Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Эти ТО'iЮI располагаются симметрично относительно начала КООРАинат. Каждой полученной точкеcooTnecIcTBye'l'на числоnой прямой бесконечное множество ТО 'ШК , отстоящих друг от друга на расстояние 2п. Все они являются решениямирассматриваемого уравнения.Для заниси решения уравнения= а ВI:юдят понятие арктангенсаQчисла а. Чтобы о,днозначно определить угод а, соответствующийчислу а, ПРИХОДИ'I'ся требовать ВЫIlоднения дополнительного условия:этот угод должен принадлежать интервалу (Определение.~).Арх:mангенсом числа а называется такое число а, при7r 27r) ,тангенс2;надлежащее интервалуобозначаю'l'I;которого равен а.
Э.' точисдоal'ctg а.Из определения сле,дует, что ддя каждого числа а выполненоа)аи7r--2< al'ctg а <7r2и наоборот, если i3ыполнены условияQто Q=7гаи7г'2<а<2arctg а.Используя ввеf\еИllое определение, удобно записать решение уравненияtg Q =а. По определению,cTBye'I' угол QlaI'ctg а.Точкаточке А, см.В,рис,как отмечалось,37.3, соответсимметричнаточке А относительно начала коор,динат, поэтому ей соответствуетПростейшие тригонометрические уравнения37.98угол ();2= 7r + arctg а.учитывнH периодичностьО:,получим, что все решения уравнения представляютсяО:arct!! а+ 7r11,11 Е ~.решений уравнение не имеет, поскольку противное означалочто окружность и прямая пересекаются более чем в двух точках.4.Решение уравненииа.();Котангенсом угла называется отношение косинус;а этого угла к егосинусу, т. е.
отношение абсциссы к ордининате KOHЦ~ радиуса едини'!ной окружности, угол между которым и осью Ох paIjeH ();. Поэтому длярешения уравненияct,g О:а надо найти на. окружности все 'гочки, длякоторых отношение абсциссы к ординате равно заданному числу а, >т, е. лежащие одновременно назадаваемо!! уравнением аух.Дальнейшие рассуждения почти дословно повторяют таковые дляtg х.уравнения узаписи решения уравненияа=а вводят понятие арккотангенса '!Исла а.
Чтобы однозначно определить угол а, соответствующийчислу а, приходится требовать выполнения дополнительного условия:этот угол должен принадлежать интервалу (О; ?Г),Определение.Арх:х:оmангснсо.м,числа. а называется такое число а,принадлежащее интервалу (О; 7r), котангенс которого равен а. Эточисло обозна'iаютarcctg а,.Из определения следует, что для каждого 'iИсла а выполненоctg(arcctga)Иеслиаи0< arcctga <1f;выполнены условияО:аиО< (); <7r,а.введенное определение, удобно записать решение ураваугол 0:1= а. По опреДf'JIению, точкеarcct,g а,см.
рис.31.3,соответствуетТочка В симметрична точке А относительно началакоординат, поэтому ей соответствует угол 0:2периодичность функции у=1f+ arcctg а. Учитыван= ctg 0:, ПОЛУЧИМ, что все решения уравненияпредставляются одной сериейа= arcctg а+ 7rn,nЕ ~.Других решений уравнение не имеет, носкольку противное означалочто окружность и прямая пересекаются более чем в двух точках.38.Обратные тригонометрические функции99СООТНОШЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ38.ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИв большинстве своем формулы, содержащие обратные тригонометрические функции, громоздки и сложны ДЛЯ запоминания.их вывод опирается только на определения и на известные формулы,связывающиеэлеj'1еllтарНЬ'Iетригонометрические функции,поэтомумы рекомендуем нау'fИТЬСЯ выводить их.Теорема.Для прJ,.мых и обратных тригонометрических функций справедливы следующие т,:,ждества:siп (arcsil1 а)а)ааСОБ ( аГССОБ а)иаа)иапри а Еl',при любых а;а также:arcs il1 (siпаа)а)=апри а Е [ О; rr];= а при а Е (-;;~);аarcctg(ctga)Замечание.rr rr]2;2" ;при а ЕприаЕ(О;Для ПРОИЗБОльных значений угла а последние четыре соотношения можно уточнить;аrсsiп(siпarccos(cos{а2rruпри а Еrrа+ 2rruпри а Еа- 2rrn{-а+ '2rrnarctg(tga) = а rruarcctg(ctgа- rrnrrrr-+2rrn' +2'2rr.3rr-+'2rrn'+'2' 2при а['2rrn; rr +при а Епри а Е (при аrr-2 +rr2+rr+rrn);ЭТИ формулы непосредственно следуют изтригонометрических функций.rrn;nЕХ.обратных100тригономеТРИ'iеские функции38.Теорема.
