Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Тогда по теореме ФaJlеса получим, что нкBD= КСА м(поскольку ЕРис.ск66.2.= DC) и АМ М Е (поскольку АР = РО) и, так как АН = не, = М Е = ЕК = КС. Следовательно, в силу теоремы Фалеса, то AL\1АР= РО = OD, откуда непосредственно следует, 'ITO АО: OD = 2: 1. Таким образом, точка О пересе'IеllИЯ двух медиан треугольника делит каждую из них в отношении2: 1,считан от вершины. Если теперь взять третью медиану вместе с одной из медианADили ВЕ и провес сl'и аналогичные рассуждения, то также ПОЛУ'lается,что точка их пересечения делит каждую из них в отношении2:1считан от вершиIIЫ.
Следовательно, и третья медиана пересекаетсяс медианамиAD.и ВН в одной и той же точке О.Теорема доказана.67. ПРЕОВРА30ВАНИЯ ФИГУР.ВИДЫ СИММЕТРИИ.ПРЕОВРА30ВАНИЯ ПОДОВИЯ И ИХ СВОЙСТВАП реобра.,оваЩ1емIфигур называется такое соответствие, при котором каждой точку данной фигуры ставится в соответствие какм-либоточка другой фигуры, и наоброт, каждой точке второй фигуры ставится в соответствие неI<ОТОРая: точка первой фигуры.Определение.Преобра.,ованиедвух фИI'УР называется движение,м,если оно сохраняет расстонние между точками, т.
е. переводит любыедве точки Х и У одной фигуры в точки Х' и у' другой фигуры так,что ХУ= X'yl.Примерами движений являются симметрии относительно точки,относительно прнмой, параллельный перенос, поворот.67.160Преобразования фигур. Симметрия. ПодобиеСимметрия относительно ТО'fКиоХточка и Хнекоторая фиксированная-ПРОИЗВО,lIьная точка плоскости, см. рис.67.1.Отложим на продолжении отрезка ОХ :за точку О отре.1ОКОХ', равный ОХ.
Точка Х' называетося симметричной точке Хотносительнаточки О. Точка, симметричная точке О,Х'Рис.есть сама точка О. Очевидно, что точка,67.1.симметричная точке Х', есть точка Х.Преобраэование фигурыFв фигуруF',при котором каждая ееточка Х переходит в точку Х', симметричную относительно даннойточки О, называется симметрией относительно точки О. При этомфигуры F и F' называются симметричными относительно точки О.Если симметрия относительно точки О переводит фигуру F всебя, то фигура называется центрально-симметричной, а точка ОНазывается центром симметрии.Теорема.Симметрия относительно точки является движением.Доказательство.Пусть Х и УдвеПРОИ.1вольные точки фигуры F. Симметрия относительно точки О переводит их в точки)('и У'.
ЕСJIИ точкиХ 1 У и О не лежат на одной прямой,то рассмотрим треугольники ХОУ иХ'ОУ' (см. рис.67.2).Эти треугольники равны по первому признаку равенуХ'Рис.ства треугольников. У них углы привершине О равны как вертикаJIьные, а67.2.0)(ОХ', ОУ=ОУ' по определениюсимметрии относительно точки О.
И.1равенства треугольников следует равенство CTOpOНj ХУ = )('У'. Этозначит I что симметрия относительно точки О есть движение.Если же точкитеоремы сразуУ и О лежат на. одной. прямой, то утверждениеже сшщуетизопределениясимметрииотносительноточки О:XY=IOX±OYI=loX'±OY'1 Х'У'.в этих равенства.х следует выбрать знак «-», если точки Х и У лежа.тпо разные стороны от точки О, и зна.к «+» в противпом случае.Теорема доказана.67.
