Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Рассмотрим ра:шостьP 1 (х) - Fz(x)и вычислим ее производную(F1= (F1- F2-(р2 (х))1ЛХ)лх)О.Согласно лемме из последнего равенства вЬ!'гекает(х)- Fz(x) =С,ОТКУ да получаемР1 (х)= Р2(Х) + С.Теорема доказана..Основное свойство пер по образной имеет следующую геометрическую интерпретацию: графики любых двух первообразных одной итой же функции получаются друг из друга параллельным переносомвдо.тIЬ оси Оу.В таблице2приведены первообразные некоторых элементарныхфункции. Эта. таблица составлена с помощью СООТj3етствующеи таблицы1 производных основных элементарных ФУНКI~ий, см. пункт 41.Правила отыскании первообразныхПри нахождении первообра.зных, кроме таблицы первообра.зных,используются три следующихТеорема.правила.Если Р(х) естьпервообразнаядлядля g(x), то Р(х)+ G(x)f(x), а G(x) -первообразная+9есть первообразная для лх)Ина.че говоря: первообразнал суммы равна сумме первообразных.Теорема.F ( х) есть первообразная для f (х ).kF'(x) есть первообразная для kf(x).Еслито функцияаkпостоянное число,Иначе говоря: постоянный множитель можно выносить за знакпервообразноИ.Теорема.Еслиесть первообразная дляпричем k =F О.
то iF(kx+ Ь)f(x), а k и Ьесть первообразная для f(kxпостоянные,+ Ь).43.Первообразная и интеграл119Таблица2Первообразные элементарныхлх)F(x)ОСх+С·12хС-+2ХхН, n i- -11-,х>Ох1....хn + 1--+Сn+1Jnx-------..+С1--+С-;?х1vx2уГхеХе'"+С-----+Ссовхsшхsinсовх1siп х1х+С+С-ctgx+СХ+Сх----43.120Первообразная и интегралНеопределенный ШlтегралОпределение.Еслиимеетунане которомпромежутке первообразную Р(х), то множество всех первообразных, т.
е.множество всех функций вида Р(х)1Jюnеграло,м. от функцииf (.Т)+ С,называетсяИ обозна'ia.ется1f(x)dx.Основные неопределенные интегралы при:ведены в таблице.).Теорема (свойства неопределенных: интегралов).f (х)интервале (а; Ь) функцияJ f( 3:) dx. Тогда на этом интервале верны равенства:2.(] f(x) dx)' = f(x);dP(x) = Р(х) + С.определенный интеграл1.Если а3.Пусть на некоторомимеет первообразную Р (х) и существует не1постоянное число, отличное от нуля, тоJа·1 f(x)dx.Если существуют интегралы J !1 (.Т) dx и J f2 (х) dx;dx(1.1(Л(х) +4.Если х= 'P(t),где1в частности, еслиt =fl(X) dxt,тоf(x) dx1+ Ь,iах11f2(X) dx.f('P(.T)) .
'P'(t) dt;где аО, тоf (ax+lJ)dx6.+монотонная, непрерывно дифференцируемая'P(t) -функция новой переменной5.1f2(X)) dxтоАналогично, если 1J. := 1(J(X), где 1t -~.p(ax+b).новая переменная, а-монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, то7.Если и1dx ='Р(Х) и v1f( 1.1.) dn.непрерывно дифференцируемые функциипеременной х, то справедлива формула интегрирования по частям8.1иd1J='и . v -1v du.Первообразна.я: и интеграл43.121Таблица3Неопремленные интеграль! элементарных функцийNФормула интегрирования-----1.J lclx::: х + С2.J xndxxn +1--+Сn+1'n! 1~--:3.JdX:::: lIlXх4.+х>о1J dx--+Сх~-5.
