Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ПустьR.1и11-длины двух окружностей радиусови Н' с центрами О и О'. Впишем в К3сждую из них правильныйn-угольник и обозначим буквами Рn и P~ и/с периметры, а буквами аnИ-ИХ стороны. Тог да, поскольку в праВИЛЬНОjl111,-угольнике всестороны равны, можно выразить периметр через Д.III1:ну одной стороныIРn= n . о.nИ= n . a~.P~Выразим длину стороны а n черезрадиус окружностиждуюизвершинугольника сН. Соединим кавjIисанногоrreHTp0l<.:iПОI<азано на рис.78.1.многоокружности какПолучимnравных равнобедренных треугольников соснованиями длины о. n И боковыми сторонами Д.IJиныR.Очевидно, угол привершине О в каждом такомнике равенРис.78.1.TpeyrOJ!b3600п-. Рассмотрим, например, треугольник А]ОА 2 . Высота ОП lявляется одновременно и биссектрисой и делит ;этот 'f'реуголыIИК на дваравных прямоугольпых треугольника.
Выберем ОДИFf из них, напри~ертреугольник A l О Н 1. В нсм известен острый угол L А 1 ОН 1гипотенуза ОА 1го ка/гета А 1= R.= 1~0иПоэтому можно найти длину противолежашеСледовательно, выр~жение для длины= R sin 1800.nстороны А]А 2 (или, другими словами, стороны а n вписанного многоугольника) имеет видо.n==2А 1 Н]. 1800= 2Rsш--.nЗная длину стороны о. n вписанного многоугольника, найдем егопериметрРn= n· а n =1800n· 2Rsin--.nПовторяя анадогичные действия для многоугольника, вписанного вовторую окружность,подучим та.кое же выражениеР ' = n . а , = n . 2Н"I11l'sш1800-n- .78.Длина окружности185Следовательно, отношение периметров этих многоугольников равно отношению диаметров окружностей,Р"2R(1)р'"Это равенство справедливо при любом значенииПусть теперь число сторонnТак как при увеличении числа сторонnвписанный многоугольник«приближастсЯ» к окружности, то Р" -t [ приp~['при n -t00.~ :~"n, nнеограниченно увеличивается.n -t004.Аналогично,Следовательно, предеJI отношения ~~ равен ll,n.
,С другой CTOPOH~I, В силу равенства(1):этот предел равен2R2R"На строгом математичсском языке содержание предьrдущего абзаца записывается так. Поскоm.,ку существуют предслыр"=1иНтnn--++оо=[',то существует и пределlimН--++ОС-р"(2)р'lim P,~"--++00с другой стороны, в силу равенствар":этот предел равен(1)2R.11т71--++00Сравнивая равенстваи=2Н--,о2R(3), приходим к выводу О том,что отношениедлин окружностей равно отношению диаметров этих окружностей, т. е.2R2Н"Z; -iИз этого равенства непосредственно следует, что['2Rт.
е.отношение2R"ДЛИНЫ окружностик еедиаметруестьодно и то жечисло для всех окружностей. Э-1'о число принято обозначать греческойбуквой 71'. Тогда из равенс'гва2k : :ДЛИНЫ окружности радиусаR71'получаем формулу для вычисления271'R.4Конечно, школ!:,ник не обязан уметь это доказывать.79.186Площадь кругаПЛОЩАДЬ КРУГА79.Определение.Круга.м. называ.е'l'СЯ фигура, состоящал из всех точекплоскости, расстояние от которых до заданной точки О, лежащейв этой же плоскости, не больше данного расстояния R.
То<пш Оназывается цеNшра.м. к:руга, а расстояниеТеорема.R-радиуса.м к;руга.Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус круга.Дока1ательство. Поtтроим два правильных n-УГОЛЬНИЮ1: М 1в круг радиуса R, и M z -вписанныйописанныйоколо этого круга, см. рис.79.1. Пусть51и52ПJющади многоугольникови М2 соответственно. Многоугольник1\41целиком сод~ржится в круге, амногоугольникMzцеликом содержиткруг, поэтому выполнено неравенствоРис.гдеS -79.1.51<5 <52,искомая площадь круга.Радиусы, проведенные в вершины многоугольника Л1 1 , разбиваютего наn равных треугольников с основаниями а n . Пустьодного такого треугольника с номером-площадьТак какi.15;2аn Rcos ОС""то12(nan)Rcosoc r,где р.1= 2PRcosocn,периметр МНОГОУГОJIьникаРадиусы, проведенные в вершины многоугольникаего наnJ'vl2 ,S;равных треугольников с основанияМи Ь n .
Пустьтакого треугольника. Так как,5.11-2ЬnR==аn.2сов а",Н,то,n5jrиn2 сов а nRPR,2 cos оспгде Р- по-прежнему периметр многоугол"никС1РС1збиваютплощадь80.Аксиомы о расположении точек, прямых и плоскостейИтак, вписанный в круг многоугольник187имеет площадь1Sl ::: 2PRcoso:n,а описанный около круга МНОГОУГОJIЬНИК М2 ·ПJIOщадьS2 == ~. РЛ2 cOSO: nКог да ЧИСJIOnнеограниченно возрастает, величина периметра Р будетОТЛИ'1аться от длиныана.логи'IНО,cos о:lокружности на сколь УГОДНО малую величину,'гоже будет отличаться от единицы на сколь угодномалую величину, следовательно, площади многоугольников М1 и М2отличаются на сколь угодно малую величину от lf . И поэ'гому площадькруга равнаs=IR2'Теорема доказана.Учитывая, что l80.