Имеют место следующие соотношения между обратными функциями:•агсюп а'iТ!а=-a,rccos а'iТ -2'iТa,rccos( -а)а=a.rccos1];,ааt2 - arcsin а == arcctg, а Внимание! Самыеправые равенства в этих формулах верны при а Еаа•arctg( -а) =iarcctg"2'iТ -'iТ агсsш а+ arccos аагсsш (l='iТ 2'1arctg а = - =аДоказательство..агсsша ~V 1 0,2 +аа= a,rccosa,rct,g а +a,rccos аиагссовa,rctg1] ;а Еа = агсsjп=, 1)., а Е IR;а,а ЕIR ;'iТа2' а Е IR;при а Е [-1; 1];агсsш1= аГССОБ,а Е. В качестве примера докажем, чтоагсsiп а= arctg~ приv 1- 0,2(lЕ (-1; 1).По определению арксинуса в левой части равенства записан угол о:что о:[-~; ~] и sin СУ= а;в левой частЙ записан угол (3,ВОlРЯIОШ;ИЙ условиям {] Е (- ~; ~) и tg (3доказа.ть, что о:.
ТребуетсяПоско.'lЬКУ оба угла принадлежат одному промежутку монотонности тангенса (- ~; ~) (T<tK как а =/;1, то о: =/; ± ~ ),то достато'1НО ДОК<tзать, что равны их тангенсы. Значение выраженияtg (3известно и равно.Известен иСОВ (t = ±Jl - si11 2 о:sin о:= а.=ПОСКОЛЬКУ известно, что о: Е (-~; ~), то КОСИНУС положитеJ1ен. Этозна'1ИТ, '1тоt,gо:= tg (3=>о:= (3.Остальные тождества доказываются аналогично.Теорема доказана.Свойства обратных тригонометрических функций39.10139. СВОЙСТВА ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕтри-r,IЕСКИХ ФУНКЦИЙ Свойства ФУНIЩИИ уОпреДf'Аение.aI'csin хАрnсинусо.А! '!исла а, а Еобозначают[-1; 1],называется ЧИедоarcsin а,Свойства арксинуса, как функции, обратной к функции у11" 11"]2;2 'на отрезке1.=siп хvполностью определяются своиствами синуса.Область опредеhения функции.
Так как синус принимаетзпа'lения наотрезке1;lJ,тЬ, соотвеТС'l'вепно, областью определения арксинусаявляется этот жс отрезок, D(аrсsiп)2.Q,I; I]' синус которого равен а. Это числопринадлежащее отрезкуОбласть зна'iен~й функц~и.= [-1; 1],Для того чтобы обеспечить однозначНОС'ГЬ функции, по определению полагают, что арксинус нринимаетзначения на отрезке [З.
Периоди'iНОСТЬ.I;Функция непсриодичеСКaJI, так как ее областьопределения ограничеJfа.4.Четность или He'ieTHOCTb.В силу нечетпос'l'И синуса имеет местоаналогичное свойство для арксинусаа!'сsiп( -х)т, е, функция у5.== -агсsiп хдля любого х Е1; 1J,at'сsiп х является нечетной,ТО'iки пересе'iения графика с осями координат,['рафикарксинусаимеет единственную точку пересечсния с осями координат, это началокоординат-точка (О; О), б.
Промежутки знакопостоянства функции. Так как синусы углов, лечетверти, положительны, а синусы углов, лежащих вжащих вчетвертой qетверти, отрицатсльны, тоЮ'сsiп х>О при х Е1]иarcsin х < О при хО).7. Наибольшее и наименьшее значения. Наибольшеезначепие, равноедостигается при хнри х8.1; наименьшее значснис, равносI'-I' достигается-1,Интервалы возрастания и убывания. ФУНКЦИЯ возрастает на всей области определения.39.102Свойства обратных тригонометрических функций9. Асимптоты. График функции асимптот не имеет.График функции уarcsin х показан на рис.
