Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 20
Текст из файла (страница 20)
е. делитпополам угол В при его вершинерис.АсDBDдоказать, что бисBD является также медианойи высотой треугольника.Рис. 46.1.вокруг стороны46.1). ТребуетсясектрисаВообразим, '1'1'0 угод ABD попернуттак, чтобы он совместился с угдом С BD. Другимисловами, вследствие равенства углов1 и 2, луч ВАсовместится со лучомВС, а, вследствие равенства сторон АВ и ВС, точка А совпадет сточкой С. Поэтому отрезокDA совместится с отрезком DC, угол 4совместится с углом 3 и угол 5 -- с углом 6; следов~'Гельно,DA = DC,Из того, чтоуг.1!Ы3и4DADC,L4 = L3следует, чтоиBDL5= L6.есть медиана; из того, чторавны и образуют развернутый, вытекает, что ;эти УГ.1!ыпрямые, и, С.1!едовательно,как получено выше, углы5BDесть высота треугольника.
Наконец,и б при основании треугольника равны.Теорема доказана..Замечание.Из :этой теоремы следует, что в равнобедренном трсУГО.1!ьнике один и тот же отрезок обладает четырьмн свойствами:он ЯВ.1!яется одновременно и биссектрисой, и медианой, и высотой, исерединным перпенДику.1!ЯРОМк основанию.Признаки равенства треугольников47.127ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ47.Определение.Два треугольника называются. pa8NblM:ll, если они приналожении могут быть совмещены.В треугольниках, которые МOl'ут быть совмещены, конечно, должны быть равны все их элементы, в частности, с'гороны, углы, высоты,медианы и биссектрисы.
Однако, 'iтобы установить раиенство двухтреугольников, нет необходимости убеждаться в равенстве всех ихэлементов, ДОС'I'а'l'ОЧНО нровери'ГЬ равенство лишь некоторых из них.Теорема1(призцак равенства треугольников по двум сторонам иуглу между ними, или первый признак).Если две стороны одного треугольника и угол, заключенный между ними, соответственно равны двумсторонам другого треугольника и углу,заключенному между ними, то такие треугольники равны.АсС\Рис.Доказательство.47.1.Рассмотрим два треугольника АВС и А 1 В 1 С\, у которых равны две стороны и углы, заключенные между ними,=A1C1 ,АВ= A1B 1,[А='Гребуе'l'СЯ доказаГ'ь, что э'l'и треугольники равны.Совмес'l'ИМ треугольниj< АВС с треугольникомВ1точка А совпала с А 1 И CiIopOHa АС пошла поIвслеДС'l'вие равенст!3аэтихс точкойдвух сторон, 'гочкаC 1 .
Далее, вследdтвис равенства углов А инойдет по сторонетак, qтобы(см. рис.С'47.1).совместится, сторона АВВ!. Тогда, вследствие равевства этих сторон,точка В совпадет с точкойB1.Из того, что точка С совместил ась сзаключаем, что сторона СВ совмеСТИJlась со сторонойAJ3eC1B j,тю, какточки можно соединить только одной прямой. Совпадение всехсторон 'l'реУГОJlьника означает, 'тто треУГОJlЬНИКИ совпадают.Теорема доказана.12847.ТеоремаПризнаки равенства треугольнщсов(признак равенства треугольников по стороне и прилеж:а2щим к ней углам, или второй признак).Если два угла и прилежащая кним сторона одного треугольника соответственно равны ~BYМ углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то такие тРеугольники равны.Доказательство.Рассмотрим два треугольника АВС и'Торых равны дваyr.lIaI..Cи стороны, прилежащиеI..C1И8 1 C 1 ,YKOI..B = 1..81,к этим углам,СВС1 В1 •Требуется доказать, что эти треугольники равны.Совместим 'Треугольник А ВС с треугольником А 1 В 1 С\ так, 'iтобыTO'lKa С совпала с точкой С) и сторона СВ пошла по сторонеC147.2.см.
