И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 62
Текст из файла (страница 62)
р. ) —. / !пг ~а го 4 При любых 0 < П < 1 и 0 < е < 1 существуют интегралы 1! = 1 —... 1г г ез г, '" При О < х < 2 справедливо разложение,— = —, + — + О(х — 1), поэтому ! ! ! !з-. ! !г-. ! з =аь (! 3 — а/ з-,~ за!! — !Э/,' 'з! ! — ц~ -~ ар! — )р/Г,)= з»+о ч, л г+ г+з з»+о = 1п(х — 1) + — + О((х — 1) ), 2 О < х < 2. Если х > 2, то получим г З! Г !!! Г З! Г Зг !! х = ч. р. — = ч, р, — + — = 1+ — + О(1).
— — ) 1л о о г г 10'зг. Найти ч. р. з!х х — Зх + а о М Квадратный трехчлеи у = х — Зх + 2 имеет действительные нули х! = 1 и хг — — 2, следовательно, — Бш «+о Упражненил длн самостоятельной работы Вычислить следугощие интегралы: ! 67. à — з 68 ! 69. Г э з+з' ' 3 ! О/!" з' ' 3 !гулаг! з ь 20. ) (Г' ь хз!х. 7 з!х ч. р. хг — Зх о з- (Г,й Г Зг 1!х= 1пп — -1- ~ —, 1<к<2. ~/ !и! ) !вь/' ! -!- Зх )' Зх +2 1 хг — Зх+2 Г хг — Зх ! 2 =ч.р, + о з — — .р- ( 1+о 1+д ! .
х — 2 1 = — 1л2+ Бш (!в — +!л — ) + 1ш! !и — =!и —. -+о ! — Е 1 — д) * Е х — 1 2 [ Ь. Функции ограниченной вариации 71, / е *соз624!х, а >О. о + ЗО 2 74. ) 1,+20,+О„, ас — Ь > 2 г 76. а) 11 = [ !пвгп хйх; б) Гг = [ !п созе ах. 'а о Исследовать на сходиыость следующие интегралы: 1 90 77. [,"* 2 . 78. [, *, *, . 79. [ ~ .
80. [ -" — (с+446х. 81. ! !пнпх16х. о о о О +ю Ею о о о 86. [ уп (х+ -) —. о Доказать неравенства: 87. --, < ) гчюо!х < 4' 88. 0 < ) с 46х < †,, о г ге го 1 го 14 „го 20 1 89. — < ! — 46х < — + —. 90. — < ~ — бх < — + —. 19 1+ 40 19 39 ' ' 19 1+ 40 19 20' 1 о Ею .1. 91. О < [ е * ах < †,а > 1, 92. 1 — — [ е ах < 1 + †, и > 1. 1 а 1 1 93. Доказать, что !цп [ игх" '(1 — х)Их „"6) !пп и х" '(1 — х) ах. о ь 9 94. Доказать, что если интеграл [ у"(х) ах абсолютно сходится, то о !1щ [ г(х)[згпх[16х = — [ г(х)1гх.
а о 95. Доказать равенство --о --о 2 2 — = [ ьс18х16х = д. 96. Доказать, что несобственный интеграл [ зш [т !х+ -~) Ых расходится. а Найти: аю 2е 97. ч. р.) , О < а < Ь. 98. ч. р, [ †, , 99. ч. р.[, при а > 1. о о 0 ~ 5. Функции ограниченной вариации Определение 1. Пусть с 1 [а, 6) й, П вЂ” ироизвольное разбиение сегмента [а, Ь], -1 М~ =.С(х +1) Х(х ), Уп(7' а 6) = ~ [4ЬЛ[.
Число Уп(14; а, 6) называется вариацией фуико ции 7' но разбиению П, а число У(с; а, Ь) = впр(Уп(1"; а, Ь)), где саочная верхняя грань бе!д! ргпгся ио всем возмомнылл разбиениям П сегмента [а, 6[, называется волной вариацией функции з" иа сегменспе [а, 6). Если У(г"; а, 6) < оо, то говорят, что 7 — функция ограниченной вариации.
Гл. 4. Определенный интеграл 312 ' — ] Х'(!) ьд = — 1(х) + 28, з е — ] Х'(1) ь!1+ ] ('(!) ьд = )'(х)+ 28,. еслнО<х <1, о в ь — [ д'(!) ьд+ / ('(1) Й вЂ” [ )ч(!) й! = 30 — ь'(х), если 1 < .г < 2. если — 2<х<0 )г(У; — 2, х) = [Х(1)]дд= — з Определение 2. Пусть д: [а, Ь] К, П вЂ” ььроизвольное разбиение сегмента [а, Ь], ч-ь Пдь = д(хьчь) — д(х,), Ъп(Г; а, Ь) = 'г ]сьХ,], гдв ] [ — — евклидова норма в пространсьпвг.
