Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 28
Текст из файла (страница 28)
рис.формулев нее координаты точек А и В.75.2.Тот же результат получим и поАналоги<lНО мржно рассмотре'l'Ь и случай, когда абсциссы точеI<равны, Хl==Х2, а ординаты ра:зличны,паказан на рис.Yli=У2. Этот случай также75.2.Если, наконец, равны и абсциссы, хlточки А и В совнадают и расстояниеd==Х2, И ординаты, Уl==Уз, ТОмежду ними равно нулю, ,[ТОдает в этом случае и формулаОпределение.ОХ:РУ:)ICносmью называется множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние от данной точки.
Эта точканазывается ценmро.,идо ее центраокружности, а расстояние от ТОЧКИ окружностирадuусо.,и окружности.Выведем уравнение окружности радиусаRус центром О в заданной прямоугольной системе координат.Пусть центр ОКРУЖНОСТИ -точка О имеет коо~динаты ,(ха; Уа), см.рис. 75.3.
Рассто~ние от пrоизвольнойточки М(х; У) до 'I'о<!Ки О j3ычисляетсяпо формулеМО1j(x+ СУ -хо)2ХУа)2.Рис.ХО75.3.Если точка М лежит на данной окружности, то расстояние М О должноравняться радиусукоординаты точкиR окружности, или lYI0 2 =111 удовлетворяют уравнению(х - xa)~+(Ууо)2. Это означает, "1'1'0=Если же точка lYl(x; у) не лежит на данной окружности, то мо 2И поэтому координаты точки М не удовлетворяют уравнениюf R2 ,(2).Таким образом, в прямоугольной системе координат уравнениеокружности радиусаRс центром R точке о(хо; Уа) имеет вид(ххо)2уо)2+=в частности, уравнение окружности радиусакоординат имеет видх2+у2R2 .Rс центром в начале17876.Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции76. ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГГ АММА,ТРЕУГОЛЬНИКА,ТРАПЕЦИИМожно сказать,что площадь многоугольника-это величинатой части плоскости, которую занимает многоугольник. За единицуизмерения площадей принимают ШlOщадь квадрата, сторона которогоравна единице измерения отрезков.Отметим основные свойства площадей:1.Равные многоугольники имеют равные площади.2.Если многоугольник составлен из нес;кольких МНОГflУГОЛЬНИКОВ, то егоплощадь равна сумме площадей этих многоугольников.Отметим также, что в школьном курсе доказьrвается, что площадьквадратаравнаквадратуегостороны,аналогично,площадьпрямоугольника равна прои:шедению его сторон.Площадь параллЕ>дограммаНазовем одну из сторон паралле.гюграмма основанием, а отрезокперпендикуляра" проведенного из любоi:i точки противоположной стороны[{прямой, содержащей основание,Теорема.-высотой параллелограмма..Площадь параллелограмма равна произведениюего основания навысоту.Доказательство.в Рассмотрим парал.rrелогра,мм АВСЛ с площадьюсторонуADдш1НЫ8.ПримемЬ за основание ипроведем высоты В Н и С J{ длинысм.
рис.76.1.S = AD·ВН или1-1"Требуется доказать, чтоS = Ь ·1/..АНDДокажем сначала, '!то lIлощадь пряf(Рис. 76.1.МОУГО.IIьника Н ВСК также равна S.ДЛЯ этого заметим, что трапеция Авема Аве D и треугольникаDe К.1<: составлена из параллелограмс другой стороны, она COCTaВJleHaиз ПРЯМОУГО.iIьника Н век и треугольника АВН.Прямоугольные треугольникиDCK и АВН равны по гипотенузеCD равны как противоположныестороны па.раллt'JIограмма, а углы а и f3 равны каы; соответственныеуглы при пересечении параллельных прямых АВ и DD секущей AD),и острому углу (их гипотенузы АВ ипоэтому их площади равны.76.Площадь параллелограмма, треугольника, трапецииСледовательно, площади параллелограммаABCD179и ПРЯМОУl'ольника И ВСН также равны, другими словами, площадь ПРЯМОУl'ольникаН ВС К равнаJ~o площадь прямоугольника вычисляется по формулеS.~e~p~:a' :а~~з:нтJк как ВСЗамечание.= AD, то S = AD .
