И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 64
Текст из файла (страница 64)
2 а ! г ! 2 !' а ( сов 212 2 Рв, = — / (сов 22+ зглгг) а1«р = —, / (1+ гйп2р)«(22 = — «Эг — — ) 2 / — / 2 ( 2 Таким образом, Р = — + — (- — -) = — (т — 1). вг1121 129. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лепестком кривой (22 = вгп яр, О ( р ( 1). 1 м При возрастании р от О до — угол р возрастает от О до 1, а при г 1 возрастании р ог — до 1 угол э«убывает от 1 до 'О (рнс.
65), поэтому выражение 1 а 1 1 1 г 1 Г г 1 Г г —,, / р (р)6р+ —,/ Р (р)а1 = — у Р р(р)ЗР 2 у' 2 / о 1 е б !гу ! Р Рнс. 66 определяет искомую площадь, взятую со знаком "-", так как первое слагаемое в левой части написанного равенства равно площади сег- мента ОпгВ, а второе слагаемое равно площади сектора ОАВ, взятой со знаком '-". Следовательно, 2 11 1 2 т 2 21П '«ГР / Р сов ггр«!р = — — р в 1 соляр «о = Р ~ + — соляр«)р = — + — вщггр Л 11 Л/ гг ггг е 1Г а 130. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой г 2аг «1 З=((Э«,Р)ЕК «Р=,, Эг= — ~.
М Из условия р > О следует, что Г > О. Поскольку р = О при 1 = О и р «О при Г -«+ао, то О < Г < +со. Следовательно, Р = — / р (г) р (г) «(г = 2«а / (1 + Гг) (1 + Г)2 ' Интегрируя с помощью метода Остроградского, получим г +«« 2!' 1+!+2 1 ЭГ гр1 «1 Р= 2«а — — агсгЗГ =2ха (- — — ) =ха 111 — — ). 4(1+ Р)(1+ Г) 4 ) 1,2 3) 1 4) ' 131. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей листа Декарта х + у = Заху.
з з м Параметризуем лист Декарта, полагая у = Гх. Тогда параметрические уравнения петли листа Декарта примут вид Заг ЗаР х =, у =, О ( Г < +со. 1+12' 1+12' Для вычисления площади воспользуемся формулой (6), п. 6.2, приняв во внимание, что (х(1)у'(1) — у(!).'(1)) 42 = х'(Г) З вЂ” = Зй 1«у(!)1 Оа ! [, х(!) ) (1+1 ) Следовательно, фигура Ф является объединением полукруга (р ( асов «р, О < гг ( «1, плоЭ«1 щадь которого — ', и части Фг, круга 1р < а(сов «2+ вгп«р), — —, < 22 < — ), лежащей под полярной осью, площадь которой Ре, вычисляется по формуле Гл.
4. Определенный интеграл 324 Следовательно, 4 о ь сО Оа / Г ~й 3а / Ы(1+Го) 3 г 1 )~ 3 / (1+12)2 2 / (1+22)г 2 1+22! 132. Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой, заданной уравнеииемх +у =а (х +у). м Перейдем к полярным координатам по формулам х = р соз ог, у = р мл у. Поскольку кривая симметрична относительно осей координат, то О ( 22 ( 2х. Уравнение г ог кривой, ограничивающей плоскую фигуру, принимает вид р Фа Применяя формулы (3), п. 6.2, и принимая во внимание решение примера 23, получаем Р= —, = —.2ъ22х=х222а . 2/ 1пгз+ . ° р 2' о 133. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением х +у г 4 г ах у.
м Параметризуем кривую, полагая у = гх. Тогда Переменные х и у обращаются в нуль при 1 = О и стремятся к нулю при 2 — ~ оо, а множество точек кривой 1 Р— (х,у) ЕИ:х =а, у=а,гбао 1+22 1+12 симметрично относительно оси Оу. Следовательно, плоская фигура ограничена двумя симметричными относительно оси Оу петлями, лежащими в верхней полуплоскости плоскости хОу, и поэтому искомая площадь равна удвоенной площади фигуры, ограниченной одной петлей: 12,Д2 Р = г~(Х(1)у (1) — у(Г)х'(Г)) 31 = // х (2)2( — = а ™ 2 С помощью подстановки у = - легко убедиться в справедливости равенства 2 ао о 2 / ду, 22)1, т)О, в силу которого имеем / ' ы,/„( ) ~ + / (1+«)г,/ (1+«)г 4/' 11+2 / 4(1+1)1 +4/ 1+«4/1+«' о о о о о зО Поскольку — / —,,„= — / —... (согласно равенству (1)), то 1 х=а —, 1+2'' гг у=а, у) О.
