Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Аналогично, всякая точка, одинаково удаленная от точек В и С,должна лежать на серединном перпендикуляре q к стороне ве.если существует точка О, одинаково удаленная от трех точекВ и С, то она лежит одновременно и на прямой Р, и па прямой q.Это означает, что она является ТОЧ1(ОЙ пересечения э'гих прямых.Прямые р иqвсегда нересекаются, так как они перпендикулярны кпересекающимся прямым АВ и Ве. Точка О пересечения прямых ибудет точкой, одинаково удаленной от точек А, В и С, то есть будетцентром окружности, описанной около треУГОЛЬНИI<а. Так как прямыер иqмогут пересекаться только в одной точке, то центр окружностиопределен однозначно, так же как и ее радиус; следоватеJlЬНО, искомаяокружностьединственная.Теорема доказана.Заме'lание.Если бы три точки А, В и С лежали на одной прямой, то llерпендикуляры р иqбыли бы параллельны и, следовательно, не могли бы пересеjЬСЯ.
Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, нельзя провести окружность. Следствие.Три Сlfрединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Это верно,так как точка О, находясь на одинаковом расстоянииот TO'leK А и С, должна лежать на серединном нерпендикуллре r,проведенном к стороне АС.Замечание.Если тругольник остроугольный, то центр описанной 01<Ivружности лежит rнутри треугольник~; если он тупоугольныи, то вне'l'реугольника; есл;и он llряrОУГОJIЬНЫИ, то на середине гипотенузы.li:>463.63. Теорема об окружности, вписанной в треугольникТЕОРЕМА ОБ ОКРУЖНОСТИ,ВПИСАННОЙ В ТРЕУГОЛЬНИКОпределение.ютсяЕсли нсе егороны какого-нибудь треугольника касаокружности,ТОо-к:ружносmu, или чтоговорят,'ITOO-К:Р1lжностьэтотiгреуголыIИКвnнсана6ОnНСОН О-К:О./!Онего.Теорема. во всякий треугольник можно вписать ок~ужность и притомIтолько одну.Доказательство.Ecд~ существует ОКружность, которая КCI,}::ается всех сторонтреугодьника АВС, см.
рис.63.1,то еецентр доджен быть точкой, одинаковоу да.JlенноЙ от этих сторон.Сначала докажем, что такая точкаобязательно существует.сРис.63.1.Множество точек;, равноудаленныхот сторон ВА и ВС, есть биссектрисаугла В. Множество точек, равноудаленных от сторон АВ и АС, естьбиссектриса угла А.Точка О, в которой эти биссектрисы пересекаtотся внутри треугольника, и будет равноудаленной от всех сторон треугольника"Таким образом, точка О ЯН.lIяется центром окруЖности с радиусом,равным длине любого из перпендикуляров ОР,из точки О на стороны треугольника.равны, ОР= OQ = OR,OQИJIИOR,опущенныхэтих перпендикуляровтак как точка О равноудалена от сторонтреугольника.
Окружность будет касаться сторон треуго.rrьника. вточках Р, Q иOQиORтак как стороны перпендикулярны радиусам ОР,в этих TO'fKax.окружности, вписанной в данный треуrОJIЬНИК, не существует, 'гак как две биссектрисы пересека.ются только в одной точке, аиз одной точки на прямую можно опустить талыш одцн перпеНДИКУJlЯР·Теорема. доказана.Следствие.Биссектрисы трех уrлов треуrольника пересекаются в однойточке.Доказательство.Этодействительно та.к,посколькуточка О,см.рис. 63.1, находясь па одинаковом ра.сстоя.нии 0'1' сторон АС и СВ,должна лежать и на биссектрисе угла С.64.Свойства четырехугольника, вписанного в окружность15564.
СВОЙСТВО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА, ВПИСАННОГО В ОКРУЖНОСТЬОпределение.Че'гырехугольник называется 6ТJ'UСШi.НЫJИ в окружность,если все его верш~ны лежат на ней. Эта окружность называется описаннои около чеТЬ1рехуголЬника.Теорема.I!В выпfломM вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна1800. Доказательство.ПустьABCDес'гь вписанный выпуклый четырехугольник (см.
рис.64.1).Требуе'гся доказать, что и1800LB+LDLA+LC1800.Так как сумма всех "<IeTbIpex углов любоговыпуклого четырехугольника равнавопрос54),3600то доста'гочно доказатьтолько одно из требуемых равенств. Докажем, например, что {ВУглы В иD+ LD =D1800Рис. 64.1.вписаны в окружнос'гь, ПОэтому они измеряются; первыйполовиной дугиADC,половиной дуги АВС, следовательно, сумма углов В иDизмеряетсясуммой{В'-''-''-''-')+ LD = 21 ADC+21 АВС= 2l( ADC+ АВС.Сумма равна половине окружности, поэтому {В+LD= 180°.Теорема доказана.Верна также обратная 'георема.Теорема.Если в ~ыпуклом четырехугольнике сумма ДВУХ противоположных углов равна1800,Доказательство.то около него можно описать окружность.Предположим, чтоABCDрис.64.1)есть такойвыпуклый <Ieтырехугольник, у которого, например, сумма двух противоположных углов В иDравна1800.Так как сумма всех угловлюбого выпуклого 'lетырехугольника равнаможно заключить,А и С тоже равна3600(см.
