Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Котангенсугла обозна.чаютct,g а.Поскольку ДJIЯ ка,ждого значения величины угла а, кроме аn.Z,= тгn,можно поставить в соответствие однозначно определенноезначение уctg (]С,ТО это соответствие является функцией.Свойства этой функции определяются свойствами уже рассмотренных функций: у1.=sill Х И у= СО8 ХОбласть определения функции. Функции у= sil1 ХИ у= cos хделены нри всех значениях переменной Х, поэтому функция11опреct!! Хопределена для всех значений переменной х, за исключением точекхгде sil1:r обращается: в нуль.=7Гn,n ЕZ,26.Свойства функции у= ctg х и ее график772.
Область значений функции. E(ctg) = (-00; +(0). Этот факт, безусловно, может быть доказан из геометрических соображенийпример, с помощью линии котангенсов). Однако мы предложим алгебраическое ,доказательство. Для этого восполыумся соотношенияМИмеж,ду тригономеТРИ"Iескими функциями о,дного угла (см.
вопрос 28).Выберем произвольное число с Е(-00; +(0)и определим числа а и Ьпо формуламса=-===+с2Оба эти числа лежат на отрезкеa21ьи1; 1]Г;-:-;).v 1+с2и для них выполнено равенство+b 2 =1.Следоватедьно, точка с коор,динатами (а; Ь) лежит на тригонометрическом круге и ЭТI4 два числа являются косинусом и синусом неко'торогоугла, а число сего ко"Гангенсом.З. Периодичность.Наименьший положительный период функции равен 71". Докажем это. Для любого значения перемепной х, принадлежащего области определения фvнкпии. можно записатьctg(x+ 11")+ 71")sin(x + 11")сов(х-СОБХсоэ Х = ctg х.Хsinxсовхсовх-sшхsшхАналогично,сов(х-71")sin(x - 11")..х.Здесь ИСПОЛЬЗОВa.J~ись фОРМУJIЫ приведения, см.
вопросзано, что число 71" есть перио,l\ функции у= ctg х.29. Итак, докаОстается показать,что никакое меньшее ПОЛQжитеJIьное число не может быть перио,l\ОМЭ'I'ой функции. Рассмотрим 'гакие :значения х, Ч"ГОctg Хравен нулю.Как известно, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ЧИСJlитеJlЬравен нулю, а знамена"Гель несоэ ХО или х = ~+ 71"n,paneH нуJlЮ. В данном случаекогдаn Е LZ. Из Э'1'ого следует, что никакое положительное число меньшее 71" не fIвляется псрио,дом рассматриваемойфункции.4.Четность или нечетность.любого значенияpaBeHcTnOФункция является НI"ЧI"'Т'II()l:'переменtIойIctgхизобласти определениясов( -х)СОБХsin( -х)- si!1 хctgx.так как длявыполненО26.78Свойства функции уctg хи ее графикиспользованы Аоказанные выше нечетность функции у= sin хиcos х.четность функции у5.
То"lКИ пересе"lения графика с осями координат. Гр?фИК функции пересекает ось Ох 13 точках с абсциссами, определяемыми уравнениемх= О,т. е. Х~+ 1!'n,n Е д::; график не пересекает ось Оу,ПОСКО.IIЬКУ функция не определена при хО.б. Промежутки знакопостоянства функции. Для любого угла .'С, синус икосинускоторогоимеютодинаковые знаки,котангенсугла хполож ите.IIен , 'Т. е. котангенс УГ.IIа положителен АЛЯ любого угла, лежащегов1и rп четвертях; аналогично, для любого угла Х, синус и косинускоторого имеют разные знаки, котангенс отрицателен, т. е.
котангенсугла отрицателен для уела, лежащего воct,g хIIиIV> О при Х Е (о + 1!'n; ~ + 1!'n)четвертях., nХ < () при х Е (-~ + 7In; () + 1!'n)Е д::;, nЕ д::.7. Наибольшее и наименьшее зна"lения. Фущ<ция не Ймееrr ни наибольшеео, ни наименьшего значений, поскольку ее обласiъ зна.ченюf - все•I'деиствите.[Ыlые числа.8.
Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотонной на всей обла.сти определения; она является убывающей на каждом+< Х < 1!' 1!'n, n Е д::. Дока.жем, например,функции на промежутке (О; ~]. Для этого рассмотрим дна различныхиз интервалов 7Inзна.чения Х)и Х2 rrаких, что() <Хl< :1:2~1!'2На рассматриваемом промежутке функция уция а уcos хО= sin х нозрастает, функубывает, поэтому< sin х 1 < sin х 2~1и~ cosx2< COSXl < 1,ОТКУ да следует() <Х2<1sm Х)Перемножая неравенства одного знака (учитывая, что все сомножителиЧУ""Т"I ;:,'Т'р 1IkHkl), получим искомое неравенствоcos Х2СОБ Хl< .SШХlАналогично доказывается убываниена [~;71).9.79O~HOBHoe тригонометрическое тождество27.Асимптоты. График функции (показан на рис.кальные асимптоты х=1Г11,1126.1)имеет вертиZ.ЕхРис.27.26.1.ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВОТеорема 1 (OCHO~Hoe тригонометрическое тождество).Для любогоугла а справедливо тождествоа+Доказательство.а1.Пусть задан некоторыйN(cosa; sinугол а.
