Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Обозначимточку перссечения этой прямой с пряАDРис.мои АЛ буквой Е. 1Ъгда получим дватреугольника BCQ и EDQ. ОНИ ра.вЕны58.1.повторомутреугольников,условию равны стороныCQиQD,признакуlIОСКОЛЬКУравенстваупихуголBQC равен углу EQD,BCQ равен углу EDQ, таккак это вертикальные углы, и уголпотаккакэто накрест лежащие углы при пара.ллельных прямых.Из равенс'гва этих треугольниковсоответственных сторон: стороныBCQ и Е DQ следует равенствоBQ и QE равны, а также сторопыве и ПЕ ра.вны.В треУГО.llьнике АВЕ прямаяследовательно, прямаяPQPQсосдиняет середины двух сторон,параллельна основанию АЕ и ее длина посвойству средней линии треугольника равна.PQ = (AD + DE)j2.PQ па.раллельнаТаким образом, докаэано, что средняя линияроне Ап и ее длина равнаPQ=~(AD+BC).сто59.59.Окружность.
Свойство касательной к окружностиОКР~ЖfНОСТЬ.147uСВОИСТВО КАСАТЕЛЬНОИ К ОКРУЖНОСТИОпределение.ОХ:РУЖliость'Ю называется множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расс'гоя.ние от данной точки. Эта точканазывается. цеюлром окружности. Отрезок, соединя.ющиЙ точку окружности и ее центр, называется радиусо.м окружности.Определение.Прямая, проходящая через какие-нибудь две точки окружности, называется сех:ущеЙ.Определение.Отрезок нр'я.моЙ, соединяющий две какие-нибудь точки окружности, lfазывается хордой.
Всякая хорда, проходящая 'lерезцентр, называетс.J диаметром. Длину радиуса (диаметра) обычно тоженазывают раДИУС9М (диаметром).IОпределение. кdсательщ)й к окружности называется прямая, лежащая в плоскости окружности и имеющая с ней только одну обшуюточку. Общая точка называется точх:ой х;асанu.я.Теорема (свойство касательной).Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.Доказательство.Пусть пря.мая а каса-етсяокружности в точке А (см. рис.59.1),авА::::>......... }тог да все остальные точки этой прямойдолжнылежатьвнеокружности;вследствие этого отрезки О В, ОС,... больше радиуса ОА(точка О есть центрокружности).
Значит, этот радиус естьнаименьший из отрезков, соединяющихточку О с дюбой '1'очкой нря.мой а, иРис.59.1.потому ОА llерпендикулярен Пf)ЯМОЙ а.Теорема доказана,.....---.ВРассмотрим две касательныекокРУЖНОС'l'и С центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности вточках В и С (см. рис.59.2).Отрезки АВи АС назовем о'П~резх;а.мu х:асателыilх,'проведенными из точки А. Из доказанной теоремы вытекает, что они обладаютследующим свойством.Рис.59.2.с7148Теорема.59.Окружность. Свойство касательной к окружностиОтрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точкуи центр окружности.Доказательство.проведеныдвености, см.
рис.Пустьизточкикасательные к59.3.АокружРассмотрим отрезки касательных АВ и АС, заключенныемежду точкой А и точками касания.Требуетсяотрезковдоказать,что длины этихравны и что они образуютодинаковые углы 3 и 4 с прямой ОА.Рис.59.3.Проведем радиусы О В и ОС и рассмотрим треугольники АВО и АСО.По теореме о свойстве касательной углы1и2прямые, поэтому этитреугольники ЯВJ1.f!ются прямоугольными. Они равны, так как имеютобщую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС, являющиеся радиусами окружности. Из равенства этих треугольников следует, что ихгипотенузы АВ и АС равны, и что углы3и4нри вершине А равны.доказана.Теорема (признак касательной).Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то онаявляется касательной к эroй окружности.Доказательство.Точка А, см. рис.
59.1, как конец ра.диуса, лежащийна окружности, принадлежит этой окружности. В то же время этаточка принадлежит и прямой а. Следовательно, эта TO'IKa являетсяобщем точкой окружности и прямой а.что СОГласно условию теоремы радиус ОА является перпепдикуляром, проведеНl!ЫМ из центра окружности к прямой а.
