Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 31
Текст из файла (страница 31)
рис.85.3. Надо доказать, '{то прямые а и Ь параллельны.Через какую-нибудь точку1\1[&,перпендикулярные к плоспрямой Ь проведем прямую Ь 1 , параллельнуIO прямой а, см. рис. 85.3. По предыдущей теореме получим,что прямая&1перпендикулярна ПJIOскости а. Докажем, что прямая Ь 1совпадает с прямой Ь. Допустим, что прямыев плоскости[3,содержащей нрямые Ь иbI ,&и Ь 1не совпадают. Тогдачерез точку М проходят днепрямые, перпендикулярные к прямой С, по которой пересекаются плоскости а иПо это невозможно, следовательно, прямая Ь 1 сонпадаетс прямой Ь, и поэтому прямые а и Ь параллельны.Теорема доказана.85.198Перпендикулярность прямой и ПЛО9КОСТИДокажем теорему, Еыражающую признак перпендикулярности прямой и плоскости.Теорема (признак перпендикул.ярности ПРJlМОЙ И ПЛОСКОСТИ).Если некоторая прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.ааАоу.тqаРис.Дока.lателъство.n,85.4.к прямым т.
иО, см. рис.Рассмотрим85.4.прямуюлежащим в плоскостиа,ctкоторая перпендикулярнаи пересекающимся вTO'iKeНеобходимо доказать, '{то прямая а перпендикулярна к ШIOскости а.Для этого по определению нужно ДО[(а;}ать, '{то прямая а пеРl1ендикулярна к произвольной прямойq,лежащей в плоскоdти а. Рассмотримсна'iала случай, когда прямая а проходит черезрез точку О прямуюl,парал.rrе.rrьную прямойчерез точку О, то в качествеqTO'iKYО. Проведем че(ес.IIИ прямаяq проходитl возьмем саму прямую q).Отметим на прямой а то'iки А И В так, чтобы точка О была серединой отрезка Апрямые т,nиlи проведем в плоскости а прямую, пересекающуюсоответственно вдля определенности, что точкакак прямые т иnNTO'iKaXМ,NиL.Будем считатьлежит между ТОЧI<аМИ А1 ИL.Таксерединные перпендикуляры к отреЗI<У АВ, товерны равенстваАМ=ВМиANBN.Следовате.IIЬНО, треугольники АМ N и ВМ N равны по трем сторонам.Поэтому их углыA!l1NиBiW Nравны.Сравним теперь треугольники АМ L и ВМ L.
Они равны по двумсторонам и углу между ними; стороны АА1 и В М и углы АМ Е иП/lt[ L равны по доказанному выше, а сторонаN! Е -общая. Поэтомуих соответственные стороны АЕ и ВЕ тоже равны. Это означает, чтотреугольник АВ L равнобедренный и его медиана 1,0 является высотой,т. е. прямая1 перпсндикулярнапрямой а. Так как прямаяlпа.раллельна86.прямойqиТеорема о трех перпендикулярах199псрпендикулярна прямой а, то и прямаяq перпендикулярнапрямой а (по лемме о перпсндикулярности двух параллельных прямыхк третьей, см. вопрос85).Таким образом, прямая а перпеНДИКУЛЯРllа к любой прямой q,лежащсй в плоскости 0:. Это означает, что прямая а перпендикулярнаШlOскости0'.Рассмотрим 'l'сперь случай, когда прямая а неточку О.
Проведем черезточку О прямуюпроходит crерезпара.ллельную пряat,мой а. По упомянутой лемме прямая аl пеРllендикулярна и прямой т,и прямой n, поэтому, по доказанному в первом случае, прямая аlперпендикулярна плоскости 0'. Отсюда (по теоремепрямая а перпендикулярна плоскости1)следует, что0:.Теорема доказана.86. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ.ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХРассмотрим ПЛОСКОСТЬ и не JIежащую на ней точку.Опред€'дение.Псрnендику.л.яром, опущенным из данной точки на данную плоскость, на.'1ьшается отрезок, соединяющий данную точку сточкой плоскости и лежащий па прямой, перпендикулярной плоскости.Конец э'гого отрезка, J!ежащий в ПJюскости, называетсяоснованнс.м nерnендuк:у.л.яра.
РасстО.я1шем от rnочх:tt до плоскости называетсядлина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.Определение.Наклонной.,проведснной изданной точки к даннойПJIOскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку сточкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к ПJ!Оскости. Консц отрезка, лежащий в ПJIOскости, называется основаннс.м нак:лонноЙ.Отрсзок, соединяющий основания псрпсндикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки к плоскости, называется nроек;циейнаК:JlОННОЙ на эту ПЛОСКОС'j]Ь.На рисунке 86,1 из точkи А к ШIOсАiкости о' проведены перпеН;l~ИКУЛяр АВи наклонные АС'иЯВJlЯЮТСЯAD.основаниями'Iрчки С ИDчоответствующих наклонных, а точка воснованием перпендикуляра.