Тогда координаты конца радиуса тригонометрического круга,составляющего угол а с положительным направлением оси Ох, будут равны, по определению, (СОБа;sina),см. рис.27.1.Так какО)квадра:г расстояния между любыми двумяточками плоскости, заданными своими координатами, равен суммеквадратов разностей одноименных координат, то ква,цра'г расстояния0'1'ТОЧКИ0(0;Рис.О) дО точкиа; siп а) (равный единице, посколькуничнойN-определяется равенс'1'ВОМ+ (Slпа-(СОБа1,откуда следуетsiп 2 а+ СОБ2а:1.27.1.конец радиуса еди28.
Тригонометрические функции одногр угла80Верна и более общая теорема.Теорема2.Для того чтобы два числа х и у могли одновременно являтьсякосинусом и синусом одного и того же угла 0:, необходимо и достаточно,чтобы сумма их квадратов была равна единице.Доказательство.= cos о:Необходимость. Если .1:и уsin 0:,ТО ПОосновному тригонометрическому тождествуsil12o'+Достаточность.0:=Рассморим1,т. е.высгор+1}~:::: 1.с КООRдинатами хONсм. рис. 27.1. Так как по УGЛОВИЮ выполнено равенство+ у2и У,= 1,NONто длина этого вектора равна единице. Это озна'н),ет, что точкарасположена на единичной ОКРУЖНОСТИ, следовательно, отрезокявляется радиусом этой окружности, причем он образует не которыйугол О: с положительным направлением оси Ох. Тогда по определениюоказывается, '\то х::::СОБ о: и у:::: siп 0:.Теорема доказана.28.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО УГЛАОСНОRНЫМИ тригонометрическими функциями I1РОИЗВОЛЬНОго угла о: имеются следующие соотношения.1.
Основное трuгОНОJll,стрuчесх;ое тождество. любого угла о: справедливо равенстно 0:+0:=1.Докаэательство тождества приведено в ответе на вопрос2.27.По определению тангенса и котангенса выполненоtg о:8111 о:= --,СО8(tо:СОВ о:=.8111о:для о:11'f. -2 + 1I'n,,ДЛЯ о:f. 1I'n,n Е,n Е ~;Z.3. Перемножая последние два соотношения, получимО:4..ctg О: = 1 для о:f.7Тn2 ' n Е Z.Из основного тригонометрического тождества находимСОБО:= ±УI 12sil1 0:.28. Тригонометрические функции одного угла81Нодставив полученное выражение косинуса в формулу, являющуюсяопределениемTaHi'eHca,ПOJIУ-ЧИМдляtgaв этой формуле следует взять знакчетвертей; и знак«-»,еслиQ'7г1= "2 + 7Гn,Q'n Е::l.«+», если Q' ~ угол из 1 или IVII или JII -четвертях.расположен во5. Из основного тригонометрического тождества ападоги-чно можНО ПОJlУЧИТЬ выражение для синуса углаsrn Q'а.Нодставив найденное значение синуса в формулу, являющуюся определением тангенса, получим± J]tg Q'сов 2 аДЛЯсовав этой формуле следует взять знакчетвертей; и знак«-»,еСJlИQ'Q'1=7г2+ 7Гn,n Е::l.«+», если а ~ угол из 1 или IIIII или IV четвертях.расположен в6.
Разделив основное тригонометрическое тождество по-членно наа или сов 2 Q' И выполнив несложные преобра:зования, получимсоответственно выражения для.slЛ2_1+Q' -Q'1дляQ'Q'1=7Гn, n Е::l,или2sintg 2 аaДЛЯ1+tg 2 Q'7гQ'1= "2 + 7Гn,Аналогично ПОJlУЧИМ выражения для cos 2сов 2Q'=для аn Е;z:..Q'1= 7Гn,nЕ ::l,Q'или2", -сов .-' Замечание.1 + tg2Q'дляQ'1=7г2+ 7Гn,n Е ;z:..В этих четырех равенствах правые части определены приJlюбых значениях угла (Х, тогда как левые части определены не всегда,поэтому на угол Q' введены Дополнительные ограни-чения.
Обратимвашевниманиеца'го,чтопринеосторожномиспользованииэтихсоотношений в решениях зада-ч возможно приобретение или потерякорней.8229.29.Формулы приведенияФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯЗначения тригонометрическихпроизщшьных углов,используя формулы пртшедения, можно выраэитьзначения тригонометри'теских функций острого угла. Тем невсе приводимыениже формулы справедливы при произвольных значениях угла а, естественно, входящих в область опреде.lIения соответствующих функций.1группа. Формулы этой группы позволя:ют избавиться: от рассмотрения: отрицательных углов-=8111 а,tg(-a)сов а,ctg(-a)=а,ct,ga.Эти формулы выражают свойства неч.етности или четности соответствующих функций и были Дока.эаны в ответа,х па вопросы1123-26.группа.
Формулы этой группы позволяют избавиться от рассмотрения углов, больших211',+ <:11'n) = 8111 а,+ 21т) = tga:,+ 211'T~)sin( а= сов а,nctg(a + 211'~) = ctg а,ЕZ.Эти формулы выражают своиства периоди'iНОСТИ "'''('\'1'r.tр'Т'r'Т'r.tV!{)Тфункций: и также были доказаны в OTBeTa~ на111группа.
С Помощью этой группы формул! можно выразитьn)vтппrии данного угла через функции угла, не превьппающего ра.звернутый,+ 11') = si11a,t,g(a: + 11') =а,+11')-cosa,+11')ctgo:.могут быть доказаны следующим образом (для опредеЭтиленности угол О:считатьобразующийрадиусугол О' С положительным направлением осиОх, см. рис.29.1.Радиусс осью Ох угол (о:поворотом радиуса О NON',+ 11'),ПОЛУ'1аетсяна угол в 1i радиан.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