Таккак из точки О можно провести только один псрпендикулнр к прямой а,то все другие отрезки ОВ, соединяющие центр окружности О с произвольной точкой В прямой, будут являться паклонны~и. Учитывая, чтодлина на,клонной больше длины перпендикуляра, мы приходим К выводу о ТОМ, что все остальные точки ПРЯМОЙq расположены от центра Оокружности на расстоянии большем, чем радиус ОКРУЖНОСТИ, другимис.lIовами, эти точки lIаходнтся вне ра.ссма'гриваемоЙ,ОКРУЖНОСТИ.Таким образом, у прямой а и окружности есть .fОЛЬКО одна обща.яточка А, следовательно, прямая а есть каса,тельпа.я к окружности.Теорема.
докаэана,60.Теоремы о вписанных углах149ТЕОРЕМЫ О ВПИСАННЫХ УГЛАХ60.Определение.зываетсяУгол, образованный двумя радиусами окружности, нацентральным углом.~lгол, образованный двумя хордами,проведенными из одной 'гочки окружности, наэьшается вnuсаЮIЫ.;\!углом. О вписапном угле говорят, что он опирается на дугу, заключеШlУЮ между его сторонами.Теорема.Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающеr;ося на ту же дугу.ПОСКОJIЬКУ градусная мера дуги ОКРУЖНОСТИ считается равнойградусной мере центрадьного угда, опирающегося на эту дугу, томожно сформулировать эту теорему инаСlе.Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.Доказательство.угол АВСПусть дана окружность с центром в ТО'1ке О, и пустьугол, вписанный в эту ОКРУЖНОСТЬ, опирающийся на дугуАС, см.
рис.60.1.Докажем, что угол АВС равен половине УГЛОВОI::rвеличины дуги АС.Рассмотрим три возможных слу'1М расположения луча ВО относи,:гельно угла АВС.Случай1.Пусть луч ВО совпадает с однойВИЗ сторон угла АВС, например, со сторонойВС, см. рис.60.1.Проведем радиус ОА окружности.
Тогда мы получим треугольник АОВ,который является равнобедренным, поскольку...-1 о/его стороны ОА и ОВ равны как радиусыокружности.Так как углы при основании равнобедренного треугольни~а равны,LABO= LBAO.см.вопрос46,тосПо отношению к треугольниРис.ку АВО угол АОС является внешним, поэтому60.1.он равен сумме двух внутренних несмежных с ним углов АВО и ВАОLAOC= LABO + LBAO = иАВО.Отсюда вытекает, '-{то угод АВО равен половине центрального углаАОС.
Но именно угодвписанный уголLABCLAOCLABOстягивает дугу= ~ А'С.АС, следовательно,15060.Теоремы о вписанных углахСлучайвПусть луч ВО делит угод АВС2.на два угла, как показано на рис.Проведем диаметрBD60.2.окружности. Тогда.угол АВС окажется раэделенным на двауглаСиABDУ этих углов одна иэD(3C.сторон совпадае[Г с диаметром окружности,поэтому к ним 1';'10ЖНО применить доказанIное выше утверждение для первого случая.Получим, что y~OJI АВ D I измеряется половиной дугиDРис.60.2.дугиDC.AD,а уголDBC -половинойПоскольку угол АВС равен суммеэтих углов, заключаем, что1'-' 1'-'1('-'"-')LABD+LDBC='2AD+'2DC='2 AD+DCLABCвСлучай з.1"-''2АС.Пусть луч ВО лежит вне угла АВС, т. е.
угол АВС целиком расположен в одной из полуокружностей, на которые луч ВО делит окружность, см. рис.АоПроведем диаметрBD60.3. окружности. Тогда можно записать выражениеLАЯСDРис.60.3.LABDНо углы АЯD идокаэанномуАВ иCDLCBD.CBD иэмсряются, по1, половинами дугв случаесоответственно. Следовательно,угол АВС измеряется разностью этих дуг, то естьLABC = LABD - LDBC =~Aп ~c~ = ~(ЛD-СD)~AC.Теорема доказана..Следствие1.Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу,равны между собой.Следствие2.Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, -пря3.Центр окружности, описанной около прямоуroльного тремой.Следствиеугольника, совпадает с серединой гипотенузы.60.Теорема1.Теоремы о вписанных углах151Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другаязаключена между frродолжениями сторон.Доказательство.(см.