Кы. ь=в Число $г(д; а, 6) = вььр(1гп(К; а, Ь)), гдг пьочная вгрхня» грань берепься по всем воззьожнььм !п! разбиениям сегменпьа [а, Ь], нозьюагтс» полнои вариаььией вгкьчор- функции ь на свгмгньпе [а, 6]. Если 1г(д; а, 6) < оо, то говорят, что вектор — функция Х вЂ” . функция ограниченной вариа- ции. Теорема 1. Пусть д: [а, 6] Б!"'. Для того чтобы вектор-функция д были функцией ограниченной оариьщии на [а. 6], необходимо и доспьапьочно, чтобы козгдая вв компоненпьо, уз, ! = 1, пь, имело ограиичеььную вариацию на эпьом гегзьеьпиг..
Теорема д. Егли Т: [а, Ь] К, д: [а, 6] М вЂ” функции ограни ьепной вариации ни [а, 6], то ь" + д и ьд пьоклгв функььои огрьньичгннои оариации на [а, Ь]. Следствие. Егли функции ~' и д монопьонно возратиаюпь на [и, 6], ьао ( — д гсьпь функция ограниченной вариации на [а,' 6]ь ь Теорема д. Пусьнь д: [и, Ь] — ь Н ' -- вгкпьор-функция ограниченной вариации.
Тогда: 1) Ьг(д; а, у) = Ъ(Г; о, г) ч- Ъ(д; х, у), если а < х < у < Ь; 2) функиия 11: х ь- Ъг(д; а, х) непрерывна но [а, Ь], если д б С[а, Ь]. Теорема 4. Путно з': [а, Ь] Ьс — функция ограни ьгнной вариации на [и, 6]. Тогда сущеспьоуюпь пьокие неубывающие функции р: [а, 6] К, ьд: [а, Ь] Н, чпьо р(а) = д(а) = О и Чх б [а, 6) вьтолняюпься равенства У( ) — П ) =р( ) — г!(х) (1) Ьг(У; о., х) = р(х) + д(х).
(2) Функции р и д соответственно называют функциями поломипьельной и отрицаьпгльной вариации функции Х. 108. На примере функцььи Х ь [О, 2] Н, где Л х ып —, если 0 < х < 2, О, еслнх=О, убедиться в том, что непрерывная па се~менте функция не обязательно имеет ограниченную вариацию. т Функция Т непрерывна в области определения. Пусть П = [О„ †,, †,, ..., =, †, 2] — разбиение сегмента [О, 2]. Тогда полная вариз з ация )гп((; О, 2) = —, + [ —, 4- — ) +... + (2 + г ) > 1-1- —, + ь + ... -1- — = С+ 1ьь и+ е„, е 0 прн ьь оо, С -- постоянная Зььььера.
!!ледовательно, Ъп(1; О, 2) +со при и оо и множество (1гп(1"; О, 2)) не ограничено сверху. В 109. Найти функции положительной, отрицательной и полной вариаций фуьькцьььь (: хгьЗх — 2х', -2<с<2. з з Л Найдем сначала функцию х ь-ь 1г(у; — 2, х), -2 < х < 2, приняв во внимание, что ,ь" б С!'! [-2, 2]. Пусть П вЂ” произволь,нос разбиение сегмента [ — 2, х], -2 < х < 2.
Тогда 1гп(Х; — 2, х) = ~ ~[((хь>ь) — ((хь)[= ~~ ]('(бь)]ь1х„х, < б, < х,чь =о ,=о (по формуле конечных прираьцеиий Паграижа). Следовательно, 1п ((; -2, х) = .'зп (]('[), где Яп (] ь" [) - — некоторая интегральная сумма функции ть [1~(!)[, — 2 < ! < х, в силу чего получаем т б. Функции ограниченной вариации 313 Согласно формулам (1) и (2), имеем 110. Пусть т': [и, 6] 66 — функция ограниченной вариации на [а, Ь], р н д — функции положительной и отрицательной вариаций функции У, а р~ и дд — возрастающие на сегменте [и, 6] функции и Х = р1 — д1.
