Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда:1. число аХ. опредменное уkазанным способом, существует и единственно±;для любого числа2. уравнение у = аХ для любого положительного числа у имеет единственный корень;3. число аХ всегда положительно.Первые два утверждения в ШКОJlЬНОЙ программе не доказываются.Докажем третье утверждение.определения иTOrO,'iTOОно следует непосредственно изЧffСЛО а, возведенное в любую рациональнуюстепень, строго БОJlьше нуля.а> 1.определенности предположим, чтоВыберем kakoe-JIИбо рациональное число р, удовлетворяющееусловию О<р~х.
Тогда из условияОО<а<< аР(2)следует, что~ аХ.1 рассматриваетсяаналогично.~vVIJv,,,,U доказана.Следствие.При любом у ~ О уравнение аХДоказательство.=у не имеет корней.Предноложим противное: пусть существует кореньх' этого уравнения при у ~ О. Но это означает, что число а, возведенноев степень х', равно неположительному ЧИСJlУ, чего не может быть потретьему утверждению теоремы.Таким образом, при а>О иаf:.1 определено отображение множества действительных чисел во множество ПОЛОЖИ'1'еJlЬНЫХ действительных чисел.
Первое утверждение теоремы дает нам право утверждать,что это отображение является функцией с областью определения, равной множеству действительных чиссл. Второе и третье утвержденияравносильны тому, что область значений этой функции есть весь интервал (О;и каждое свое значение она принимает ровно одинра:з. Эта функция называется nоnазаmелыюй, а число апокаэатеJlЫЮЙ функции.основанием20.
Свойства показатеJIЬНОЙ функции и ее график601. Область определения функции. Все2. Область значенийЗ. Периодичность.'р.лЫfые числа.Все положительные числа.СРункция непериодическая, т. к. она принимает всесвои значения ровно один раз.4, Четность или нечетность. Функция не является четной, т. к. онапринимает все свои значения ровно один раз.
Функция не являетсянечетнои, т. к. область ее значении несимметрична относительно нуля.5. Точки пересечения графика с осями координат, По доказаному выше=следствию уравнение аХу неимеетпри любом у ~ О,поэтому график ноказательнои функции не пересекает осьТочка пересечения графика показательнои функциh с осью ординатимеет координаты (О;1).Ее координаты не зависят от основанияпоказательнои функции, т. к. любое число а>О в нулевой степениесть единица.б.
Промежутки знакопостоянства функции, 3наченин функции положительны при любых х,7. Наибольшее и наименьшее значения. Функция не ~MeeT ни наибольшего, ни наименьшего ::шаТiениЙ.Доказательство. Действительно, допустим, что у ции есть наименьшее значение и оно равно у.Тогда, у.>о и ПО свойствам действительных чисел существует число у такое, что ОУравнение аХ=<У<у.,у по второму утверждению теоремы имеет корень при любом положительном у.
Следовательно, обязательно существует число х такое, что аХу<у.. Это противоречит тому, что 1}* есть наименьшее значение показательнои функции, Аналогично доказывается, что у показательнои функции не существует наибольшего значенин.8. Интервалы возрастания и убывания.исследования свойства монотонности показательнои функции используется следствие из свойства 10 ЧИСЛОIJЫХ неравенств (см. вопрос3).Показательная сЬvнкпия монотонна. Если а.О<а.> 1,<то она являетсяубывающей на всейчисловои оси.Доказательство.Рассмотрим случай а> 1.Пусть взяты два произвольных рациональных числа Рl и Р2, причем ])1<Р2.
Тогда поСIJОИСТВУ степеней с рациональными rюка.зателями RыполненоаР2аР 1= aPl(a P2 - Р11) .20. CBO~CTBa показательной функции и ее графикЗаметим, что знак разНОСТИ aP~второго сомножителя a P2 - Р ' -61а1'! определяется только знакомпоскольку первый сомножитель а1']1,всеl'да больше НУ1Я'выполненоHepaBeHcTLloР2г деmиnРlт= -n>натурмьные числа.О,по следствию из свойства 10числовых неравенств получаем цепочку равносильных неравенства> 1а<=>>тn1<=>Таким образом, доказано,nчто aP'-Рlm>1<=>> 1,аn> 1.аР]<т. е.а Р2 . Этоозна'Iaет, что строгая МОНОТОlIIЮСТЬ на множестве I3сех рациональныхчисел для IIоказатеJlЫЮЙ функции доказана.Теперь докажем монотонность на множестве действительных чисел. Возьмем два действитеJlЬНЫХ ЧИСJlа Х] и Х2 таких, что Хl< Х2·Между ними найдется рационмьное ЧИСJlО р такое, что выполненнонеравенство Хl< Р < Х2.Тогда из определения(2)получаем, что:<:.; а Р :<:.; аХ'.а'"Остается замеТИ1Ъ, что это нестрогое неравенство не можетщаться в равенство.