рис.должимПусть вершина угла АВСлежит внутри круга.60.4)стороныуглав11 ропротивоположномнаправлении до п~ресеченияс окружностьюв точках Л и Е. Докажем; чтоt.ABC:z:с~ ( АС + ЛЕ ) .Для этого проведем хорду Ап и получимтреугольник АВ Ь, дЛЯ которого угол АВСявляетсяIвнешним,IпоэтомУ.Рис.он равен суммедвух внутренних ~есмежньrх с ним углов, т. е.t.ABC60.4.= t.АЛС+t.DАЕ.Заметим, что углыI АЛС Й ЛАЕ вписаны в окружность, поэтому ониизмеряются половинами дfг АС и ЛЕ соответственно, и поэтому1 "-' 1 "-'1 ( '-''-')t.ABC = 2 АС+ ЛЕ = 2' АС+ЛЕ .2Теорема доказана.Теорема2.Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг,заключенныхмежду его сторонами.Доказательство.Пусть вершина В угла АВС расположена вне круга.Проведем хордусм.AD,рис.60.5,ирассмотрим треугольник АВ п, в которомуглы АВС и ВАр являются внутренними,а угол АЛС-внешним; поэтому верно равенствоt.ADC = t.ABC + t.BAD,изкоторого вытекает,t.ABC =А<ITOt.АЛС-t.ЛАЕ.Заметим, что углы АЛС и ЛАЕ вписаныВ окружность,поэтому ониизмеряютсяполовинами дуг 4С и ЛЕ и поэтомуt.4.BC"Теорема доказана.1"-/1'-'1('-'Рис.)-АС--пЕ=222 АС-[)Е..60.5.61.
Теорема об угле, образованном касательной и хордой152ТЕОРЕМА ОБ УГЛЕ, ОБРАЗОВАННОМ61. КАСАТЕЛЬНОЙ И ХОРДОЙ Теорема.Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половинойзаключенной внутри него дуги.ЕDDо АсвДоказательство.сАРис.в61.1.Пусть угол АС D образован касательной АВ, касающейся окружности в TO'iKe С, и хордой С D этой же окружности,выходящей из той же точки С.Предположим сначала, что хорда СО проходит через точку Оцентр окружности, другими словами, хорда С D является диаметромот<ружности, см. рис.61.1.Тогда угол АСОпрямрй. Но и половинадуги С D также равна. 900 , так как дуга СО составляет полуокружностьи содержит1800.Теперь рассмотрим общий случай, когда хорда С D не проходитЧf:рез центр окружности и угол АСОострый.
Проведем диаметрСЕ, будетвыполнено очевидное равенствоLАСП=LАСЕ-LОСЕ.Угол АСЕ образова,н касате.rrьноЙ 11 диаметром, поэтому измеряется,по доказанному выше, половиной дуги СПЕ; угол ОСЕ вписан вокружность, поэтому измеряется половипой дугиDE.Следовательно,1 ~1"--'1'--./LАСО= 2СОЕ-2ОЕ= 2СО'Подобным образом можно доказать, что тупой угол ЕС О, та,кжеобразованный касательной и хордой, измерf\ется половиной дуги СЕО.Разница в доказательстве только та, что эт~т угол H~.дo рассматриватьне как разность, а как сумму прямогоугла ВСЕ и о!:трого угла.
ЕСО.Теорема доказана.62.62. Теорема ~б окружности, описанной около треугольникаTEOPE~A O~ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОИ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКАОпределение.тоговорят,окружностьТеорема.153ЕСJlИ все вершины треугольника лежат на окружности,'{тоэтотorшса~mтреугольникО~ОЛОвписа'Нвmr:pY:J/CHocmb,или'{то'Него.Около всякого треугольника можно описать окружность и притомтолько одну.Доказательство.Вершины А, В и С всякого треугольника суть триточки, не лежащие на одной прямой; через них проходит окружность,если существует четвертая точка О, одинаково удаленная от точекВ и е. Докажем, что такая точка существует и притом только одна.Заметим, что всякая точка, одинаково удалепная от данных точекА и В, должна лежать на серединном перпендикуляре р к сторонеАВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