рис.Тогда, вследствие равенства сторон СВ ительно совпа,п:ет с ТО'lКОЙC1 B 1 ,CТO'lKa В обязаBJ .Далее, вследствие равенства углов В и В), сторона ВА пойде'гпо стороне В 1 А 1 , а, вследствие равенства углов С и С\, сторона САпо стороне~1всС1Рис.47.2.Заметим, что прямые СА и ЕА пересекаются в TO'lKe А, а прямыеG1A 1иB1A1пересекаются в 'гочкеA1 .Но эти прямые попарносовпадают, следовательно, так как две различные прямые могут пересека'Ться только в одной точке, то вершина А должна совпастьс вершинойСовпадение всех трех сторон и всех трех вершин треугольниковозначает, 'lTO треугольники совмеСТI1ЛИСЬ.
Это и означает, что онира13НЫ.Теорема доказана.Признаки равенства треугольников47.Теорема129(признак равенства треугольников по трем сторонам, или3третий признак).Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.АсРис.Дока.1ательство.47.3.Пусть у треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 равны трисоответственные стороныАВТребуетсяВ1 ,AOKa;:JaTb,ВС= В 1 С]ИСА= С1 А 1 .что эти треугольники равны.Приложим треугольник АВС к треугольникуA]B 1 С1так, чтобыу' них совместились равные стороны АС и А] С] и их вершины В и В 1леЖaJIИ бы по раз):lые C'I'OPOHbl от основания A 1С 1 , см.
рис. 47.3.Соединим точки В ипрямой линией, тогда получим два треугольника ВА 1и ВС 1 В 1 С общим основанием ВВ]. ТреугольникВА 1 В 1 является равнобедеренным, так как его С'гороныВ И А 1 В]равны по предположению теоремы; аНaJlОГИЧНО, треугольникBC]B 1JШЛЯe'I'СЯ равунобедренным, так как равны его стороны ВС] и В 1 С].Но В равнобедренном треУГОЛhНИКС углы при основании равны, см.вопрос46,поэтомуLlа потому [А 1 ВС 1= LA= [2и[3[4,1 B 1 С 1 • Но В таком случае данные треУГОJlЬНИКИдолжны быть равны по первому признаку (так как две с'гороны одноготреугольника и угол, заключенный между ними, соответственно равныдвумсторонамдругого треугольникаиуглу,заключенномумеждуними).Теорема доказана.Замечание.В равных треУГОJlьниках против равных стороп лежатравные углы, и обратно, против равных углов лежат равные стороны.13048,Внешний угол треугольника и его CI~ойство48.
ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКАИ ЕГО СВОЙСТВООпределение.Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольникамногоугольника), называетен внеWIШ.м, угдо.м, этого треугольникаЕрDАсРис.48.1,Внешними углами 'греугольнит<а АВС нвляются, например, углыBAF,АВЕ,BCD,показанные на рис.48.1,При каждом угле треугольника можно построить по два внешнихугла, ПРОДОJlЖИВ одну или другую сторону угла. Эти два угла равны,потому что это будут вертикальные углы.Теорема.Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего его угла, не смежного с ним.в рDАнРис.ДOK3.'}aTeJIЬCTBo.48,2.Например, докажем, ч'l'о внешний уголBCDугольника АВС больше каждого из Dнутренних углов А исмежных с этим внешним, см, рис,серединуЕ стороныпродолжении отложим отрезоклежать внутри углаBCD.трене48,2,ве проведем медиану АЕ и на ееEF =АЕ, ТочкаСоединим точкиFF,очеВИI1НО, будети С прямой,48.Внешний угол треугольника и его свойство131Треугольники АВЕ и ЕРС равны (по первому признаку), так какпри ТО'1ке Е они имеют по равному углу, заключенному между двумясоответственно равными сторонами.Из равенства треугольников заключаем, что углы АВЕ и ЕСР,лежащие против равных сторон АЕ и ЕР, равны.