Jах 2уГх+сУГХ:::f---~~6.Jах::: еХ+С-7.J sinxdx -cosx + С8. J cos х dx = sin х + С 9.10.dxJхJ dx2cos Х::: -ctgx+Сtgx+C44.122Определенный интеграл44. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНАЛЕЙБНИЦА .у IПусть на отреже [а,; Ь] задана некоторая пепреРЫВНaJ! фУНКЦИЯнеменяющаянанемсвоегознака. Фигуру, ограНИ"9енную графиком ;пои функции, отрезком [а; Ь]оси абсцисс и вертикальными прямымиоРис.х44.1.=аихЬ,принято называть криволинейноитрапецией. Пример криволинейной трапеции показа.н на рис.44.1.Д./IЯ просто ты будем с'штать функцию /(х) неотрица:гелыlйй наотрезке [а; Ь).
Площадь криволинейной трапеции ВЫ'iислим следующимобра:юм, см. рис.а=хоХ144.2.О 'Х2ь=х nX,qРис.Разобьем отрезок [а; Ь) наХАа<Х[<44.2.n отреэков одинаковой длины ТО"9ка.ми:;/:2< .. , <$",-1<:г",=и длину каждого из отрезков разбиения обозначим.6.Хгдеk=1,... ,n1,11..ХЬа= -n= a:k -Xk-l,Ь,Определенный интеграл44.На каждомизотрезковl1РЯМОУГО.7IЬНИК высотыSkкакJ(Xk 1)основаниипостроимНJlVЩсlДЬ этого ПРЯМОУГО.7Iьника равна1) .
.6.х=на123=Ь а1) ,nа сумма всех П.7IощадеЙ таких прямоугольников равна~(a; Ь)Ь а ( f(xo)-n-'+)+ ... +!(X n - 1))'в курсе математического анмиза доказано, что при неограниченном увеличении числа отрезков ра.1биения n сущестнует предел этойсуммыs=Ь),limn-tooкоторый и равен площади криволинейной трапеции, опирающейся наотрезок [а; Ь] и ограниченной графиком непрерывной функцииЭтот предел называется определенным интегрмом функцииот а до Ь и обозначаетсяьлх)dx.аЧисла а и Ь называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно; знакI -знаком интеграла; функцияf(x)называется подьщтегральной функцией; наконец, переменная хпеременной интегрирования.Если функциянеfрицательна на отрезке [а; Ь], то площадьf(x)соответствующей криволиrейной трапеции выражается фОРМУ.7IойьS = I ЛХ) dx.ав курсе математического анализа доказана следующая теорема.Теорема.Если функция унепрерывна на отрезке [а;ведлива формулаьлх) dJ:=F(a),агде F(x)любая первообразная дляf(x).Эту формулу называют формулой Ньютона-.IlСИПНИllа.то спра12445.Свойства вертикальных и смежных углов45.
СВОЙСТВА ВЕРТИКАЛЬНЫХ И СМЕЖНЫХ УГЛОВ Точка А, лежащая на прямой, разбивает ее на два множества,называемыхnолуnр,я,МЫ,м,1J.,множестваточеI(,./Iсжащихпооднусторону о'г ТОЧКИ А. Полупрямая: вместе с точкой А называется лучом,.Эта точка. наэывается началом луча и говорят, ЧТО луч ИСХОДИТ ИЗТОЧКИ А. Различныс лучи одной И той же нрямоii, имеющис общееначало, называются dОnОЛll1tmеJlЬNЫМ,U.Д,на дуча с общим началом делят плоскость, в которой они лежат,на две части. Каждая из этих частей (включая JIУЧИ) называется углом..образующис угол, на.,ываются СmОрОНG,м,IJ, а точка, из которойони исходят,-вершшюй угда.Обычно рассматривают дишь один из образовавшихся углов.T01'да одна из частей плоскости называется внутренней областью угла,а другая:--- внешней его областью.Если лучи совпадают, то один из обра,:;ювашихся углов называютнулевы,м., а другой -полным.