39.1.=у 1t у=уarcsin х1t'2х1t-'2Рис.-1 ООпределение.хРис. 3~.2.39.1. Свойства функции у1= агссов хАрккосинусо.м числа а, где а Е[-1;1], называется такоеЧИСJIO (\', принадлежащее отрезку [О; тr], косинус которого ра.вен а. Эточисло обозна.чают агссов а.Свойства ctрккосинуса, как функции, обратнойk косинусу на, отрезке [О; тr], полностью определяются свойствами Ф.ункции у= сов х.l'1.
Область определения функции. Так как косинус ПJ:1инима.ет значенияна отрезке1; 1], то, соответственно, областью оtlределения арккоD( arccos)1;синуса является этот же отрезок,=2. Область значений функции. По опреде.lIению, E(arccos)З. Периодичность,= [О; тr].Функция непериодическая, так как ее область определения ограничена.4. Четность или нечетность, Функция не является ни четной, ни нечетной, так ее область значений несимметрична относительно нуля.5. Точки пересечения графика с осями координат. График имеет общуюточку с осью Охточку (1; О), и пересека.ет ось Оу в точке (О; ~).б. Промежутки знакопостоянства функции.
Значения данной функциинеотрицательны для всех значений переменной из об.ilа,сти определения.7. Наибольшее и наименьшее значения. Наиqолыпее значение, равное тr,достигается при хпри х= 1. =1;наименьшееравное О, достигает('.Jj'IJ!БЬПlает на оtрезкеа.симптот he имеет.8. Интервалы возрастания и убывания,9. Асимптоты. График функцииГрафик функции у= агссов хпоказан на рис.39.2.1; 1].39.Свойства обратных тригонометрических функцийСвойства функции уОпределение.arctg хApx:rnaH2eHCOJlt числа а называется такое число СХ, принадлежащее интервалуобозначают103-2; 2 '1'((",>1'( )тангенс которого равен а. ото 'lИслоarctg а.Свойства арктангенса, как функции, обратной к тангенсу на интервале (-1.i; i), пшiностью определяются свойствами функции уt!! х.Область опредеjlения функции. Так как тангенс принимает все возможные значения, то, соответственно, областью опреАеления арктанD(tg) = I!l.2.
Область значении функции. По опреАелению, E(arct,g) = (-i; i)·генса является псе множество Аействительных чисел,З. Периоди"lНОСТЬ.Функция непериодическал, так как все свои значения она принимает только по одному разу.4.Четность или He"leTHocTb.= arctg хФункция уЯllляеТСff нечетной,так как в силу нечетности тангенса имеет место аналOl'ичное свойствою'сtg( -х)5.Аля любого х ЕI!l.ТО"lки пересе"lения графика с осями координат. График функции пересекает оси координат6.= - arct,g хIIединственной точкеПромежутки знакопостоянства функции,-точке (О; О)Так как тангенсы yrJIOB, лежащих в первой четверти, положительны, а тангенсы углов, лежащихIIчетвертой четверти, отрицательны, тоarctg х >7.О при х>Оиal'cLg хНаибольшее и наименьшее зна"lения.< ()при :1.'< О.Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значениЙ.8.Интервалы возрастания и убывания.
Возрастает на числовой оси.9. Асимптоты. График функции имеет асимптоты уГрафик функции у = arctg х показан на рис. 39.3.Yi1I---~2х-Рис.1-~ 39.3.=- iи у= i·39.104Свойства обратных тригонометрических функцийСвойства функции уОпределение.a,rcctgАрх;х:оmо.н.ген.со.мхчисла о. цазывается такое чисдо 0:',принадлежащее интерваду (О; 1Г), KOTaHгe~c которого равенчисло обозначают0..Этоarcctg а..IСвойства арккотангенса, как функцI1и, ?братной к котангенсу на интервале (О; 1Г), полностью опредедяются свойствами функции у1.ctg х.Область определения функции. Так как КО,тангенс принимает все возможные значения, то, соответственно,Об.1астью определения арккотангенса является все множество деЙствитЬ.IIЬНЫХD(ctg) JR.2.Область значений фvнкции.для того чтобы обеспечить однозначзначенияность, по определению считltют, что арккотангенсна интервале (О; 1Т)З. Периодичность.Функция непериодическая, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