ВНЬ . h.iИз треугольника АВН можно выразить катет ВИ через= АВ . silla.гипотенузу АВ, получим, что ВИlIоДставляя это выражение в тольк(~ что полученную формулу, приходим еще к однойформуле для вычисления площади параллелограммаS :::: AD . АВ . siпа:::: а.Ь. sin а.Площадь ТРfjугольникаТеорема.Площадь треугольника равна половине произведения его основа·ния на высоту.ВDвк'~АЕьЕсРис.Докюательство.сА76.2.Нусть дан треугольник АВС, см.
рис.Проведем прямуюCD,76.2.параллельную прямой АВ, и прямуюпаРaJIJlельную АС. Тогда, очевидно, получим llарa.rшелограмми, следоватЕ'.I!ЬНО, его противолежащие стороны равны, АВи АСBD.Тогда треугольники АВС иBDCBD,ABDC:::: CDравны по третьемупризнаку (третья сторона ве у них общая), поэтому SC>ABC= SI:;.BDC.Итак,SABDC :::: SC>ABCоткуда SC>ABC=+ SI:;.BDC = 2SC>ABC,1.,'2SABDC. Но SABDCАС ·ВЕ = Ь1SC>ABC"2Ь' h.·/t, следовательно,18076.Площадь параллелограмма, треугольника, трапецииСледствие1.Треугольники с равными основаниями и равными высотамиимеют равную площадь.Если,например,вершинуВтреугольника Аве переl'yiещать вдоль прямой,параллельнойоснованиеоснованиюоставитьнеподвижным,атоплощадь треугольника не будет изменяться, см. рис.АсРис.76.3.Этот вывод сразу же следует из того, что высоты этих треугольников бу76.3.дут равны между собой и будут равнырасстоянию между паралле.I!ЬНЫМИ прямыми,а основание у всех треУГОЛЬНИКОВ одно и то же.Следствие2.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.ДОК8.1ателъство.Для получения этой формулы следует один из катетов припять за основание треугольника, тогда другой катет совпадетс высотой.Следствие3.Площадь треугольника равна половине произведения длиндвух его сторон на синус угла между ними.Доказательство.Для доказательства этого утверждения рассмотримтри случая.Случай.
ка1.ЕслиyrOJrА_. острый, см. рис. 76.2, то из треугольпиАВЕ высоту ЕЕ можно выразить через гипотенузу АВВЕСлучай2.Если угол АугольникВЕ = h3.АВ·sinА.тупой, рассмотрим прямоугольный трев котором угол ВАЕ является смежным к углу АтреугольникаСлучай= hABS.Тог да, как и в первом случае, получимАВ·Sil1ВАЕ = АВ .-А)Наконец, если угол А прямой, то Sill АВЕ= 11 =АВ. sin=АВ. sin А.= 1и{А.Таким образом, в любом случае верна формула площади треугольника=2~AC ВЕ = ~AC.
АВ· sinA = ~a.. Ь· siпА.2 276.181Площадь параллелограмма, треугольника, трапецииПлощадь трапецииТеорема.Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее основанийна высоту.Доказательство. Пусть дана произвольнан трапеция АВС D с оснопаниямиADи ВС, высотой ЯН и площадьюсм.рис.5',скЕ~"Докажем, '1'1'0 имеет место76.4.равенство1S-= 2(AD+BC) ·ВН.Диагона..JIЬ Н D де J1ИТ трачецию на дватреугольникаАНсвойству площамй справедливо представление S-=Dи ВС D, поэтому ПОABD5'AkDРис. 76.4.+ 5'BCD.Примем отреJки AD и В Н за основание и высоту треугольникаABDсоответственно, а отрезки не иугольникаHCDDEза основание и высоту тресоответственно.