Наконец, ОТрезки ЕС иBDнаклонных АС иявляются проекциямиADна плоскость 0'.Рис.86.1.86.200Теорема о трех перпендикул.ярахТеорема (о трех перпенди:куmrpах).Прямая, провe,{;J:енная в плоскостичерез основание наклонной перпендикулярно к ее п~кции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.Доказательство.Пустьпроведены отрезки АНляр к ШIOСКОСТИ 0:, И АМизточкиАперпендику-наклоннаяк этой плоскости.
Кроме того, пустьчерез основание наклонной М!3костиперпено:провсденапрямаяа,ШIOсдикулярная к проеКЦЮI Н М наклонной АМ, см. рис. 86.2.Требуется Докаэать, что прямая аРис. 86.2.перпеНДИКУ_'rярнаj(наююнной АМ.Рассмотрим плоскость АМ Н. Прямая а перпендикулярна к э":гой ПЛОСКОСТИ, так как она перпендикулярнаК двум пересекающимся прямым А Н И Н:М, лежащим в этой плоскости: прямая а перпендикулярна прямой НМ по условию теоремы ИперпеНДИI<УJIярна прямой АН, так как прямая АН перпендикулярнаплоскости0:.По определению перпендикулярности прямой И плоскости это означает, что прямая а будет перпеНДИКУ.i!ярна к любой прямой, лежащейв ПЛОСКОСТИ АМ Н, в частности, прямая а перпендиj(улярна к наклонной АМ.Теорема дока.зана.Замечание.Теорема.Справедлива. также обратная теорема.Прямая, проведенная в плоскости через основание наклоннойперпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.Доказательство.Пусть теперь через точку М проведена прямая а,перпендикулярная наклонной АМ, см.
рис.86.2.Рассмо'l"РИМ шюскость АМ Н. Прямая а перпеНДИКУJlНрна к этойплоскости,таккаконаперпендикулярнакдвумпересекаюЩИМСЯпрямым АН и АМ: прямаR а. перпсндикулярна прямой АМ по усло!3июИ перпендикулярна прямой А Н, та.к как прнмая АН перпендикулнрнаШIOСI<ОС'l"И О:.Отсюда.
по определению перпендикулярности прямой и плоскостиследует вывод о том, что прямая а перпендикулярна к тобой прямой,лежащеii в ПЛОСКОСТИ А1Уl Н, в ча.стности, прямая а перпендикулнрнак проекции Н М наклоннойТеорема дока.за.на.A1I1.ПJ?изнак лерпендикулкрности плоскостей87.20187.
ПРИ3Н~К ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ Определение.Двугранным угломназывается фигура, образованнаяпрямой а и двумя РОJlУПJlОСКОСТЯМИ С общей границей а. ПОJlУПЛОСКОСТИ,образующие двугранный угол, называются его гран.я.м:u. Прямая аобщая граница полу плоскостейназывается ребром.двугранногоугла.
Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку Ои в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярноl{ребру. Образованный этими лучами угол называется лш-tеЙНЫ.Аt угломдвугранного угла.На рисунке87.1показан угол АОкоторый является JlИнейным УГЛОМ двугранного угла с ребром СЛ. Следуетзаметить, что плоскость линейного угвла перпендикулярна к ребру двугранного угла.
Дейст~ительно, прямая СЛперпендикулярна и к прямой ОА, и кпрямой ОВ, следовательно, ребро СЛперпендикулярноплоскостиАОВпоllризнаку перпендикулярности прямойи плоскости, см. вопросОпределение.Рис.85.87.1.Величиной двуграшюго угла называется веJIичина еголинейного угла.IДве пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных Уl'лас общим ребром.Определение.Углом <.р между пересекающимися плоскостями называется угол, который не превосходит каждого из остальных образовавшихся углов. Очевидно, что ООпределение.<<.р :::;900.Две llересекающиеся плоскости называются nерnендиI<:УЛ.ярнымu (или взаимно пернеIЧ\ИКУЛЯРНЫМИ), если двугранный уголмежду НИМИ равен900.Теорема (признак перпендикулярности двух плоскостей).Если однаиз двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другойплоскости, то такие плоскости перпендикулярны.Доказательство.Рассмотрим две плоскости а: и (З такие, что плоскость а: проходи'г через прямую АВ, перпепдикулярную к плоскости (ЗИ пересекающуюся с ней в точке А, см.
