корня.Случай3.Если D<О, то -D>)2 +ь+ 2астоящее в левой части уравненияО, и потому выражение(3),ЯВ.lIяется суммой двух слагаемых,первое из которых неотрицатсльно, а второе ПО.!lOжитедьно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