Тогда площади ЭТИХ треугольниковвыражаются формуламиТак какDE5'АВП-=и ВН-12"AD . ННи1SBCJJ= 2ВС . DE.отрезки перпендикуляров, заключенные междупараллельными прямыми, то они равны между собой,DE =ВЕ,поэтому можно записать5'ВСП-=12 ВС· ЯН.Таким образом, получено выражение для площади трапеции1 .5' = -AD . ЯН2 :1+ 2 ВС·ВН12= -(AD + ВС) . НН.Теорема докаэана.Следствие.Площадь трапеции равна произведению длины ее средней линии на высоту.Доказательство.Этот ВЫFЮД сдедует из того, что длина средней линиитрапеции равна полусумме оснований трапеции.18277.77. Теоремы синусов и косинусов для треугольникаТЕОРЕМЫ СИНУСОВ И КОСИНУСОВДЛЯ ТРЕУГОЛЬНИКАТеорема (синусов).Длины сторон треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.Доказательство.Рассмотрим треугольник Аве, в котором обозначим веЛИ'lИНЫ углов буквами А, В и е, см.
рис.АВ, ве и СА буквами с,(L11.1,Д.IIИНЫ сторони Ь соответственно, И, наконец, площадьВтреугольника обозначим буквойS.Требуется доказать, чтоЬ(Lс- sin ВsinПрименим формулу, выражающую п.IIощадь треугольника ~ерез две стороныАс ьРис.S =11.1.и синус угла, заКЛЮЧ~IIНОГО между ними, получим~(L, bsil1 е, S=~b.csinA иИсключая площадь8paBeHcTj3a~c.asiIlB.Sиз первых двух равенств, получаем' е = l ь . с sш А-1 а . l~ sш=>2 2 '.асsшТочно так же из второго и третьего равенств С.IIедует.1-l ь . с sш А = -с·22.
В(L sша=>sil1 АЬ= sil1 ВИз этих равенств получаем утверждение теоремыа.ЬА ::::;SillсВ= siJ1 е .Теорема Докаэана.Эту теорему можно сформулировать и доказать по-другому.Теорема.Отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.ДОКa.JатеЛЬСТDО. Пусть R!!радиус окрtжности, описа,нной ОКО.IIОтреугольника Аве.АДокажем, например, что вш!3С = 2R, или, иначе, ве ::::; 2R sin Л.77.Теоремы синусов и косинусов ДЛЯ треугольника183А1ВУВ':::jРис.77.2.llроведем диаметр ВА] описанной окружности, см.
рис.смотрим треугольник А ! ве (в случае совпадения 'ro'leK77.2, и расA 1 и е доказьшаемая формула, очевидно, верна). Угол е этого треугольникапрямой, поэтому ВеВЛ] siп A 1 . Кроме того, по свойству углов,если точки А ивписанных в окружность, угол А] либо равен углуAlлежат по o~цy сторону от прямой ве, либо равен1800А, еслиэти точки лежат по разные стороны от прямой ве. в первом случаf:ве= ВА] 8i.п Л, во втором Ве = ВА] 8i11(180° - А) = ВА= ВА] 8i11 А, или Ве 2Rsiп А, т. е.siпА.в любом случае Веве. Аsш2Н.Теорема дока.,ана.Теорема (косинусов).Квадрат любой стороны треугольника равен суммеквадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон накосинус угла между ними.ДОК8.1ательство.
Рассмотрим ТРСУl'ОЛЬуC(iJcosA;iJsinA)ник Аве со сторонами а, Ь и с. Докажсм, например,что+сь222ЬссозА.-Введем систему координат св точке А,KaI(началомноказано на рис. 77.3.Тогда точки В и е имеют координатыО) и (ЬСО8А; b8i11A) соотвстственно.A~Щ\ хОсВ(с;О)Рис. 77.3.По формуле расстояния между двумя точками полу-чаемве 2 = а 2=ь2(СО8= (ЬСО8А+ьТеорема доказана.2(8iпс)2+ b2(8il1A)2 = - 2ЬссозА + с = ь + с222-2ЬССОБА.18478.Длина окружностиДЛИНА ОКРУЖНОСТИ78.Получим формулу, выражающую длину произвольной окружностичерсз ее радиус.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
