Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 17
Текст из файла (страница 17)
к. все свои значенияона принимает только по одному разу.4.Четность или нечетность.Функция не является ни четнои, ни нечетной, т. к. ее область значений несимметрична относительно нуля.5.Точки пересечения графика с осями координат. У графика функцииимеется единственнаfl точка пересечения с осью Оуточка (О;I)'б.
Промежутки знакопостоянства функции. Функция принимает толькоположительные значения при всех значениях аргумента.7,Наибольшее и наименьшее значения,Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 8,Интервалы возрастания и убывания, Функция являетсяубывающей на всей области определения.
9. Асимптоты.имеет асимптоты ЦХ показан на рис.у39.4.n~----~-оРис.139,4.хО и у1Т.40.40.f (х)105ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙОпределение.уОсновные свойства функцийПусть Хнекоторое множество чисел. Отображениеназывается фунх:цuеi1, определенной на множеС'I'Ве Х, если онох:аждО.Аtу значению аргумента х Е Х ставит J3 соответствие некотороеединственное значение переменной у по закону f(х), т. е.Тогда про функцию11= fl(x)11= !(х).говорят, что она определена, или задана, на множестве, Х, множество Х называют об.!l.аешь'Ю опреде.!l.енид1.Фllнк:цuи. Множество У ВСех значений, которые принимает зависимая переменная у при Bcerc возможных значениях аргумента х Е Х,называют об.!l.аеть'Ю значе1tuй ФУНХ:ЧUU.Определение.Функция11f( х)называется перuодuчеех:ой, есди существует такое положитеJi:ьное число Т, что для всех значений неременной х, принадлежащих рбласти определения фУНКЦИИ, числа (х+Т)и (х - Т) тоже принадлежа:т области определения и выполнено условиелх+f(xЧисло Т наэывается nepuoiЭo.At ФУНКЦИИ.Наименьшее значение Т, у довдетворяющее данному определению,называется наU.Аtеньшu.At по.!l.ожuшелы-IыAt nepuoiЭo.At функции.Периодическими являются, например, все изучаемые в школе тригонометрические фУНКЦИИ.Замечание.Если область определения фУНКЦИИ ограничена хотя быс одной стороны, то ФУНКЦИЯ не является периодической.Замечание.Если какое-либо значение функция принимает лишь в конечном числе точек, то функция не является периодической.Определение.ФУНКЦИЯ называется четной, если для всех значенийпеременной х, принадлежашИХ области определения функции, значение(-х) также принадлежит области определения функции 1 и выполненоравенствоf( -х)Определение.:о:::Функция называется нечеrnной, если для всех значенийпеременной х, принадлежащих области определения функции, значение(-х) тоже принадлежит области определения функции и ныполненоравенство/( -х)ф:- f( х).!1 Условие «знаЧ1'ние (-х) принаДJIежит области определения функции»включено n опредеJtение лишь как дань ШКОJIЬной традиции.
Ведь ясно, чтоесли равенство имеет место, то, СJIедовательно, значениеf(-x)определено.40.106Основные свойства функцийГрафик четной функции симметричеj{ отпосительно оси ординат,а график нечетной функции центрально симметричен относительнопа'lаJlа координат.Примеры четных функций:у= cosx,у=уу=sin Ix-,Уу=-При меры нечетных функцийy=sil1x,Y=X 2n'+l,ух·Функции уаХ,=у=3х1J=Уlоgз х не обладают свойствами четности инсчетности.
Замечание.Отметим, что если область определени~ функции несимметрична относительно нулн, то из этого вытекае'г, что функцин не нвлнетсн ни четной, ни нечетной. Определение.Функцин у= J( х)называется возрастающей на некотором промежутке (а; Ь), если ДЛЯ любых чисел Хl и Х2, принадлежащих (а; Ь), таких, что ХI < Х2, выполнено неравенст!во J(Xl) < ЛХ2).В школе упрощенно говорят: большему значению аргумента соответствует большее значение функции.Определение.Фующия у= лх) называетсн убыващщей на неlЮТОРОМпромежутке (а; Ь), ес./Ш ДЛЯ любых чисел Хl и Х2, принадлежащих (а; Ь),таких, что хl< Х2,выполнено неравенствоВ школе скажут:большему зна'lепиюJ(XI) > j(X2)'аргумента соответствуетменьшее значение функции.Примеры графиков возраста.ющеЙ и убывающей фупкций показанына рис.40.1и40.2соответственно..улх 1 )лх)Х101Х2 хiРис.40.1.Рис.40.2.на которых функция только возрастафт или только убывает, называют интервадами монотонности ФУНКЦИI1, а саму функциюназыIаютT монотонной на этих интервалах.Основные свойства функций40.107Определение.Точка Ха называется точкой (локального) .AtaKC·U.Aty.Ata функцииесли: 1)2)f(x),точка Ха является внутренней точкой области определения функции; существует такая окрестность точки Хо, что для любого х, принадлежащего этой окрестности(кроме х= хо),выполнено условие >Определение.Точка Ха называется точкой (лох;адьного) .AtUHU.Aty.Ata функцииесли: 1)f(x),точка Ха являе'l'ся внутренней ТО'1кой области определения функции; ~) существует такая окрестность точки Хо, что для любого х, принадлежащего этой окрестности (кроме хлхо)= ха),выполнено условие< f(x).Локальные максимум и минимум иногда просто называют максимумом и минимумом.Определение.Точ.х;ой (лом:адьного) эх;сmре.Atу.Atа функции называетсяточка ее минимума или максимума.Не сдедуе'l' считать, что в точке максимума функция обязательнодостигает своего наибольшего значения во всей области определенияэтой функции; Это зна<Iение является наибольшим JIИШЬ по сравнениюсо значениями функции, взятыми в неI<ОТОРОЙ, возможно довольномалОЙ, окрестности точки максимума.