1 + 22 3 б. Приложение определенного интеграла 32$ где г (г) = Уэ. шсгб —,Д-+ -~~ эба1 пРн 1 36 0 и Г(0) = 0 (см. пРнмеР 20, гл. 3). Окончателъно получаем Прежде чем решать примеры иа вычисление объемов тел с помощью формул (1) и (2), п. 6.3, рассмотрим два примера на доказательство. При этом получим полезные формулы длл вычисления объемов тел. 134.
Доказать, что обьем У тела Т, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции Ф = ((х, у) Е Ьс~: а » <х»< 6, 0 » (В » <1(х)), где у": [а, 6] П вЂ” непрерывная на сегменте функция, равен ь У = гх ху(х) зх. ° Пусть П = (хо = э, хп, х« = 6) — произвольное разбиение сегмента [а, Ь). На каждом сегменте [хо х,э~], 6 = О, в — 1, рассмотрим два прямоугольника, в основании каждого нз которых лежит сегмент [х„х«ы], а боковые стороны равны ин и М;, где ш; = шш (у(х)), М; = шах (у(х)).
«, с«с«,.~~ .ц ц«см Объединения всех однотипных прямоугольников образуют две ступенчатые фигуры, одна нз которых вписана в фигуру Ф, а другая описана вокруг иее. При вращении этих ступенчатых фигур вокруг оси Оу получим два кубируемых тела Т~ и Тэ, составленные из кольцевых цилиндров. Объемы тел Т~ и Тэ соответственно равны «-1 «-з «-1 =э а э Рассмотрим функцию х: х «гхху(х), а < х < 6. Так как 1э Е Я[а, 6), то Уз ) 0 «-1 -1 БП: Яп(х) — Ял(р) < '-, где Ял(р) = [, 2хМгш+з гх;, Зл(р) = ') 2э пня, Ьх'. ~«0 ««э Из очевидных равенств — 1 «-1 «-1 Уг, = ~ 2т«пх; ьхг 6~д~ хлп 11х, = Ял(у)+~ элп Ах~, «! 1'г, = ~ ~2хМ,х;+э ~3х; — ~ хМ; 21х~ = Яп(1э) — ~ хМ; э3х] э «-1 следует, что Ут, — Ут, = ол(~о) — Ял(бэ) — т, где у« = г ' х(М<+ им)23х;.
Оценивая у«, ша получаем /т«! < 2хМ(Ь вЂ” о)Н(П), где М = шах (у(х)), Н(П) = шах Ьх;. «ц«<Ь э<4<«-1 Принимая во внимание неравенство Яп(1э) — Яг(1э) < -' и выбирая разбиение П таким, чтобы выполнялось неравенство 2хМ(6 — а) й(П) <, получим неравенство Ут, — Ут, < х, из которого следует, что тело Т кубнруемо (в силу включений Ть С Т С Тэ). ь ь ь Поскольку йш Ут, = гх] х7(х)3х, йш Ут, = гх/х~(х)йх, то У = гх/хг(х)«х. М цп1-э ' цп>-о 135. Доказать, что объем У тела Т, образованного вращением вокруг полярной оси Фигуры Ф = ((р, р) Е м'; 0 ( а ( р <» 16 ( х, р ш р(р), р ) О), р Е С[а, б], равен л У вЂ” — р (1э)вар4о. г Гз 3 / а Гл.
4. Определенный интеграл 326 я Пусть П = (!оо = а, грг, ..., !о = гг) — произвольное разбиение сегмента [а, г1], а Ф, — плоская фигура, ограниченная отрезками лучей р = Ог,, го = Зг,о! и куском кривои гр г-г р(!о), Ог! < !р < оо,о! (рис. 66). Обозначим М; = гоах (р(гр)), гпг = шгп (р(ог)) и 6г~ г оХт<т +! э <г<юо! рассмотрим два тела Т! и Тэ, образованных вращением вокруг з полярной оси двух плоских фигур, составленных нз круговых сек- торов, имеющих соответственно радиусы М! и нц и центральный Рис. 66 угол гагр! = !р,о! — Ог„! = О, и — 1. Из определения тел Т, Т! и Тэ следуют включения Тэ С Т С Тг.
