Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 22
Текст из файла (страница 22)
14053.53. Теорема о сумме внутренних углов треугольникаТЕОРЕМА О СУММЕ ВНУТРЕННИХУГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКАТеорема.Сумма углов треугольника равна]800.Доказательство.Пусть дан произвольный треугольник АВС. Требуется доказать, что сумма его углов А. В и Сравна1800.Продолжим сторону АС треугольника за точкуполучим угол BCD,называемый внешним углом TpeyrOJIbника. Кроме того, проведем луч С Епараллельно АВ, см. рис.
53.1. ТогдаРис. 53.1.окажется, 'ITO LA :::: LECD, посколькуэто соотнетстнснные углы при паралЛeJIЬНЫХ прямых, и LB:::: LBCE,АсDпоскольку это накрест лсжащие углы при параллсЛI'1НЫХ прямых.OCTaeTCJ{заметить, что углы С, ВСЕ и ECD составляют вместеразвернутый угол. Следовательно,LA+ LB + LCLECD+ LBCE + LC == 180°.Теорема доказана.Следствие1.Всякий внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.По теореме угол треугольника и два других его угла в суммедают1800.Но угол треугольника и смежный с ним внешний уголтоже составляют в сумме1800.Отсюда следует, что внешний уголтреугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежныхСледствие2.ним.Если два угла одного треугольника соответственно равныдвум углам другого, то и третьи углы равны.Если угол А одного треугольника равен углу81, то LC :::: 1800 - (LA + LB) :::: 1800 3. В прямоугольном треугольнике сумма ДВУХ ОСТРЫХ углов равна одному прямому, т.
е. 90°.Если LA + LB + 900 == 1800, то LA + LB = 1800 ~ 900 = 900.Следствие 4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углыравны между собой и равны 45 о .Если LC90°, а LALB, то LALEЗ, == 450,Следствие 5. В равностороннем треугольнике все углы равны 600.равен углуСледствиеВ равностороннем треугольнике все углы равны между собой и ихсумма равна1800,поэтому каждый из них равен600.54.Теорема о сумме углов выпуклого многоугольникаТЕОРЕМА О СУММЕ ВНУТРЕННИХ УГЛОВ54.
ВЫПУКЛОГО МНОГОУГОЛЬНИКАОпределение.141Многоугольник называется выпуклым, если отрезок,соединяющий любые две ТОЧКИ этого многоугольника, принадлежитэтому многоугольнику.Теорема.Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, имеющегоn сторон, равна (n Доказательство.2) . 1800.Взяв внутри выпуклого МНОГОУГОЛЬНИJ):а, имеющегоnсторон,произвольную точку О (см.
рис.54.1),соединим ее со I;Iсеми вершинами. Тогда выпуклый МНQГОУГОЛЬНИК разобьетсянаnтреугольников. Сумма углов кажДОГО треугольника равна 180 О , следова~тельно,равнасумма1800 . n.углов всех треугольниковВ эту сумму входит сумма всех внутренних углов многоугольника исумма всех углов,Рис.54.1. которые расположенывокруг точки О, равная3600. Следовательно, сумма внутренних.
n - 3600 ::= 18()0 . (n - 2).угловмногоугольника равна 18()ОТеорема докаэана.Теорема.&ЛИ из вершины каждого угла выпуклого многоугольника ПJXГвести продолжение одной из сторон этого угла, то сумма всех образовав-шихся при этом внешних углов многоугольника будет равна 36()О.Доказательство.Заметим, что каждыйиз внешних углов (см. рис.ет дополнение доHHY'l'peHHeMY180054.2) состанляк смежному с нимуглу многоугольника. Сдедоватедьно, есликсуммевсехВНУ'l'ренних углов прибавим сумму всех внешнихуглов,'1'0получим1800. n,гдечислоnсторон.
Но сумма внутренних углов равна18()O . (n2).Следовательно, суммавнешних углов равна разностиРис.1800. n - 1800 . (n2) =18()О·2 = 3600.54.2.14255.55.Свойства и признаки параллелограммаСВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПАР АЛЛЕЛОГРАММАОпределение.ПараЛJlеJlQграм,.м,о.м, называе+ся четыреХУГOJ1ЬНИК, у KO~торого противоположные стороны попарно пара.rшельны.Теорема (свойство сторон и углов параллелограмма).во всяком параллелограмме:1)противоположные стороны равны; 2) противоположные углы равны; 3)сумма углов, прилежащих к одной стороне, равнаДоказательство.диагональBD,1800.
