Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Тогда. прямая а пересекаетРис.82.1.плоскость0:,итог да по лемме о пересечении плоскостипараллельными прямыми (см. вопрос81)прямая Ь также пересекаетПЛОСКОСТЬ а. Но это невозможно, поскольку прямая Ь лежит в плоскости 0:. Следовательно, прямая а не пересекает плоскость 0:, это 0знач:ает, что она па.раллельна этой плоскости. Теорема докюапа. Теорема.Если плоскость проходит через данную пря~ую, параллельнуюдругой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.Доказательство.Пусть через даннуюпрямую а, параллельную плоскостипроходит плоскость {З,0:,пересекающаяплоскость о: по прямой Ь (см.
рис. 82.2).Докажем, что прямая Ь паралле,пьнапрямой а.Действительно, эти прямые лежатв одной плоскости, в плоскости {З, и неРис.82.2.пересекаются: ведь в противном случаепрямая а пересекала бы плоскость 0', ноэто невозможно, поскольку по УСJJОllИЮ теоремы прямая а па.раШlельнаплоскости0'.Теорема доказана..83.Следствие.Признак параллельности плоскостей191Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихсяплоскостей, то она параллельна линии их пересечения.ДоказатЕ'-ЛЬСТВО.Пусть даны две плоскости о' и {З, которые пересекаются попрямой Ь, и, кроме того, дана некоторая прямая а параллельна и ШlОскости 0',И плоскостисм. рис.М82.3.Докажем, что прямая а параллельнапрямой Ь.Через какую-нибудь точку М, лежаащую на прямой Ь, и через прямую а проведем плоскость.
'Гогда эта плоскостьдолжнапересеI<атьсясплоскостямио'Рис.82.3.и {З по прямым, пара.!Iлельным прямой а и проходящим через точку М.Но через точку М можно провести только одну прямую, паРaJlЛСЛЬНУЮа, поэтому две линии перессчения проведенной плоскости сПЛОСКОСТ.fIми (~ И {З должны совпада'гь с этой прямой. Кромс того,эта прямаfl, находясь одновременно и в ШIOскости 0', И В плоскости {З,должна, в свою очередь, совпадать с прямой Ь, по которой плоскости о'и {З пересекаются.Э'1'о и означае'1', что прямая а параллельна ПDЯМОЙ Ь.83.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ. ПРИЗНАК ПАР АЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ Определение.Две nJlосх;осmu называются nараJlлеЛЬНЫ.ми, если онине пересекаютс.fI.Теорема (признак параллельности двух плоскостей).&ли две пересекающиеся прямые рдной плоскости соответственно параллелъны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.Доказательство.Рассмотрим ШlOскости о' и {З. Пусть в плоскос'ги о'лежат две прямые а и Ь, пересекающиеся в точке М, а в шюскости {Злежат две прямые а] иbj,причем прямая а параллельна прямой al ипрямая Ь параллельна ПРЯl'10Й Ь 1, см.
рис. 83.1.Докажем, что ПЛОСКОС'ljЬ о' параллельна плоскости{3.Прежде всего отмети!v.}, что по признаку параллельности ЩШМUИИ плоскости (см. вопроспаралJIельны плоскости/3.'82)можно заключить, что прямые а и Ь83.192Признак параллельности плоскостейсfJа~Рис.Допустим, что плоскости о: и83.1.{3не пармдельны. :Тогда они пересеl(aIОТСЯ по некоторой прямой с. Прямые а J,l с не им~ют общих To'reK,поскольку прямая а пармлельна ПJЮСКОСТИ{3. С другой стороны, прямые а и с лежат в плоскости 0:.
Отсюда следует, 9-то прямые а и спараJIЛе.IIЬНЫ.Ра.ссужда.я аналогично, заметим, что и прямые Ь и с не имеютобщих точек, поскольку прямая Ь параллельна ПЛОСКОСТИ/3.ПОСКО.IIькупр.ямые Ь и с лежат в ШIOСКОСТИ 0:, то прямые Ь и с тоже параллельны.Таким образом, через точку М проход.ят две прjiмые а и Ь, параллельные пр.ямоЙ с.
