Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 2
Текст из файла (страница 2)
А. Б. Будаком, доц. В. А. Прошкиным, СТ. Н. С.qepKacoBbIM,СТ. Н. с.В. И. Лебедевым, проф. И. Н. Сергеевым,ДОЦ. А. А. qасовских, Н. с. В. И. Куриловым, н. с. Д. И. Бугровым, доц.И. С. Григорьевым. Всем им авторы признательны за внимание, проявленное к книге.Подчеркнем в~жностьбазового, школьного учебника.твердые знаI..,.ния И уверенное ~ладение материалом учебника совершенно необходимы для Эффективной подготовки к экзаменам и, собственно, длявыполнения экзаменационной работы.
Обратим внимание, что задачиIвынусных и вступительных экзаменов зачастую составляются так,'ITOдаже небольшой чробел в знаниях ведет к фатальным последствиям.При нанисании этой книги не ставил ась задача заменить ею прекрасные, IlpOBepeltHbIe многолетней практикой издания, по которым, вдополнение к привычному школьному учебнику, следует заниматься,чтобы освоитьOCfoBHbleметоды решения экзаменационных задач. Небольшой список тrких пособий, отражающий, прежде всего, симпатииавторов, предлагается в конце книги. Это не означает, что нужно непременно собрать все Э'ГИ книги. Даже две-три из них могут ока.:,атьнеоценимую помощь.Советуем также познакомиться с вариантами задач вступительныхэкзаменов, предлагавшихся в российских вузах, которыев журналах «Квант» и «Математика в школе».Конечно, при сдаче экзамена не последнюю роль сыграют везениеи удача.
Но помните: удача сопутствует упорным!Желаем вам удачи!Авторы просят ЧИ'l'ателей все отклики, пожеJlания и сообщения,связанные с этой книгой, направлять по адресу:119991,г. Москва, Ленинские горы, МГУ, мехмат факультет,Якушевой Е. В., Попову А. В., Якушеву А.или по ЭJlектронному адресу:moidslOyande:x.rur.81.1. Натуральные, рациональные и действительные числаНАТУРАЛЬНЫЕ, РАЦИОНАЛЬНЫЕИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Числа1,2,3, ...Опрсделсние.называются натуральны,ми.Числа вида (-т), где тются отрицательны,ми.Определение.состоящеетельных целыхизвсех'lисел и НУДЯ, называетсяа сами числа называ.ютсяцедыхнатуральное число, называцелыми числами.чисе.rrнатуральных,отрицаМНОЖСС1i~во,м це,лы.х чисел,целы,ми числа,ми.определеныоперациисложенияивычитания,а та.кже умножения; результатом этих операций является целое число.Результа.том де.rrения уже не обязательно является целое число, поэтомудают определение де.rrения цсдых чисел с остатком.Определение.Разделитьс остатко,м,значит найти такие целые числа р ичаС1nНЫ,миостаmх:о,мцелое число асоответственно,на натуральноечтоr,числоqназываемыесправедливоравенство= р.
q + 1', причем остаток r удовлетворяет УС.iIовию О ~ r < q. Еслиостаток r = О, то говорят, что число а делится на число q нацело.а.Теорема.Пусть алюбое целое число иqлюбое натуральное число,Тогда существует единственная пара целых чисел р и 1', удовлетворяющаяусловиям аСледствиеа2q,гдеСледствиеа=р . q + rr< q.1.q2.Любое четное число а может быть представлено в виде3.Любое целое чис.rrо а, де.rrящееся нацело на некотороенекоторое целое число. Любое нечетное число а может быть представлено в виде = 2q + 1, где qСледствиеи О ~натуральное чис.iIонекоторое целое число. q, может быть записано в виде а= kq,гдеkнеКО'l'орое целое число.Следствие4.Любое целое число а, не делящееся нацело на. некотороенатуральное 'lИСЛОодно из чиселОпределение.q, может быть1, 2, ...
, (q -1), а kРа.циона.льны,мизаписано в Rидеd= kq + r,гдеr~некоторое целое число.называютсячисла,которыеможнопредставить в виде дроби ~, г де р ~ целое, а q ~ натуральноечисла..1.Натура.)1ьные, рациональные и действительные числаnДве равные дТ)оби Р и mq(они равны, еслиm .Ч=Р.11,9) являютсязаписями одного ~ того же рационального числа. Чтобы обеспечитьединственность з<iписи рационального числа, дополнительно требуют,чтобы дробь ~ бь~ла несократимоЙ.В десятичной системе счисления рациональные числа записываютсяв виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.Правила дейссгвия с рациональными числами:.1.3.mnр~+~+.qmрnqт·11,·ЧОпределение.2.mn4.mnrnqрq~-~nчр'IП'rzq'п'рИррац'Uональными называют числа, нредставимые в виде бесконечной непериодической десятичной дроби,Определение.Множество всех бесконечных десятичных· дробей (Д.JIЯкоторых определеныпонятия равенства, СУММЫ и произведения этихчисел) наэывается множеством действительн,ых ч'Uсел, а каждая бесконечная десятичная дробь, не оканчивающаяся бесконечной последовательностыо девяток, называется действительны"'.! ч'Uс.лом.в ЦJеДJ::Iеи школе ограничиваются рассмотрением действительныхчиселтолько в"РiЧfСIЧХ'П,.nТХ системе счисления.Для положительного действительного числаао, а1(12 ...
