Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 27
Текст из файла (страница 27)
:.заметим, что в треугольниках АВ D и BEF углы ВАпEBF равны как соответственные при па.раллеЛhНЫХ прямых AD иBF, и углы АВ]) и BEF равны как соотнетственнЫе при парадлельных прямых BD и СЕ. Подобие этих треугольнико~ означает, что ихистороны пропорциональныАВADBF'ВЕ(1 )iДалее, поскольку прямые BF и DC ипряrые BD ~ FC пармлельны,BFC]) является пармлелограммом П, ;следовательно, ееПРОТИВОПOJюжпые сторопы В F и пС равпыl.то фигураТеперь докажем, что 'греугольник ВС Ы равнобедренный, т. е. чтов этом треугольнике стороны ВЕ и ВС равны.Действитедьно, углы ВПС пУI'ДЫ при нараллельных прямыхABDHD иранны как соответстненныеи углы ВСЕ и пвс равныкак накрест лежащие углы при тех же llараллельны~ прямых.
Из этихравенств, учитывая, что углыABDиDBCравны по условию, получаем, '1'1'0 углы ВЕС и ВСЕ тоже равны. Но если в треугольнике равныдва угла, то равны и стороны ВС и НЕ, леЖaIцие прqтив равных углов.Теперь, заменив в пропорции(1)длину стороны ВЕ на ра.вную ейдлину ве и длину BF на 'длину DC, получим требуемую пропорциюADDC АВ71.Равенствоотрезков двух пересекающихся: хорд17171. F АВЕНСТВО ПРО ИЗВЕДЕНИЙ ОТРЕЗКОВ ДВУХ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД Теорема.Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длинобразовавшихся при пересечении отрезков одной хорды равно произведениюдлин отрезков другой хорды.хорды АВ иДОК1l.1ательство.
см. рис.CD71.1. Докажем, что про из ведения длин отреЗI<ОВэтих хорд равныАЕ. ВЕ =СЕ·DE.Рассмотрим ,:греУГОJ1ЬНИКИADEи СВЕ.Они подобны по первому признаку подобия сгреУГОJ1ЬНИКОВ. ДействитеJ1ЫЮ, у нихуглы1и2Рис. 71.1.равны, поскольку это вписанные угды, опирающиеся на одну и ту же дугуBD,а углы3 и 4 равныкак вертикальны~. Отсюда следует, что стороны э'тих треугольников пропорционаЛЬНЬI, Т.е. АЕDEСЕВЕ'Из этой пропорции, перемножая ее «крестиком», получаемAE·BE=CE·DE.Теорема доказана.Следствие1.Если в одной точке Е пересекаются несколько хорд то для каждой из них произведение длин образовавшихся отрезков будет равно одному и тому же числуСледствие2.Q.
ПроизведениеQ длин отрезков хорд зависит только от радиуса окружностиRи расстоянияrра окружности и равноДоказательство.от точки Е до центQ = Н2Средихорд, проходящих через то'-!ку Е, выберем такую хордуАВ, ко,:горая проходит черезОКРУЖНОССl'и О, см. рис.71.2.ценсгр Эта хорда буде'т являться диаметром окружности. 10чка Е делит диаметр на отрезки АЕдлиныR- rи ВЕ длиныочевидно, равноQR+ Т'.АЕ .
ВЕРис. 71.2. ИХ произведение равно числу= (Н -'1') . (Н + r)н2,.2. Qи, 17272.Теорема о касательной и сеКУЩЕ(Й72. РАВЕНСТВО КВАДРАТА КАСАТЕЛЬНОЙ ПРОИЗВЕДЕНИЮ СЕКУЩЕЙ НА ЕЕ ВНЕШНЮЮ 1:.IAСТЬ Рассмотрим произвольную точку М, расположенную вне данногокруга. Прямую, проходящую через точку М и имеющую с кругом бо.nееодной общей точки, называют секущей. Длиной секущей часто называю'1' ддину отрезка от точки М до более дальней точки пересеченияс окружностью.Те()рема.&ЛИ из точки М, взятой вне круга, проведены к нему какаянибудь секущая М А и касательная М С, то произведение длины секущейна длину ее внешней части М В равно квадрату касательнойМА· МВ = ме 2 .Д()каlательств().МЧерезТОЧКУ М, леIжа.щую вне круга, проведем касатедьную Ме и секущую М А, см. рис.Кроме '1'ого, про ведем72.1.две вспомогательные хорды АС и ве, в результате получим два треугольника М АСи М ве, которые подобны один другому, потому что у них есть общийугол М, а углы мев и еАВ равны,так как каждый из них измеряется поРис.дОВИIюй дуги ве.
Стороны МА и Ме72.1.треугольника М АС ЯВ.!IЯЮТСЯ соответственными сторонам М е и М В треугольника М ве, поз тому ониПРОПОРЦИОНi1ДЬНЫМАММе= МВ'откуда уже легко получить искомое равенствоМА ·мвме 2 .Теорема доказана.Следствие.Произведение отрезков секущих, проведенных из одной и тойже точки вне окружности, есть число постоянное для ооех секущих.Д()казательство.Это верно, так как /\ля каждой секущей зто произве/\eIlие равно квалрату отрезка касательной, проведенной из даннойточки.отрезков в прямоугоJIЬНОМ треугольнике73. 17373. ПРОПОfЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВВ пряrvi:ОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕОпределение.Отрезок ДЛИНЫ х называется средннм 11РО1!орt!uональным (или средним гео,м,еmричесх;u,м,) между двумя отрезками с длинами(tи Ь, еСJlИ выполнено УСJlовие хТеорема.V(llj.Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершиныпрямоro угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Каждый катет прямоуroльного треугольникаесть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.Доказательство.Рассмо'тримпрямо~угольный треугольник АВС, в которомугол С-- прямой. Извершины С кгипотенузе АВ проведем высоту сп,см. рис.73.1.Требуется доказасгь справеДлИ!юстьАслеДующих трех равенств:1)CDVAD.J)B,2)СВ= VAiз--:VВj,3)АС =вDРис.73.1.VAB-:-AD.Первое равенство докажем из подобия треугольников ACD и CBD.Эти два треугольника подобны по двум углам, так как в них углы свершиной в точкеDпрямые и углы А иBCDравны, так как каждыйиз НИХ дополняет угол В до прямого угла.Из подобия треугольников АС D и С В D следует, что ИХ стороныПРОIlорциональныCDADDB = CD'Из :этой пропорции можно выразить квадрат стороны С DCD 2AD·DB,отку да получим требуемое соотношениеCD1VAD·DB.17473.Пропорциональностьв прямоугольном треугольникеДокажем теперь второе равенство.Рассмотрим треугольники АВС и СВО.