Но это невозможно, так как по теореме о параддельных пр.ямых (см. вопрос81)через точку М проходит только однапрямая, параллельна.я прямой с. Следоватедьно, сделанное допущениеневерно, и поэтому ПЛОСКОСТИ о: и{3параллельны.Теорема доказана"Рассмотрим два свойства параллельных плоскостей.Теорема1.Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.Рис.83.2.Рис.83.3.84.Доказательство.Теоремы о скрещивающихся прямыхИтак, рассмотрим прямые а и Ь, по которым двепараллельные пло~кости сх исм.
рис.193пересекаются с третьей плоскостью(3/,83.2.Необходимо доказать, ~ITO прямые а и Ь паРaJIJlельны.Действительно, эти две прямые лежат в одной плоскости, в плоскостии не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и Ь/,пересекались, 'го плоскости СУ ипротиворечит условию(3имели бы общую точку. Но этотеоремы, в котором сказано,'ITOплоскостисхИ tз параллельны.Итак, прямые а и Ь лежат в одной ПJюскости И не пересекаются,следоватецьно, ПР.iIмые а и, Ь параллельны.Теорема доказана.Теорема2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.Доказательство.Пусть две параллельные прямые пересечены двумяпараллельными плоскостями сх иэтих(3.Рассмотрим отрезки АВ и С Dпараллельных прямых, заключенныесм.
рис.между плоскостямисхи83.3.Докажем, что длины отрезков АВ иРассмотрим плоскость/,АВ и С D. Тогда эта плоскостьплоскости сх и(3CDравны.проходящую через параллельные прямые/по предыдущей теореме пересекаетпо двум параллельным прямым АС иЗаметим, что в получившемся четырехугольникевоположныеугольникстороныпопарнопараллеJIЬНЫ,BD.ABDCследовательно,протичетырехпараллеJIограмм. Но в параллелограмме противоABDCположные стороны равны, поэтому длины АВ иCDравны.Теорема доказана.84.ТЕОРЕМЫ О СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХОпределение.Две прямые называются сх:рещ'uва'Ющu,м'UС'я, если онине лежат в одной плоскости.Теорема.Если две прямые скрещиваются, то они не пересекаются и непараллельны.Доказательство.ЕСJ1И бы :эти прямые пересекались или были бы параЛJIельны, то они лежали бы в одной плоскости, что противоречитопределению скрещивающихсяТеорема доказана,прямых.84.194Теоремы о скрещивающихся прямыхТеорема (признак скрещивающихся прямых).
Если одна из двух прямыхлежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскостьв точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.DДоказательство.Рассмотрим прямуюАВ, Jlежащую в плоскости а,VaРис.прямые АВ и84.1.и прямую ел, пересекающую эту ПЛОСКОСТЬв точкесм.
рис.не лежащей на прямой АВ,84.1.Докажем, что прямые АВ и слскрещивающиеся прямые, т. е. что онине лежат в одной плоскости.Действительно, если допустить, чтоCD лежат в некоторой плоскости f3, ТО плоскость f3должна будет проходить черезпрямую АВ и точку С и поэтомусовпадет с плоскостью а. Но это невозможно, так ка.к прямая сл поусловию теоремы не лежит в плоскости а.Теорема доказана..153)Рис.Замечание.84.2.Перечислим все возможные случаи взаIfМНОГО расположения двух прямых в пространстве.
Таких случаев три:1)прямые пересекаются, т. е. лежат в одной плоскости и имеюттолько одну общую точку;2)прямые параЛJJельны, т. е. лежат вплоскости и не пересекаются;3)прямые скреЩl1ваются, т. е. не лежат в одной плоскости.Различные случаи расположения двух прямых в пространстве показа.нына рис.84.2.Докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.84.Теорема.Теоремы о скрещивающихся прямых195Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.Доказательство.IIусть даны скрещивающиеся прямые АВ и сп, см.
рис.84.3.Докажем, что через прямую АВ обя:>ательно проходит плоскость, параллельная прямой С п, и притомTOJ1hKOодна.Проведем чере:> точку А прямую АЕ,параллельную прямой С п, и обозначимбуквойQЕDплоскость, проходящую черезпрямые АВ и АЕ. TaI( как прямая спнележитвплоскостиQИРис.параллельна84.3.прямой АЕ, лежащей в этой плоскости, ТО прямм С Опараллельнаплоскости й (по признаку параллеЛhНОСТИ прямой и плоскос'l'И, см.вопрос82).Докажем, что плоскость йединственная плоскость, проходящаячерез прямую АД и параллельная прямой сп. В самом деле, люба.ядругая плоскость, проходящм через прямую АВ J пересекается с прямой АЕ, а значит, пересекается и с параллельной ей прямой сп (полемме о параллельных прямых, см.