Доказать, что Ъг(р; а, 6) ( Ь(ры а, Ь), 1'"(д; а, Ь) < 1 (ды а, 6). ч Согласна теореме 4, функции р н д не убывают на сегменте [а, Ь] и р(х) ) О, д(х) ) 0 Чх б]и, 6], так как р(а) = д(а) = О. Из формулы (2) следует, что Чх Е [а, Ь] р(х) = Ъ'(1; и, х) — д(х) ) О, д(х) = 6«(1; а, х) — р(х) ) О, следовательно, справедливы неравенства у(х) < Ъ'(т"; а, х), р(х) < Ь'(у'; а, х), а < х < 6. Поскольку ) = р1 — уы то 6'(1; и, х) = 6«(р~ — ум а, х), а ( х ( 6. Рассмотрим прн произвольном разбиении П сегмента [а, 6] вариацию Ъ«п(Х; а, Ь) = Ъп(р~ — дм а, Ь) = ~~~ ](р1(х~+х) — р1(х,)) — (у~(х,+~) — д1(х;))] ~( =з ( ~ ~[р~(х,+1) — р1(х;)) ( 1'п(рг, а, Ь). з Тогда Ь'(у'; а, 6) ( И(рц и, 6). Аналогично, Ъ'(У; а, 6) < Ь'(уц а, 6).
Из монотонности функций р и у, а также из того, что р(а) = у(и) = О, получаем, что И(р; а, 6) = р(6), И(у; и, 6) = д(6). Тогда нз неравенств (Ц следуют неравенства И(р; и, 6) = р(6) < Ъ'( г"; а, Ь) < Ъ'(рц а, 6), И(у; а, Ь) = д(Ь) < Ъ'(у; и, Ь) < И(ды а, Ь). $в 111. Пусть д Е В[и, 6],,у(х) = д(1) М, д~(1) = пзах(д(1), 0), д (1) = гпдп(д(1), 0]. а Доказать, что 1 — функция ограниченной вариации на [а, 6] и что ее функции вариации задаются равенствами Ъ(1; а, х) = / [д(т)]аз, р(х) = ~ д (1)ай д(х) = ~д (1)М.
М Пусть П вЂ” произвольное разбиение сегмента [а, х], а < х < 6. Тогда, согласно определению вариации, получим ~д] ~х, ,=з 1«(Х; -2, х)+ У(х) — Х вЂ” 2) р(х)— 2 Ю; — 2,*)-Л )+И-2) у(х)— 2 О, если — 2(х<0, 1(х), если 0 ( х ( 1, н1<х<2, — У(х)+28, если — 2(х(0, 28, если 0 ( х ( 1, — Х(х)+29, если 1 (х < 2. Гзс. 4.
Определенный интеграл 314 где 1пГ ]у[1)) ( д, ( впр [д[1)). ,<с< сзс ,<с< ,зс Следовательно, [ )д! Й < Ьс[)с; а, х) < [ [д[дг, а так как д Е И[а, Ь], то и )д) Е 22 [а, 6], в силу чего Ь'[у; а, х) = [ ~д[1)[дй По ~еореме 4 имеем р[*) - д[*) = ~ д[1) дг, р[*) + д[*) = /[д[1)] дй Следовательно, р[х) = — д[1)[1+вдпд[г))дг = у~[1)Ю, д[х) = — / д[1)[вдвд[1) — 1) Й = / д [1)й. 112. Пусть 1': [а, Л] й — функция ограниченной вариации на сегменте [а, б], а функция Р: [а, 6] -с 62 удовлетворяет условию Липшица на сегменте [а, 6], причем [а, 1с] 3 ,с"[[е, 14]). Доказать, что композиция г о у есть функция ограниченной вариации на сегменте [а, )3]. н Функция Е удовлетворяет условию Липшица на сегменте [а, Ь], если существует такое число ь = сопят, что г'хс, хг Е [а, 6] ~ ]Г[хс) — г [хг)[ ( (2[хс — хг[- Пусть П вЂ” произвольное разбиение сегмента [о, б].
Тогда получим — с Ьп[р о зс; а, Ьс) = 2~' /Г[у[цтс)) — Г[у[ц))/ (н С 2 ~/~[йзз) — зс[1 )! = г'ссп[с; ос )з). Из полученного неравенства следует, что композиция Го) имеет ограниченную вариацию на сегменте [а, сд]. М Упражнения для самостоятельной работы Пусть У: [а, 6] К вЂ” функция ограниченной вариации на сегменте [а, 6], а р: И вЂ” монотонная функция и [а, 6] Э у[[о, б]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