Прербразования фигур. Симметрия. Подобие161Симметрия относительно прямойПусть(см. рис.m67.3).фиксированная прямаятnВозьмем произвольнуюточку Х И опустим перпендикуляр АХна прямую т. На продолжении перпенхдикуляра за точку А отложим отрезокАХ/, равный отрезкуАХ.Х'АТочка Х/называе'1'СЯ симметричной точке Х относительно прямой т. Если точка ХРис.67.3.лежит на прямой т, то симметричнаяей TO'IKa есть сама то'!ка Х. Очевидно, что точка, симметричнаяточке Х/, есть точка Х.Ilреобразование фигуры}"на фигуру Р/ I при котором каждая ееточка Х переходит J3 точку Х/, симметричную относительно даннойт, называется симметрией относительно прямой т.
При этомфигуры Р и Р/ Называются симметричными относительно прямой т.Если образом фигурыпри симметрии относительно прямойFявляется сама фигура Р, то говорят, что фигураотносительно т, а прямуюТеорема.m'/nсимметричнаFназывают осью симметрии фигуры.Симметрия относительно прямой является движением.Доказательство.Пусть две произвольсВные точки А и Н фигуры Р симметричВ'ны соответственно точкам А/ и Н/ фигуры р' относительно прямойрис.67.4).mlIусть точки О И С(см.точкипересечения прямых АА' и ВВ/ С прямой т.АА'Рассмотрим прямоугольные третугольники ОС Н и, ОС В/. Они равны,Рис.т. к. катет ОС у них общий, а катеты67.4.С В и С В/ равны, по построению.
Из равенстпа этих треугольникоJ3следует, что ОВ:;:::, ОВ' иуглов и '1'0, что [СОАi,COB= LCON= i,COB/.Учитывая равенство этих90 О , получим, что [ВОА[В/ОА/.Заметим, что]з треУГOJ~ьниках АОВ и А/ОВ/ выполнены равенстваОА = ОА' (по построению) и ОБ= ОВ/И [ВОА[В/ОА/ (по доказанному выше), слеДоватеJIЬНО, эти треугольники равны. Из равенстватреугольников следует, ЧТО АВотносительно прямойТеорема доказана.m= А/ В/.есть движение.Следопательно, симметрия67.162Преобразования фигур. Симметрия. ПодобиеПоворотОтметим на плоскости точку О, которую будем называть центромповорота, и за.дадим угол аугол поворота.Поворотом плоскости вокруг точки О на угол а называется отображение плоскости на себя, при котором камждая точка.точку)1.11,)1.1отображается в такуючто расстояния до центраповорота ОМOM lиравны, и уголравен а (см. рис.
67.5). При повороте ВОКРУГ центра О сама точка ОMOMlРис.67.5.остается на месте, т. е. отображаетсясама на себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки Ов одном и том же направлении на один и тот же угол.Если поворот совершается против часовой стрелки, то угол поворота считается подожительным; есди по 'iасовой с±редкеТеорема.отрицаПоворот является движением.Доказательство.воротаN 1.../-Iтельным.\9:",Пусть дан центjЭ' поточка О, и; дан угол поворота а.
Допустим, что при этом повороте 7мнекоторые точки М иNотображаются в точки M l И N 1 (см. рис. 67.6).Рассмотрим треугольники ОМ N иРис. 67.6.О M l Nl. Эти треугольники равны подвум сторонам и угду между ними, потому '!то сторопа ОМ равна сторонесторонеON1OMlпо определению поворота, а углыи сторонаMONиON равнаMlONl равпы,ПОСКОДЬКУ они оба при повороте против часовой стрелки равны суммеугла а и углаM l О N.Случай поворота по часовой стрелке рассма,тривается ана.IIOГИ'ШО, Из равенства треугольников ОМ N иследует, что их третьи стороны М N иM1 N l0)1..11тоже равны. Это иозначает, что расстояние между двумя произвольными точками МиNравно расстоянию между их образамито"ю'!,ми М 1 иЕсли точки О, М и N расположены на однощ прямой, то этоутверждение тоже остаетсЯ в силе.Итак, поворот сохра,няет расстояния между точками и поэтомуявляется движением.Теорема доказана.67.Пре~бразования фигур.