В противном СJlучае нашлось бы такое значение У,при котором ураLlнение а"=противоречит УТEjерждению29. Асимптоты.у имело бы два корня ХI и Х2. ЭТОтеоремы.показательной функции уственную асимптотуГрафик показательной функции строится ссвойств и приведен на рис.имеет един1Y'IeTOMперечисленных20.1.а>оа"ось абсцисс.1-1хРис.20.1.Ох6221.21.Свойства логарифмовСВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВРассмотрим пока.,ательное ураuнение видааХгде а и Ь-известные ч:исла, а хчто lIоказательная функция у=Ь,(1)-искомая величина. ИЗlJестно,аХ, г де а>О и а#1,являетсямонотонной и принимает lJce возможные значения в интервале (О;+00).Следовательно, при условияха.>О,(2)Ь>О,0,#1,ураlJнение ll) имеет ровно один корень, кqторый называют логарифмом числа Ь по основанию а и обознач:аютlogaЬ.Теперь дадим строгое определение этого понятия.Определение.а>Логариф.м.о.м.
ч:исла Ь, ЬО, по основанию а, а#>О,1, на.,ывают такой показатель степени С, в КОТОРУЮ надо возвестичисло а, ч:тобы получить число Ь, т. е. аСЬ. Пишу'г сloga Ь.=Теорема (основное логарифмическое тождество).числоlogaЬ, т. е. а>О, а#1,Ь>aIoga ЬДоказательство.Пусть существуетО. Тогда верно равенствоь.Утверждение следует непосредственно из определенияПростейшие уравнения 2 Х=8 и~ дают нам примеры слу4'"чаев, [{ог да можно указать конкретное число, яuляющееся знач:ениемлогарифма,log2831log42'и= -2"Список таких примероu можно продолжить. Например,з,/2 =v2является, как известно, иррациональным числом.Так как из основного логарифмического тождества следует, чтодля любого х верно равенствоloga аХ= х,то логарифмом Может быть любое действительное число.Отме'Гим, Ч:'ГО ДЛЯ любого допустимого основания а непосредс'Гвенно из определения логарифма следует, ч:тоloga 1Оиlog" а== 1.21.Свойства логарифмовТеорема (логарифм произведения).и loga с, т.
е. а > О, а#-63Пусть существуютчислаЬ1, Ь > о и с > О. Тогда существует число lo\!:" Ьси верно равенствоЬlogaДоказательство.Ьс.с>По УСJЮ:8ИЮ теоремы аО и а#- 1; кроме того, изположительности чисел Ьи с следует, что их произвед€ние Ьс тожеположительно.
Следовательно, выражениеloga Ьс имеет смысл.Из определения логарифма и свойств показательной функции вытекает, чтоa10ga b+log a сТак как из равенства аХa10ga ь.с= Ь . с = a10ga Ьс.аУ в=функции следует paBeHCГilo х=У,Теорема доказана.'аСПDОСТDаненной ошибкой являетсяЗамечание.свойства в виде равенстваЬсЬ+(4)сбез упоминания об условии существования ЛОI'арифмовподчеркнем, что даже еслиlogalog"Ь иlogaс.Ьс существует, то равенствоможет не выполняться, ПОСКОJIЫ<У логарифмы, стоящие в el'o правойчасти, могут не существовать.Например, неqбдуманное применение равенствасмысл выражеНИ19ников ошибке.II10g2(( -8)· (-6))Теорема (логарифм степени).а1иЬ>(4)к имеющемуприводи'!' к Типичной среди школьПусть существует числоО.
Тогда для любого числа с существует числоlog"()~ и верноравенствоДоказатеЛЬСТDО.JIЯ, то выражениеТак как число Ь(5)Сс loga ЬЬ •>О в любой степени больше нуloga Ь С имеет смысл. Справедливость равенства (5)доказывается с помощью цеПО'iКИ преобразованийаС loga Ь :::::: (a1oga Ь) сЬС::::::a10ga Ь •С6421.Свойства логарифмовТеорема (логарифм частного).т. е.
а > О, а:j::.Пусть существуют числаЬ иloga С,1, Ь > О и с > О. Тогда существует число ]og" ~ и верноравенствоьь]oga с=::сДоказательство.стваствоСуществование логарифма в правой части равен(6) можно докнза'гь как для логарифма., ПРОИJведения. Равен(6) можно дока.зать, опира,ясь на свойства показателыюй функциии определение логарифма. Однако ;по равенство есть простое следствие ДОКН..1анных выше двух свойств. Это видно из цепочки равенств= loga Ь + loga]oga Ь - loga с1)= loga(b.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