== 211" Н,можно также записать SТРИ АКСИОМЫ О ВЗАИМНОМ11"л 2 •РАСПОЛОЖЕНИИ ТОЧЕК, ПРЯМЫХИ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Аксиома1.Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и каждаяточка этой прямой принадлежит плоскости.Аксиома2.Если две плоскости имеютобщую точку, то они имеют общуюпрямую, проходящую через эту точку.Аксиома3.Чер~з любые три точки, не лежащие на одной прямой, можнопровести плоскость, и притом только одну.Сформулируем и докажем два слеДС'l'ВИЯ из этих аксиом.Следствие1.Через прямую и не лежащую на ней точку можно провестиплоскость, и притом только одну.Действительно, точка вне прямой вместе с какими-нибудь двумяточками этой прямой составляют три точки, через которые можнопровести плоскость, и притом только одну.Следствие2.Через две пересекающиеся прямые можно провести плос-кость, и притом только одну.ДействитеJIЬНО, взяв точку пересечения и еще по одной точке накаждой прямой, получим 'гри точки, черезплоскость, и притом только одну.KO'l'OpbIeможно провести18881.81.
Теоремы о параллельных прямыхТЕОРЕМЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХПРЯМЫХОпределение.n ПРОСТРАНСТВЕДве прямые в пространстве называются nараллельuы.ми, если они лежат в одной ШIOСКОСТIi И не пересекаются.Теорема.Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом tолько одна.Iw.;Рис.81.1.Доказательство. Расс;мотрим прямую аи точку 1VJ. , не лежащ1ю на этой прямой,81.1. Через прямую а и точку Мсм.
рис.проходит ШIОСКОСТЬ, И притом толькоодна (по следствию1 из аксиом сте80). Обозначимреоме'l'РИИ, см. вопросэту плоскость буквоl:i оо. Прямая, проходящая черезточкуЛ1параллельнопрямой Ct, должна лежать в плоскости,задаваемой точкой "~1 и прямой а, т. е. должна леж&.ть в плоскости ОО.НО в плоскости а '{ерез точку М проходит единственная прямая: Ь,параллельная прямой а, см. вопрос52.Теорема доказана.Докажем теперь вспомогательную лемму.Лемма.Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.Рис.Доказательство.из ко'горыхрис.81.2.-81.2.Рассмотрим две параллельные нрямые а и Ь, однапрямая апересекает плоскость а в точке М, см.Докажем, что прямая Ь тоже пересекает плоскость а, т. е.имеет с ней ровно одну общую точку.189Теоремы о параллельных прямых81.Обозначим буквой,8плоскость, в которой лежат параллельные прямые а и Ь.
Так кат< две разли':tные плоскости а и (З имеют общую 'fОЧКУМ, ТО по аксиоме стереометрии (см. вопрос80) они пересекаю'Тся понекоторой прямоii т, см. рис. 81.2. Эта прямая лежит в плоскости (Зи пересекает прямую а в точкс М, поэтому она пересекае'Т и паралдельную сй прямую Ь в некоторой точкев ПЛОСКОС'ги а, поэтомуN.lIрямая т лсжи'т 'Такжеточка llJIOСJ(ОСТИ а. Следовательно,NN общая точка прямой Ь и плоскости а.Докажем тепурь,что прямая Ьс плоскостью а, кроме точкиN.не имеетдругих общих точекЭто и будет означать, что прямая ЬIпересекает плоск~сть а.Действительно, если б!>I прямая Ь имела еще одну общую 'гочкус плоскостью а, то по aKC~OMe стереометрии она целиком лежала быв ПJlOскости а (см.
вопросi80) и была бы общей прямой плоскостей аи (З, т. е. совпадала бы с прямой т. Но это невозможно, так как поусловию прямые а и Ь параллельны , а прямые а и т пересекаются.Лемма Доказана.Теорема.Если дВе прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу.Дока.lатеЛЬСТБО.Пусть прямая а параллельна прямой с и прямая Ь тожепараллельпа прямой с. Требу_ется доказать, что прямые а и Ь параллельны,т. е. что прямые а и Ьплоскости и1)2)1)лежат в однойне пересекаются.Отметим какую-нибудь точку Рна прямой Ь. ОБОЗflачим буквой (~ IlЛОСкость,точкупроходящуюсм.
рис.через81.3.прямуюаиРис.Докажем, чтопрямая Ь лежит в плоскости а. Допустим,плоскость а, тог да по лемме о пересе':tепиипрямыми (см. вопроса81)':tTO81.3.прямая Ь пересекаетплоскости параллельнымипрямая с также пересекает плоскость а. Нотак как прямая с параллельна прямой а, то и прямая а пересекаетплоскость а, что невозможно, так2)как прямая а лежит в плоскости а.Прямые а и Ь не пересекаются, так как в противном случае черезточку их пересечения проходили бы две прямые а и Ь, параллельныепрямой С, что певозможно.Таким образом, доказано, ЧТО rrрямые а и Ь пара.ллельны.Теорема Доказана.19082.82.Параллел:ъность прямой и плоскостиПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИОпределение.lJр.я.мдя!}.
ПЛОС1\:ОСТnЪ называются nара./lлеЛЫ-Н.>I"Ю.t, ес.rrиони не имеют общих точек.Теорема (признак параллeJIЪНОСТИ прямой и плоскости).Если прямая,не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащейв этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.~Доказательство.руюплоскостьРассмотримо:идвенекотопараллелъныепрямые а и Ь, расположеНl-lые так,' ~ITOпрямая Ь лежит в плоскости 0:, а прямая ане лежит в этой ПJюскости, см. рис.82.1.Докажем, что прямая а пара,плельнаIплоскостиа0:.Предположим, что это не так.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