Дока{Ксм, что они подобны. Заметим, что в этих треугольниках угол ВАСВ иBDC-оБIЦИЙ, а углыравны, потому что э'1'о прямые углы. Следова:гельно,треугольники АВС иCBDподобны по двум углам..Из подобия треугольников АВС и С В D следует пропорционмьность их катетовАВСВ::::СВDBИз этой пропорции можно выразить ква.драт С'1'ороны СВCB 2 =AB·DB,откуда, извлекал квадратныи корень из обеих частей равенства, полу2чим требуемое соотношениеСВ = v'AB· DB.Докажем теперь третье равенство.Рассужда.fl полностью ана,тlOГИЧНО второму случаю, рассмотримтреугольники АВС иДокажем,ACD.что в этих треугольниках угол А--'1'1'0они подобны. Заметим,общий, а углы АСВ иADCравны, потому что это прямые углы. Следовательно, '1'реугольникиАВС иACDподобны по двум углам.Из подобия '1'реугольников АВС и АС D следуе'1' пропорционадьность ихI,aTe'1'OBАВАСАС = AD'Иэ этой ПрОIlОрЦИИ можно lJЫРазить I(вадра'1' стороны АСАС 2 :::: АВ ·AD,откуда, извлекая квадратный корень из обеих 'Iастеи равенства, получим требуемое СООТlюшеllие3АС:::: v'AB· АП.Теорема дока.запа.74.74.Теорема Пифагора175ТЕОРЕМА ПИФАГОРАТеорема (Пифагора).в прямоугольном треугольнике квадрат длиныгипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.Доказательство.Рассмотримпрямоугольный треуго.(IЬНИК Аве, в KO'l'Oром из вершины hрямого угла е опусщен перпендику ляр е D на гипотенузу,см.
рис.174.1.п реДПОJI?ЖИМ,чтоугольника измерены,стороныпричематре-·получирон треугольника обозначать малыми,буквами, соответствующими большим~IЬ'буквам, KOTOPbIMk обозначены противолежащие углы),'llредположимтакже,Рис.что известны длины а' и Ь' отрезков, на которые точкаllрименяя теоремувDлись числа а, Ь и с (принято длины стоD74,1.делит гипотенузу.о пропорциональных отрезках в прямоугольномтреугольнике (см. вопросможно записать, '1'1'0 каждый катет73),является средним геометрическим между гипотенузой и проеrщиейэтогокатетанагипотенузу,поэтомуимеютместоследующиедваравенства:а2= с 'а/,ь2с, Ь'.Поскольку любые верные равенства можно IIочленно СКJlадывать, получим верное равенствоа22+ь =с .
а'+ с . Ь' .Приведем подобные члены+ ь2 =с(а'+Далее, заметим, что сумма длин проекций катетов а'+Ь равна длинегипотенузы с, следовательно, мы приходим К искомому равенствус2=+ ь2 .75. Формула расстояния на плоскости. YpaвHeH~e окружности17675. ФОРМУЛА РАССТОЯНИЯНА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ.
УР АВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИПусть на координа.ТIIоЙ плоскости хОууданы две точки: точ~а А с координатаВ(Х 2 ;У2)ми (Х1; У1) и точка В с координатамиIлу, позволяющую выразить расстояниеI------1')'1~_______ _t IA(x 1;YJ),Iсм. рис.75.1.Выведем формумежду точками А и В через известные--1Скоордина.ты этих точек.IПусть точки А и В имеют различо Х1Х2ные абсциссы, Х]Хдинаты,Рис. 75.1.I3А иYlf:.f:.Х2, И различные орУ2. Проведем через точкипрямые, пара.л.llельные осям координат, и рассмотрим образовавшийся при этом треугольник АВС.Он, очевидно, является ПРЯМОУГО./IЬНЫМ, причем его катеты равныXl!АС:=иЕС- Уl!,=а длина его гипотенузы равна искомому ра.ССТОЯНИfО АВ между точками.
Квадрат длины гипотенузы этого треугольн'ика можно найтипо теореме ПифагораАв 2Ас 2+ вс 2:::(Х2Следовательно, искомое расстонниеХl)2-+- Уl)2.d между двумн точками А и Внаходится по следующей формуле:d=.У(1)tу-1------... ВiА1~IХ1ВАХ2ХРис.о х75.2.Эта формула остаетсн верной и во всех других СJIучаях взаимногора.сположения точек А и В.75.Формула РfiССТОЯНИЯ на плоскости. Уравнение окружности177Рассмотрим случай, когда абсциссы точек А и В разли'!Ны, Хlа ординаты совпадают, УlfХ2,У2. ТOl'да треугольник Аве вырождаетсяв отрезок, парашфльный оси абсцисс, и расстояние между точками Аd == IX2 - Хll,(1), подставиви В равносм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