На произвольном интеРВaJIефункция может иметь несколько точек максимума и минимума, причемв некоторых из точек максимума функция может принимать значения,например, меньшие, чем в некоторых точках минимума.В качестве примера на рис.40.3поуказан график функции, у которой значениеf(Xj)в точкеXl,максимума функцииЯВJIяющейся точкойf(x),у=Лх)не являетсянаибольшим значением ЭТОЙ функции наинтервале (а; Ь), и, более того, значение)меньше, чем зна<lениеf(xz),торое принимает эта функцияоХ2хков точкеминимума Х2.Рис.40.3,сравнения напомним определение.Определение.своеГоворят,чтопринимаетнаибольшее значение на оmрезх:е1'01'0значенияство(( Х()) ?:х,принадлежащегоо'трезкувточкеХаЬ], если для любого друЬ], вынолнено неравенОсновные свойства функций40.108АсимптотыОпределение.Асtlм.пm.отоЙграфикафункцииназываютпрямую,к которой неограннченно приближается точка, лежащая на бесконечной ветви графика функции, при стреМ.'Iении этой точки в бесконечность,Принято различать горизонта,lIьные, вертикальные и на,клонныеасимптоты.
дJIЯ каждого из этих типов асимптот приходится даватьотдельное определение 2 ,Определение.Прямая х=Ь называется верrrшх:а.лЬнОUaetiMnm.om.ouграфика функции у =функция имеетОпределение.тальнуюJ(x), если при х -+ Ь (возможно, с одной стороны)бесконечный предеJI J(x) -+ ±оо.= .f( х) имеет горизон= Ь, еС.irи существует-+ +00 или при х -+ -00Говорят, что график функции уaCl.J,Unm.om.y,задаваемую уравнением уконечный ПРСДСJI функции У= f(x)при хи этот пред('..lJ равен Ь, то естьliшX~+OOОпределение.ЛХ)ьилиГрафик функции уnЩ, задава.емую уравнением ух-+ -00liш$~-OO= f(x)kx + Ь,((х)=ь.имеет наклонную аС1J.AtПm.оесли при;v-+ +00или приимеет место равенство-(kx+b))-+O,этом зна.чения коэффициентовklil11.f( х ) ,.V~OOпричем СJIучаи хНа рис,-+ +00иХ.1;ь-+ -00k=и Ь находят из равенствliшX~OOследует ра.ссмат!жвать отдельно.40,4 показан график функции у= 1+х' Прямая х = -]явдяется вертикальной асимптотой этого графика, а прямая у=1является его горизонтальнон асимптотой,На рис.
40.5 показан график функции уфункции имеет две асимптотыи наклонную асимптоту у2=хвертикальную~, График этонасимптоту х = О+х.К сожалению, и эти определения выходят далеr.iо за рамки школьнойпрограммы.40.~Основные свойства функций-; l1_Р-~:-1 10Рис.109хх40.4. Рис.40.5.Схема ИСCJIе~ованиJf функцийПри изучении новых функций, а также для того чтобы построить график функции, школьник должен уметь определять свойствафункций, описанные выше.
Исследование свойств функций припя'гопроводить В соответствии со следующей схемой.1. Найти область определения функции.2. Най'гиобласть значений функции.3. Проверить,является ли исследуемая функция периодической, найти ее наименьший положительный период.4. Проверить ФУ~КI\ию на четность инечетность.5. Найтиточки пересечения графика функции с осями абсцисс и ординат, а также указать интервалы знакопостоянства функции.
6. Определить7. Найтиточки максимума и минимума функции.интервалы возрастания и убывания функции.8. Исследоватьфункцию на непрерывность; отметить точкиразрыва функции.9. Определить наличие горизонтальной, вертикальной илинаклонной асимптот.40.110Основные свойства функцийОбратная функцияПусть дана ФУНКЦИЯ уf( х),определенная на множестве Х ипринимающая все возможные значения из множества У. Напомним,множество Х на:зывают областью определения, а множес'гво Уобластью значений функции.Функцию у= Лх),определенную на множественазываютобрати,м,ой, если она принимает 1(аждое свое значение ровно один раз,или, другими словами, если (~ля каждого значения у Е У существуетединственное значение х Е Х такое, что уФункцию у=/(х).= я(х), опреде,1енпую на множестве У и припимающуюзначения на множеСтве Х, называют обратной фун:кчией к обратимойфункции.f(x)и обозначают .f-l(Х), если для всякого значения х измножества Х выполнено равенствоЯ(/(3.:))= Х.в этом случае и для всякого значения х из множества У справедливоаналогичное равенствох,т.
е. функции.f(x)и я(х) являются взаимно обратными.Из определения следует, что областью определения обра,тной функции /-1 (х) является множество значений функции f (х ); множествомзначений функции .f- 1(.'1:) является область определеjшя функции f (х).Утверждение.Для того чтобы данная функция на всей своей областиопределения имела обратную функцию, необходимо и достаточно, чтобылюбым различным значениям аргумента, принадлежащим ее области определения, соответствовали различные значения функции.Из этого утверждения следует, в частнос'ги,что если некоторая функциямонотонна на неиотором множестве М, тоона обратима на этом множестве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