вопрос54), точто и сумма двух других противоположных углов1800.Требуется доказать, что около такого четырехугольника можноописать окружность.65. Свойство четырехугольника, описанного окqло окружности156Через какие-нибудь три его вершины, например, через вершины А,В и С, проведем окружность (что всегда можно сде.lIать, см. вопрос 62).Четвертая вершина .О должна находиться на. :этой окружности. Впротивном случае вершина угла Л лежа.lIа бы или внутри круга, иливне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дуги АВС,поэтому суммаLB+ L.oне измерялась бы полусуммой дуг АОС иАВС и, следовательно, сумма.LB+ L.oне равнялась бы1800,'ITOпротиворечит условию. Это противоречие означае'г, что вершина .Олежит на окружности, проходящей через точки А, В и С.Теорема доказана.СледствиеСледствие1.2.Около любого прямоугольника можно описать окружность.Около трапеции можно описать окружность тогда и толькотогда, когда она является равнобедренной.65.
СВОЙСТВО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА, ОПИСАННОГО ОКОЛО ОКРУЖНОСТИОпределение.Если все стороны каlшго-нибудь четырехугольника касаются окружности, то этот четырехугольник называется оmlсшmы.моколо окружности.Теорема.В любом описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны.в Доказательство. Пусть четырехугольник АВс.о описанружности, т. е.Iего стороны касаютсяэтой окружности, см. рис.АС65.1.доказать, чтоАВ+ С.оВС +А.о. Обозначим точки касания черезР иРис.АМAQ,65.1.ВМ= BN, CN =Теорема докаэана.111, N,Так как две касательные, проведенные из одной точки к окружности,равны, то равны между собой отрезкиСР и .оР+ м.в+ СР+ PDАВ + СЛ = А.о + ВС./1Мт.
е..DQ.= .oQ.С.lIедовательно,= AQ+Q.D+BN+ NC,65.Свойство ч~тырехугольника, описанного около окружностиТеорема.157Если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.DАРис.Дока.lателЬСТDО.D'АD65.2.Пусть в выпуклом четырехугольникеABCDAB+CD=BC+AD.Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторонAD,АВ и ВС, поэтому можно провести окружность с центром О,касающуюся указанных трех сторон (см.
рис.65.2).Докажем, ч'го этаокружность касается также стороны С D и поэтому является вписаннойв четырехугольник АВС D.Допустим, это не так. Тогда прямая С D .'!Ибо не имеет общих точекс окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первыйПроведем касательную С' D', параллельную сторонеCD (С' и D' AD).
Так какточки пересечения касательной со сторонами ВС иАВС' D'описанный четырехугольник, то по свойству его сторонАВ+ С' D' =ВС'+ AD'.Из этого равенства, учитывая, '{тоВС'получимС' D'ВС-С'Си+ С' С + D' D =AD'ВСAD-D'D,+ ADПравая часть этого равенства по условию равнаАВ.CD.Таким образом,приходим к равенствуС' D!+ С' С + D' D = С D,означающему, что в четырехугольникеC'CDD'одна сторона равнасумме трех други~ сторон.
Этого не может быть, и поэтому сделанноепредположение неверно. Аналогично доказывается, что прямаяCDне может быть с~кущей о~ружности. Поэтому окружность касаетсястороны CD и является вJисанной в четырехугольник ABCD.Теорема доказана.15866.66. Четыре замечательные точки треугqльникаЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА. ТЕОРЕМЫ О ПЕРЕСЕЧЕНИИ МЕДИАНИ ВЫСОТ ТРЕУГОЛЬНИКАу всякого треугольника существуют четыре так называемые замечательные ТОЧКИ. ЭТО цеmnр вnuсаююu О'КРУЖ1-l0сmu, це1-lmр оnuсашlOiJ,о'К:ру:ж;носmu"ченmр m,JlжеС1nU (точка пересечения медиан) и oР1'nоцентр (точка пересечения высот),В отнетах на вопросы62и63уже было доказано, что биссектрисывнутренних углов треугольника' пересекаются в однои точке и :паточка ЯВ.,'rяется центром впий,нной в этот треугольник окружности;а, также,что серединныетоже пересека.ю'l'СЯнерпеllДИКУЛЯРЫк сторонам треугольникав одной точке и эта точка ЯRялется центромокружности, описанной около этого треугольника..Докажем еще две важные теоремы, касающиеся точки пересечениявысот треугольника и точки пересечения медиан треугольника.Теорема.Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.каждуювершину треугольника А 8С, см.
рис.Доказательство.66,1,проведемЧерезпрямую,параллельнуюпротивоположной стороне.лучимRспомогательный треугольникВ 1 С1 ,тыAD,егоТогда ноКCTOPOH&'YIкоторого высоВЕ, СР данного треугольникаперпендИI<УЛЯРНЫ по построению.В] рассмотрим четырехугольРис, 66,1.ник АВА 1 С, Оп по построению является параШlеограммом, поэтому в нем противоположные стороны АСи ВА 1 равны. Аналогично, в параллелограммеAC.pc't равны стороны АС и С] В. Из этих двух равенств вытекает равенстно С 1 ВВА 1 ,которое означает, ЧТО точка В есть середина стороны А 1 С 1 . Аналогично можно убедиться, что точка С ЯRляется серединой стороныВ 1 и точка АсерединаТаким обраэом, высоты81 С\,AD, 8Еи СР ЯВЛЯЮТСЯ серединнымиперпендикулярами к сторонам треугольника А 1 81 С\ и, следовательно,пересекаются в одной точке (см.
вопросТеорема докаэана.62).67.Теорема.Пре?бразования фигур. Симметрия. Подобие159Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятсяэтой точкой перес('!;чения на отрезки, длины которых относятся как2 : 1,считая от вершины.ДоказаТЕ>ЛЬСТВО.В треугольнике АВСрассмотрим какие-нибудь двемедианы,!Iнапример, AD и ВЕ, см. рис. 66.2.Пусть Оточка их т'tересечения.Через точку D и середин~ РотрезкаАО проведемдве прямые; параллельные медиане В Е. Обозначим буквамиК и М точки пересечения этих прямыхс прямой АС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