Вычислим объемы тел Т! и Тэ, используя для этого известную нз геометрии формулу для вычисления объема шарового сектора, имеющую вид Ъ' = -яЯ й, где л — высота шарового 2 2 з сегмента, А — радиус шара. Имеем и — ! о-! ч-~ 2 з 4 т-~ э вг +ог+! г3ог Ъгт! = гу -ггМ; (сов!о, — сов!р.о!) = -з хз М, вгв ' ' вш г ' =о =о -! 4 ч-' з .
ог. + о!!+! . х3ог ~гтг = -ггхг нг; вш ып —, 2 =о Обозначим — ' — -'х-'- = рг, ып Д = шах (вш я), яв !о = ппп (гйл го) н рассмотрим я<э<э.+! г*<т<т.о! разность объемов 4 т о э .. !1рг Ът Ът = -х~ (М, — ш,)вшог,яп —, 3~ ' ' ' г' шо Из неравенств (М, — т,)ялф, < М! яп го, — нг; вшфо„ып — д~ь < ~к следует неравенство о-! Ът, — )гтэ < — ~г (М,'вшоз, — ш,'в!ар,)г3р, = Яп(У) — ~п(~), 3 =о где г: !р г — р (Гг) вш Ог, а <~ !р ~< гт, — непрерывная на сегменте [а, !3] функция, Так как г е п[а, р], то !гв > О Вп: О < оп(у) — оп(у) < в, следовательно, !гт! — ът, < в.
таким образом, тело Т кубнруемо, а его объем Ъг можно вычислить по формуле (1), так как р йш Ът, = 1гш Ътг = -гг р (го)в!по!!ггр. г э в1п1 о ' цп1 о ' 3 / а Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями: 136. Параболоида врюцения, площадь основания которого равна Н, а высота равна Н. я Воспользуемся формулой (2), п. 6.3. Поверхность параболоида вращения задана уравнением х = х + уэ, а в любом ортогональном сечении тела плоскостью в = с, О < с < Н, получим круг х + у < с.
Таким образом, множество сечений тела, ограниченного поверхно- 2 э стью в = хо + у, является множеством кругов радиуса в, площади Р(х) которых равны хх. Согласно формуле (2), п. 6.3, получим тнэ НН Ъ =з /х!гх= — =— 2 2 о так как, согласно условию, з'Н = Я. и г 1ВТ. — *+ —" — '— , =1, =~с.
вз Оэ сз ц Тело ограничено однополостным гиперболоидом н кускамн плоскостей х = жс. В силу симметрии точек тела относительно плоскости х06, достаточно вычислить объем части тела, лежащей в полупространстве х В О, н удвоить результат, 16. Приложение определенного интеграла Поскольку г) = 8тэа, то 1) = 7тэа . В 141. Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной петлей кривой 7 = (х = 21 — 2, у = 42 — Ф, ! Е К), вокруг: 1) оси Ок: 2) оси Оу. < 1) Поскольку т = у = О лрн 2 = 0 и лрн ! = 2, то 0 < ! < 2.
При возрастании параметра Г от О до 1 переменная х также возрастает от 0 до 1, анри возрастании 1 от 1 до 2 переменная х убывает от 1 до О,поэтому г 1 2 г И = —;г у а)х — з. у )1х = -)г у Вз = 2)г (1 — 1)(164 — 81 +1 )В! = — )г. 2 2 2 2 4 О 35 1 о о о 2) Для вычисления объема воспользуемся формулой примера 134 и примем во внимание соображения, высказанные лри рассмотрении случая 1).
Тогда получим г -! ! 4* !+44 =-! ! „4 4=-! !)4~ ))4~ )211 )а= э 64 106 142. Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной графиком неявно заданной функции (х + уэ) = а (кэ — уэ), вокруг: 1) оси Ох! 2) оси Оу; 3) прямой у = эъ м 1) Перейдем к полярным координатам з = р сову, у = р гйл у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