ak...можно определить его nриближен,н,ое значение с недостшщrом=аО,(ll а :г... а kи приближенное Зн,ачен'Uе с избыmк:омatгдеk= ао,(l1 а 2·· ·(lk +натуральное число.Суммой двух действительных чисел называется число, котороебольше (ИЛИ равно) суммы двух любых приближенных их эначений снедостатком, но меньше (или равно) суммы двух любых приближенныхих значений с избытком.Ilроuзведением двух действительных положительных чисел называется число, которое больше (или равно) произведения двух любыхприближенных значений с недостатком, но меньше (или равно) произведения двух любых приближенных их значений с избытком.1.10Натуральные, рациональные и действите~ные числаотрицательных чисел аналогичным образом вводятся соответствующие определения приближенных значений с избытком и недостатком, суммы и произведения.Основные законы сложения и умножения действительных чисел:+Ь1.а2.(а3.а· Ь4.(а.
Ь)с5.(аЬ+а+ Ь) + с(коммутативность сложения);а+ (Ь + с)(ассоциативность сложеIiИЯ),Ь· а (коммутативностьа(Ь· с) (ассоциативность умножения);+а.с+Ь .с(дистрибутивность сложенисложения и умножения деikтвительньrх 'IИсел вводятся обратные деиствиявычитание и деление.Вычесть из деиствительного числа а действительное число Ь;значит найти действительное число с такое, что аЬ+ с.Ра:зделuть действительное число а на отличное от нуля действи'ге.lIыюе число Ь-'!астным, 'IТО азначит наити действительное числоЬd,называемое. d.Па множестве действительных чисел действия вычитания и деления, кроме деления на нуль, всегда могут быть выполнены.Определение.Два положительныхаО,аl а 2··· а ", ...равны, еслиЬ",= а",для всехчислаиIJO,lJJp2 ...
lJk'"= О, 1,k, kI.1 • • •Определение. Из двух положительных действитеЛЬfЫХ чисел(1,n,(!1(12 ... a",и...ьo'ы1:!. .. b,,,. ...Iпервое число больше второго в одном из трех G.!Тучаев: если либоао>Ь о ; либо если аонатуральное n, что= Ьо ,но аl(10(1,1>Ь 1 ; либо если Н~'ЙАется некоторое= 1>1, , ..1аn= 6тн ноа n +l> 1>n+l'действительных числа0.0,на.,ьшаютсяal а:!...0,,,,..протtlвОПОЛОЖ1-lЫМ.U,Ь",= а",и- ЬО 1... Ь", ...еслиД.IIЯ всехk, k= О,1,отрицате.IIЫIЫХ деikтви'ге.rrьных чис.rrа. равны, ес.IIИ равны противоположные им числа. Издвух отрицательных чисел больше то,у которого противоположное ЧИС.IIО меньше.2.Делимость натуральных чисел11ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. 2.
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИНА2, 3, 4, 5, 9, 10И11 Сначала дадим определение деления натуральных чисел.Определение.РаздеJ1:umь нацело натуральное число n на натуральноеq, "IТО 12 = q . m.Если такое число tуществует, то 'Iисла т и q называются оелumеллмuчисло 'т-числаВ этом случае пишутn.это значит найти такое натуральное числоqЧисло= 12 :тилит= n : q.также называют часmNЫМ от деления числаqnна 'т.Заметим, что результат деления определен однозначно. Пусть приделении числаIn !iaчисло т сущес'гвовали бы два частныхqlиq2·Тогда вьшолнялись бы одновременно два равенстваn = ql . т12иq2 . 'т.Вычитая первое равенство из второго, получимПОСКОJIЬКУm=О= О.отлично от нуля, это означает, что qI = q2.ql .
т - q2 . тw(qlРазличают простые и составные натуральные числа.Определение.Натуральное число называется простым, если оно неимеет де.лителеЙ, кроме единицы и самого себя. Натуральное ЧИСJlO называется составным, если оно имеет хотя бы один делитсль, отличныйот единицы и самого себя.НаТУРЫIЫIOС число1формально у довлетворяст опре.цслению простого числа, однако единицу принято не относить ни кпростым, ник составным числам.Определение.кроме1,Теорема.Числа, не имеющие никаких других общихназываются взаllМНО nросmы,м:и.Простых чисел бесконечно много.Доказательство.Пусть множество простых чисм KOHe'IНO. Тог да ихможно носледовательно выписать Рl, Р2, Рз,число,не вхо.цящее в это множество... ,Рп' Всякое другоеи не равное1,.цОЛЖllО бытьсоставным.Запишем числонымиNобязательноРl' Р2делится.
Рз ..... Рп'Это число является составнаизкаждоепростыхчисел.Делимость натуральных чисел2.12обнаружим,'lTOчисдоN+ 1 ::::Рl. Р2 . РЗ .....р"+1lIрИ делениина любое из указа.нных выше простых чисел дает остаток1, т. е. неN + 1 ямяется'ITO МЫ смоглиделится на.цело ни на одно из них. Следовательно, 'Iисло'ITOпростым,противоре'IИТвыписать все простыепредположениюотом,'Iисла.Теорема доказана.Справедлива теорема, которую в школе дают бев доказательства.Теорема (основнав: теорема арифметики).начиная с2,Любое натуральное число,можно разложить в произведение простых множителей, причем зто разложение единственно.Эта теорема означает, что справедливо равенствоNPkгде Рl, Р2, рз,···,--=1)'(1 .. •...pfk ,некоторые простые 'Iисла, а0:1,0:2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