вопрос81).Теорема доказана.IZ!JРис.84.4.Напомним определение угла между двумя прямыми.Определение.Углом между двумя пересех:аw'Щu,мuся пря,МЫ.МU называется меньший из углов, образующийся при пересечении этих прямых(угол 'Р на рис.Определение.84.4).Угол между двумя параллеЛЫ-tЫМU пря.мымu счи'гаетсяравным нулю.Определение.Углом .меж~у двум.я с:к:ре'Щuваw'Щu,мuся ПРЯ.АtЫ.АШ называется угол, обра:юванный двумя пересекающимися нрямыми, паралдельными данным скрещиhающимся прямым соотве'гственно (угол 'Рна рис.84.4).19685.85. Перпенди:кулярность прямой и пло~костиПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Определение.Две прямые в пространстве паэываются взаu.мно перпендUХ;УJlJlрны.;flU, если угол между ними равен900.Возможны два случая расположения взаимно перпендикулярныхпрямых в пространс.тпе:1)перпендикулярные прямые могут пересекаться;2)перпеНДИI<улярные прямые MOrJ'1;',цш\.а,,,,с;м вспомогаТeJIЬНУЮ леммураллельных прямыхЛемма.l(l!<реЩ/JпаЮЩИМИСjJ.о перпендику лярностидвух патретьейЕсли одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к эт~й прямой.Доказательство.~7 j/Рис.ПУСТЬ прямая а параJlJIельна прямой Ь, и пусть прямая ааперпеНДИКУЛЯрllа прямой с.Докажем, 'iTO тогда и прямая Ь перпендикулярна прямоj1 с.qерез произполы~ую точку М проIстранства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые М А и М С, параллельпые прямым а и с соответствен85.1.но, см.
рис.85.1.Так как прямые а и с взаимно пеРllендикулярны, то параллельныеим прямые МА и МС образуют прямой угол, Т.е.условию леммы прямые а и()LAMC900.Попа.ра.ллельны, а по построению прямая апараллеЛЫlа прямой М А, поэтому и прямая Ь параллельна прямой М А(см. вопрос81).Таким образом, прямые Ь и с пара.IIлельпы соответственно прямым}.{ А900.и МС, лежащим в одной шroс.кости, и угол между которыми равенЭто по определению ознаqает, что угол между прямыми Ь и стакже равен 900, т.
е. прямая Ь перпеllдикулярна прkмой с.Лемма докаэана.Определение.Прямая называется nгшпеюJшr:ll,ляТJх; п,лосх;осm tI, ссли эта прямая перпендику.rшрна. к любой прямой, лежащейплоскости.Dэтой85.ТеоремаПерпендикулярность прямой и плоскости197Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна кii...1.плоскости, то и дрrгая прямая перпендикулярна к этои плоскости.IаIДоказательство.
I Рассмотрим дне па-раллельные ПРЯМfе а и ~ и плоскостьIьа такую, что ПРЯi\1ан а перпендикулнрнаплоскости а. До~ажем,'ITOи прямая Ьперпендику лнрна плоскости а.Пронедемкакую-нибудьв плоскости а, см.рис.прямую85.2.mТак какпрямая а перпенД)'п<улярна плоскости а,то прямая а обязательно перпендикулярРис.на и прнмои т, лежащей в плоскости а. 85.2.По лемме о перпендикулярности днух параллельных прямых к третьей следует, что и пр.нмая Ь перпеНДИКУJlярна прнмой 'т.
ПОСКOJIЬКУ 'П! произвольная прямая плоскости а, то прямая&перпендикулярнак любой прямой плоскости а, т. е. пр.нман Ь перпендикулярна к плоскости а. Теорема доказана. Теорема2.Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они пвраллельны.Рис.85.3.Доказательство.Рассмотрим прямые а икости а, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