Если CTOPO~Ы углаf!ВдЯЮТСЯ дополнительными лучами одной прямой, то угол на,эывается развернутым.Два угла на:зываются равным,и, если при наложении они 'совмещаются.Пусть луч ОС лежит между сторонами угла, АОЯ. ПарыОА, ОС и ОС, ОВ образуют два угла. Об Уl'ле АОВ говорят, что онявляется суммой двух углов АОС и СОВ, т, е.LAOB = LAOC+LCOB.ero на два равныхисходящиii из вершины угла и делящийугла., наз hша,ется бuссе"трtIСОЙ,образованный двумя радиусами окружности, называется цснInРОЛЬНЫ,м, угло,м,.В качестве основной единицы измерения УГJЮБ бере'гся угол в ОДИН,.градус, ,)ГОЛ в один градусvuэто цен'гра.ТlЬНЫИ угол, равныи]360частикруга (или ] ~o части развернутого угла). Таким образом, развернутыйугол равен1800,Угол, равный половине ра.:зверпу'l'ОГО, называютпр,я,м,Ы.М..меньший прямого, на.,ывают осmры,ч, а угол, больший прямого, номеньший развернутого, наЭЫвают mуnы,м,.Два угла называются смеЖНЫ.АIU, если у них одна сторона общая,а две другие ЯВ.IIЯЮТСЯ дополнительными лучами.46.Треугольник.
Свойства равнобедренного треугольникаТеорема.Сумма смежных .Углов равнаIДоказательство.1251800,По Оllред'елению смежных углов, их сумма составляСТ1800.угол, поэтому она равнаТеорема доказана.Следствие.Углы, смеЖные с равными, равны.Определение.Два угла, НС имеющие общих точек, кроме вершины,называются вертUlI:аЛЬNЫ,мu, если с'горопы одного составляют продолжение сторон другого.Теорема.Вертикальные углы равны.Доказательство.Каждый из вертикальныхуглов (например, углыAODи ВОС) является смежным с ОДЩIМ и тем же углом (сDOBили с АОС), см. рис. 45.1. Такие углы, последствию из предыдущей теоремы, равпыРис.между собой.45.1.46.
ТРЕУГОЛЬНИК. СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКАФигура, обраэованнан замкну'I'ОЙ ломаной без самопересечений,вместе с чаС'гью~~плоскости, ограниченной этой ломаной, называется,многоугольнuко,м.УГOJIьника; углы,ми, -угламиСтороны ломаной называются сторонами многосоставленныекаждымимногоугольника;аихдвумя соседнимивершинысторонавершинамиего.Многоугольник, имеющий три стороны, наэывается треугольником.Треугольники различают по длинам их сторон иих углов. Относительно длинC'l'OPOHпо величинамони бывают: разносторонние,если все С'l'ороны различной Длины, и равнобедренные, если две стороны одинаковы; если 'l'ри с'гороны равны между собой, треугольникнаэывают равностОРОНltи,м.Относительно величин углов треугольники делят на: остроуго.ль1/ые, есливсеуглы острые;nр.я.«оуголыlе,,есливчислеуглов естьпрямой; и тупоугольные, если в числе углов есть тупой.из сторон треугольника иногда наэывают основанием,'l'orAaвершину противоположного угла называют противолежащей вершиной.
Отрезок перпен,цИКУЛ1lра, опущенного из вершины на основаниеили на его продолжение, называе'!'С1l высотой треугольника. Из вершины каждого угла треугольника можно ОНУСТИ'lЪ перпсндикуляр на126Треугольник. Свойства равнобедренного треугольника46.противоположную сторонуили ее продолжение;следовательно, кажтреУГОJ/ЬНИl< имеет ':I'ри высоты.Л;[едuаной треугольника на.:зыпается отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с серединой противоположной стороны. Вершинукаждого угла. треугольника можно соединить отрезком прямой с серепротипоположной стороны, следовательно,<:iЖj~blИ треугольникимеет три медианы.Вuссе1l.m.рuсоЙ треУГОЛЬНИIШ наэыва,ется отрезок прямой, делящийугол треУГОЛЬНИI<а пополам и соединяющий вершину ;этого угла спротипоположнои стороной.
Ясно, что каждый треугольник имееттри биссектрисы.Теорема.В равнобедренном треугольнике:1) биссектриса является одновременно и мtЩианой, и высотой;2) углы при основании равны.Доказательство.номПусть в равнобедрентреугольникеАВСдлинырон АВ и ве равны и отрезокстоBDявляется его биссектрисой, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