Но угол ЕСР составляет часть внешнего углаBCDBCD.и угол В меньшеи потому меньше его; следоватеJIЬНО,Продолжив сторону ВС за точку С, ПОЛУ'IИМ внешнийравный углуBCD,Yl'OJI АСН)поскольку эти углы ЯВJlяются вертикальными. Еслииз вершины В провести к стороне АС медиану и затем продолжить еена такую же длину за сторону АС, то совершенно так же доказывается,что угол А меньше yrJla АСН. Но:'>1'0в силу упомянутого lJЫШСравенства углов АС Н и ВС D озна'iае'l', что внутренний угол Л меньшевнешнего углаBCD.Теорема доказана.Следствие.Если/3треугольнике один угол прямой или тупой, то два других угла острые.всАвJ)Рис.сАD48.3.ДеЙСТВИТeJIЬНО, дОПУСТf1М, что в треугольнике АВС какой-нибудьугол С (см. рис.
48.3) БУАет прямым или тупым, тогда смежный сним внешний угол ВС D должен быть прямым или острым, посколькусумма смежных углов равна1800,см. вопрос45.Следовательно,YI'JJblА И В, которые, по доказанному, меньше этого внешнего угла, должныбыть оба острыми.Замечание.Доказанную выше теорему можно усилить. Имеет местоследующее утверждение.Теорема.Всякий внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.Это утверждение будет получено ниже, см. вопростеоремыо сумме внутренних углов треугольника.53,как следствие13249.49. Признаки равенства прямо угольных треtгольниковПРИЗНАКИ РАВЕНСТВАПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Теорема.1)Прямоугольные треугольники равны: если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника;2)если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему ОСтРОМУ углу другоготреугольника.Доказательство.Эти два признака не требуют особого доказательства.
Заметим, что в прямоугольных треугольниках углы, содержащиесямеждукатетами,всегдаравны,посколькуэтопрямыеуглы.СледоваТЕ'.IJЬНО, признак1это частный случай первого признака.равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, априэнак 2 это частный случай приэнака равенства треугольниковпо двум углам и стороне между ними.доказана..Докажем еще два приэнака, которые относятся только к прямоyrO.lJbHbIMтреугольникам.Теорема.Прямоугольные треугольники равны:I1) если гипотенуза и острый угол одного треугdльника соответственно равныгипотенузе и острому углу другого;2)если гипотенуза и катет одного треУГОЛЬНI-jка соответственно равны гипотенузе и катету другого.Доказательство.рис.49.1) -1) Рассмотрим треугольники АВС и A j B 1 C)два ПРЯМОУГОЛЬНЫХ треугольника., у I<OTOPbIX равныгипотенузы АВ=А 1 В 1 И острые углыLA =вАС 2 С ! СзсРис.49.1.49.Признаки равенства прнмоугольных треугольниковТребуется доказать,9:'1'0133эти треугольники равны.Совместим треугольники АВС и А 1C 1 так,9:тобы у них совпалиравные гипотенузы.
Тогда, в силу равенства углов А и А 1 , катетАС пойдет по сторопеС\. При этом ТО9:ка С должна совпастьс ТО9:КОЙ С 1 .Предположим противное. Пусть она не совпадет с ТО9:КОЙ (.,'1, тогдакатет ВС займет одно из двух положений: ИЛИB 1 С2 ,илиоба ЭТИ СЛУ9:ая неВО:JМОЖНЫ, ПОСКОЛЬКУ из одной ТО9:КИпрямуюA 1 С1оп1стить два перпендикуляра, В 1 С 1 исду9:ае, или В 1 е 1J1I B 1 C;~B 1 Сз .Нонельзя наB 1 е2в первомво втором. Этот факт является следствиемаксиомы паралле4ьных.Полученноепротиворе9:иедоказывает,чтоТО9:ка е совпадаетс точкой С 1 , асле40вателыю, треугольники АВС и А 1 В]поэтому2)совпадают,они равны.И:Jвестпо, 9:ТО в прямоугольных треугольниках АВС иравны гипотенузы АВ=A1B 1 И катеты ВС= В 1 C 1 , СМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