Симметрия. Подобие163Параллельньm переносIРассмотрим на шюскости декартову систему координат ОХу. Отображение фигуры.УА'при котором произвольная ее точка с координатами (х; У)переходит(хв+ а; у + Ь),точкускоординатамигде числа а и Ь одни ите же для всех точек (х; у), называетсяпараллельным переносомВ'на векторс координатами (а; Ь), см. рис.671ОПараллельный перенос задается формулами х'=Х+аи у'+ухРис.Ь. Эти671формулы выражают координаты (Х'; у') точки, в котору ю переходитточка с координатами (х; у) при параллельном переносе.Теорема.Параллс;льный переное является движением. Доказательство. fассмотрим произвольные точкиА(Хl' Yl) и 8(Х2; У2). A'(Xl + а; Vl + Ь) + а;У2 + 8). Используя формулу для расстояния между двумяПри параллеЛЬНОl\1 переносе они переходят в точкии В'(Х2точками (см.
вопрос75),Ав2получим, что(Х2А' 8'2-+Х1)2 +Xl)"= (Х2- Уl)2,- Yl)2.Эти равенства означают, что расстояния АВ и А' В' равны. Такимобразом, пара.'lлельныЙ перенос сохраняет расстояния, а следовательно,является движением.Теорема доказана.Рассмотрим другие отображения.Подобие фигурОпределение.О'l'ображение фигуры Р на фигуру р' называется подобием, если при этом отображении расстояния между точками измешпотся в одно И то же число раз.F приk . )(У,qисло kЭто значит, что если произвольпые точки Х и У фигурыпереходят в точкипричем числоk>О-)('и У' фигуры р', то )('У'одно и то же для всех точек)(и У.называется коэффициентом подобия, а фигуры Р и р'- подобными.Приk= 1 отображение подобия,очевидно, является движением.обо;значения подобия фигур используется специальный значок:67.164Преобразовании фигур.
Симметрии. ПодобиеГомотетияПусть даны фиксированная то'ша О и неравное нулю числоа та.кже некотора.я фигура р. Если числопроизвольную TO<fKY Х фигурыотрезок ОХ', равныйk . ОХ,Fkk,положительно, то чере:зпроведем ЛУ'! ОХ и отложим на немЕсли числоkотрицатеJIЬНО, то отрезокIkl·ОХ', равныйОХ, отложим на продолжении луча ОХ так, 'iТобыточки Х 11 Х' лежали по pa.JHbIe стороны от точки О.Определение.Отображение фигуры р, при котором каждая точка Хэтой фигуры переходит в ТОЧКУ Х', построенную указанным вышеспособом, называется го,м,отет11l':й относительно центра О.
Числоназывается х:оэффuцuенто,м, ZO.4tomemuu, фигурыFkи р' называ.ютсягом,отетtlЧНЫ,м,u.Теорема.Подобие с коэффициентом k есть композиция гомотетии с коэффициентом k и движения.Доказатс.л:ьство.Пусть фигура р' получена. из фигурыF подобием с коэфk, см, рис. 67.8, Гомотетиейс коэффициентом k (и любым центром)переведем фигуру F в фигуруфициентомoоРис.любым TO<fKaM Х и У фигурыFставятся в соответствие такие две точкии Y1 фигурыFt,что выполненоравенство для расстояний67,8.Х 1 У1k·ХУ.(1)Но и для TOTiCK Х' И У' фигуры р', соответствующих TO'lKaM Х и Уфигуры р, также выполнено равенство для расстоянийХ'У'= k·ХУ.(2)Сравнивая равенства(1) и (2), приходим к выводу О том, что справедливо равенсТFЮ Х'У' = X 1 Уl.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