Проведем в пара.ллелогра.мме АВСП (см. рис. 55.1)получим треугольникивторому признаку: у нихиABDОни равны поBCD.общая сторона, ЦBD= {4и{2L:J,как накрест лежащие при па.ра.ллельных прямых. Из равенства :Э'I'ихтреугольников следует,'1'1'0вАВс= CD, AD =ВС и {А{С.Противоположные углы В и'Г. к.Dравны,они представляют собойсуммыравных УГ.[Ов:{В= L1+ {2 =={4+ LЗ = LD.УГ.IJы, прилежащие к одной стороне, например,А иПОСI(О.IJЬКУАDРис.Следствие.D,ЭТОдаlрт в суммеуглывнутренние1800,односторонние при пара.ллельных прямых.55.1.Теорема доказана.Если две прямые параллельны, то все точки каждой из ниходинаково удалены от другой прямой; или параллельные прямые везде одинаково удалены одна от другой.АМВыберем на прямой АВ две произволь_-.________N...-_B·ные ТОЧКИ М и N, см.
рис. 55.2. Из этихточек опустим перпендикуляры МРиNQна прямуюдикуляры1\1 РиCD.NQпара.rIЛeJ!ЬНЫ меж52. Таким образом,рсQ Dоказалось, '[то у фигуры М NQP стороны М N и PQ пара.ллельны по условию,Рис. 55.2.а. стороны М Р и NQ пара.ллельны попостроению. Это означает, что 'fетырехугольник },t!NQP - пара.ллелограмм. Отсюда следует, что М Р ::: NQ; другими словами, точки 1\1и N одинаково уда.ilены от прямой CD._I_Iду собой, см. вопросТогда эти перпен55.
qвойства и признаки параллелограммаТеорема (признаки параллелограмма).143Если в выпуклом четырехугольнике или1) противоположные стороны равны меЖАУ собой, или 2) Аве противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник есть параллелограмм. Доказательство.1)Пусть фигураABCD, см. рис. 55.1, есть четырехCD и стороны ВС и AD равны.угольник, у KOTOr-/ОГО стороны АВ иТребуется доказать,стороны АВ иCDи стороны ВС и ЛD попарно параллеЛЬНbl.
Проведем диагональBDи получим два треугольника. Они равныпЬ третьему приэнаку равенства треугольников, так как у них сторонаобщая, а стороны ЛВ иBD-CDи стороны ВС иADравны поУСЛОilИЮ. Из равенства эт~х треугольников следует, чтоL1[4 и[2[3, посколь~у в paBkbIx треУl'ольниках ПрОТИil равных сторонIлежат равные углы. В BOIrpoce 52 быдо доказано, что есди накрестлежащие углыI'pal'\Hbl, то прямые параллельны. Следовательно, сторонаАВ параллельна qTopolle CD, а сторона ве парадледьна стороне AD.2) Пусть в че~ырехугQлыIкеe ABCD (см. рис.
55.1) сторона ВСпармледьна стороне AD и длины сторон ВС и AD равны.Надо доказать, что стороны АВ и С D параЛДeJIЬНbl.Треугольники ABD и BCD равны по перilОМУ признаку, так каку них сторона BD общая, стороны ВС и AD равны по условию, иуглы 2 и 3 равны как накрест лежащие при паРaJIЛМЬНЫХ ПРЯМЫХ.Из равенства треугольников следует, что УГЛbl 1 и 4 равны, поэтомустороны АВ и CD паралдеЛЫIЫ, см. вопрос 52.Теорема ДОК&1ана.Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).Диагонали парэ.ллелограмма своей точкой пересечения Аелятся пополам.ДOKaaaT('..JIЪCTBO.Пусть Оточка пересечения диагоналей параллелограмма,см.
рис.55.3.ТреУГОJlЬНИКИ ВОС ивсAODравны по второму признаку: ИХ стороныВС иADравны как противоположныестороны паРaJlЛе40грамма, угды1и 2 иуглы 3 и 4 рапнь! как накрест лежащиепри паРaJlЛельных ПРЯМЫХ. Из рапенства треугольников следует, что отрезки ОСи ОА и отрезки ОВ иТеорема ,цоказана. что эта фигура ~ параллелограмм, т. е. что ODравны.АDРис.55.3.
14456.Теорема ФалесаВерна также обратная теорема.Теорема (признак параллелограмма).Если.в четырехугольнике диагонали точкой их пересечения делятся пополам, то данный четырехугольникявляется параллелограммом.Дока.·штельство.Пустьточка пересечения диа.гона.!1еЙ четырех0-угольника Авсп, см. рис.55.3,и Э'ГОЙ точкой диагонали АС иделятся пополам, т. е.
отрезки АО и ОС и отрезки ВО иДокажем, что фигура АвспТреугольникиAODODBDравны.па.раллелограмм.и ВОС, обраэующиеся при пересечении диагона.lIеЙ, равны по первому признаку равенства треугольников, таккак в них равны стороны АО и ОС, стороны ВО иODи углы ВОСи АО D как вертикальные. Из равенства. этих треугольников сдедует,что углы1и 2иуглы3и 4равны. Но в вопросе52было докаэано, чтоесли накрест лежащие углы равны, то нрямые параллельны.