рис.87.2.88.202Общий перлендикуляр к двум скрещивающимея прямымРис.87.2.Требуется докаэа.ть, что в этом случае шюскости СУ И {З будутвзаимно перпендикулярны.Плоскости а и {З пересекаются по некоторой прямой АС, причемпряман АВ будет обязательно перпендикулярна. прямой АС, так как поусловию прямая АВ перl!ендикулярна плоскости {З, и, следовательно,пряман АВ перпеНДИКУJlярна к любой прямой, лежащей в плоскости {З.Проведем в IlJЮСКОСТИ {З прямуюмой АС. Тогда уголBADAD,перпендикулнрную к прнбудет НВ.IШТЬСН линейным углом двугранногоугла, обраэованного при пересечении плоскостей а и {З.Но уголBADпрнмой по условию (так как прнмая: АВ перпендикулнрна плоскости {З). Следовательно, угол между плоскостями СУ и {Зравен90°, т.
е. плоскости СУ и {З взаимно перпендикулнрны.Теорема доказана.Следствие.Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей,см. рис.87.2.88. ТЕОРЕМА ОБ ОБЩЕМ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЕК ДВУМ СКРЕЩИВАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМОпределение.Общuм. nерnендuкуд.яром. к двум скрещивающимся прямым паэываетсн отрезок с концами, расположенными на этих прямых,и явлнющийся псрпсндикуляром К каждой из этих прямых.Определение.Рассmо.я'Нuем мсжду двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.88.Общий перпендикулнр к двум скрещивающимся: прямымТеорема.203Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпенДикуляр, ипритом только один.Доказательство.Пусть прямые а и Ьскрещиваются.
Построим общий перпендикуляр этихпрямых.Для этогоNвозьмем любую точку М прямой Ь ипроведем черезМпрямуюдельную прямой а, см. рис.с, парал88.1.Пустьплоскость а проходи'1' через прямые Ьи с. Тогда по признаку параллельности прямой И ШIOскости, см. вопрос82,прямая а пармле.riьна плоскости а, такРис.88.1.как прямая а пармлельная прямой С,лежащей в ПJIOСIЮСТИ а.Теперь,Nанмогично, выберем на прямой а произвольнуюИ опустим из нее перпендикулярмую а и перпендикулярпересечения плоскостейNL1 иNLTO'IKYна IlЛОСКОС'1'Ь 0:.
Через пряпроходит плоскостьОбозначим линиюl'о: через а/. Заметим,'1'1'0прямые а и а/параллельны, так как они лежа'1' в одной плоскости и перпеНДИКУJ1ЯРНЫодной и той же прямойN L.Докажем, что прямая а' пересекает прямую Ь в некоторой точкеQ.Дейс'1'ВИТельно, если бы оказалось, что а/ не пересекает прямую Ь,ТО, посколькуOHj1лежат в одной плоскости, это означмо бы,"1'1'0они пармлельны. Поскольку прямая а/ одновременно пармлеJ1ьна ипрямой а, то получалось бы, что прямые а и Ь пармлельны, чтопротивореЧIП' условию теоремы, где сказано, что прямыIe а и Ь скреЩИRаются.Проведем из точкиQпсрпендикуляр к прямой а, точку пересечения обозначим букво~ Р.
Так как прямыеиPQNLявляютсяперпендикулярами к одной прямой а и лежат в одной плоскости, тоони параЛJ1еJIЬНЫ. Следовательно, по тсорсме1вопроса 85, отрсзокперпепдикулярен плоскости 0:, и поэтому отреэокPQPQперпендикуляренпрямой Ь.Таким образом, отрезокPQявляется общим перпендикуляромдвух скрсщивающихся прямых а и Ь. Длина отрезкаPQназываетсярасстоянием между скрещивающимисн прямыми а и Ь.Теперь остается доказать, что построенный отрезоксяединственнымпрямым а и Ь.перпендикуляромкдвумPQявляетскрещивающимен20488. Общий перпендикуляр к ДВУМ скрещиваюIЧИМСЯ ПРЯМЫМПредположим, что у прямых а и Ьесть другой общий перпендикуляр С 1),показанный на рИС.
$8.2. Проведем чсрез точку С прямую l Ь/l, параЛJICЛЬНУЮпрямой Ь, а через ТОЧ~У Ртакже пара.IlЛельпуюпрямую Ь',iJ.Заметим, что прямые а, Ь' и Ь" лежат в одной плоскости. Прямыс Ь' и 1;"лежатРис.88,2.вПЛОСI<ОСТИкакпараллельные, а прямая а лежит в этой жеплоскости, так как две ее точки Р иQлежат в Э'ГОЙ плоскости. Обозначим эту плоскость буквой 0:.ПрямаяCDперпенДикулярна прямой Ь, а следовательно, и прямой 1;". Это означает, что прямаяCD перпендику./lярна плоскости о:по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.Аналогично ра.ссуждая, имеем, что прямаяPqтоже перпендИI<Улярна плоскости 0:. Следовательно, по теореме 2 вопроса 85 прямыеPQи С О пара.JJЛельны, и, таким образом, лежаt в одной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