Поэтомуотсюда сдедует, что прямые ВС ииADAD паралдСдЬНЫ, а стороны веравны. По доказанному выше признаку паралдедогра.мма этоозначает, что фигураABCDявляется па.ра.IIJlелогр~.ммом.Теорема докаэана.56.ТЕОРЕМА ФАЛЕСАТеорема (Фалеса).Предположим, что на луче, являющемся стороной угла, например на стороне О В угла АО В, отложены равные между собойотрезки С D= D Е = ... иC"~/[, ПЛТ, ЕР,...через их концы проведены параллельные прямыедо пересечения с другой стороной угла, тогда на этойстороне образуются равные между собой отрезки М N== N РДока.зательство. Прежде всего, проведемвспомогатедьные пря~ые СК иpa.lI.IJ.CJibHble прямой ОА, см. рис.DL,56.1.паПодученные при этом треугольники С 1< DиLDEравны по второму признаку, т.
к.У них стороны С D иРис.56.1.ввию, а углыLE DKCDиD Е равны по усло1J:rEи углы КЛС ипопарно равны ~(aK соответственные углы при пара.ллельных прямых. Из равенства этих 'ГРСУГОЛЬНИКОВследует, что отрезки С I< и DE равны. Но отрезкиDLиNРck им N и отрезкипопарно равны как противоположные стороны параллелограммов, поэтому отрезки л{ N иТеорема доказана.NР равны между собой.57.Замечание.Свойство средней линии треугольника145Равные отрезки можно откладывать не толыш 0'1' некото= ....CD = DEрой точки С, но ИjОТ вершины угла О, '1'. е. 'так: ОСТогда и на другой стороне равные отрезки надо считать от вершиныугла, '1'.
е. так: ОМСледствие.МN=NРПРЯМ?Я, проведенн8.Я через середину стороны треугольникаl.параллельно другои его стороне, делит третью сторону пополам.Действительно, пусть на стороне угла В треугольника АВС (см. рис.56.2)= DAотложены раl:lНЫЕ! отрезкиBDчерезИ А проведеТО'lкиOTMe'leHHbI<1DНЫ параJlлельные прямыеDЕии АС дОпересечения со стороной ВС.по доказанной пыше теоремена этой стороне при пересе'lении с прямы ми тоже образуются равные о'трезкиВЕ и ЕС, и, следовательно, сторона ВСделится точкой Е ПОПОJlам.АсFРис.56.2.57.
СВОЙСТВО СРЕДНЕЙ ЛИНИИТРЕУГОЛЬНИКАОпределение.Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.Теорема.Средняя линия треугольника параллелъна одной из его сторони равна половине этой стороны.Дока'lательство.Пусть в треугольнике А ВС 'lерез серединуD сто56.2.роны АВ проведеJ!а пряма.н, параллельна.н стороне АС, см. рис.Тогда по теореме q::>алеса эта прямая разделит сторону ВС пополамИ, следовательно, совпадет с прямойАВ и ВС, так как ':!ерез две ТО'lкиDE, соединяющейDсередины сторони Е можно провести единственнуюпрямую.Проведем еще одну прямуюпараллельную прямойAD,и потеореме Фалеса ПОJlУ'lИМ, что сторона АС также разделится ПОПОJl3Мв точке Р, поэтому отрезки АР ииDЕFCравны. Кроме того, отрезкиAFтоже равны как противоположные стороны паралJlелограммаADEF,следова'те,IIЬНО,Теорема доказана.DE = ACj2.14658.58.свойство СРЕДНЕЙ ЛИНИИ ТРАПЕЦИИОпределение.двеСвойство средней линии трапецииТрапецией па.зывастсяпротивоположныесторонычетырехугольник, у которогопара.ллельны,адведругиенепарадлельны.Определение.Пара.
IJле.rIьные стороны трапеции называются ее OCNOваNUJldи,u; пспа.рал.lтелыIеe стороны ~ БО1\;овы,м,и сто'ронами. Отрезок,соединяющий середины боковых сторон, называется средней JШН1Jеuтрапеции.Определение.Если боковые стороны равны, трацеция называетсяравнобедреНNОЙ.Теорема.СреДНЯЯ линия трапеции тrараллельна основаНИЯМ и равна ихполусумме.ДОЮL1ателъство.свБудем С'9:итать, '9:то'!етыреХУГОJIЬНИКАвсптрапеция, см. рис.58.1.даннаяПроведем '9:ерез вершину В и серединуQбоковой стороны Сп прямую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
