И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 60
Текст из файла (страница 60)
ь-е Если же существуют интеграл ) у(х) д'(х) ох и произведение г(6 — 0) д(Ь вЂ” 0), то суще- ь-а ствует и интеграл ] У'(х) д(х) йх. В каждом из рассмотренных случаев имеем ь — е ь — е у(х) д~(х) ох = )(Ь вЂ” 0) д(Ь вЂ” 0) — 1(а) д(а) — 2~ г (х) д(х) г)х. Формула (3) называется формулой инльегрироеания но часжям ььееобеньееыыых инпьегралое. 4.0. Случай внутренней особой точки. Пусть функция Х: [а, 6]1(с) К, где с б]а, 6[, имеет интегрируемые по Риману сужения на любые сегменты [о, и') С [о, е[ н [с', 6] С]е, 6]. Тогда полагаем ь -е ь Я(х) ох = ~ у(х) ох+ ~,г'(х) ох, ,+е если каждый нз интегралов, входящих в правую часть (1), существует, и будем называть несобственный интеграл сходящимся. Если котя бы один иэ этил интегралов не существует, то говорят, что несобственный интеграл раскоднтся.
ь-е 1) Пусть )': [а, 6[ П, г" б С[а, 6[, н [ у(х) лх < ы. Пусть [о, р[ — другой полуинтервал а из К, причем о, а б Н, но Д и Ь могут быть как конечными, так и бесконечными. Пусть функция д: [и, Ьу[-ь Р возрастает на полуиитервале [о, гг[ и имеет на нем непрерывную производную д' всюду, эа исключением счетного множества точек, и, кроме того, Гл. 4.
Определенный интеграл 300 4.6. Признаки сравнения и признаки Абеля и Дирихле. !) Если г и д — неотрицательные функции, определенные на полуиитервале [а, +оо[ и интегрируемые на любом сегменте [а, х) С [а, +со[, причем ! (х) ( д(х), то у(1) сгг ( / «(г) срм а « * +со, +т е и из сходимости интеграла [ д(х) с1х следует сходнмость интеграла [ !(х) дх, а из расхоЕьь + димости интеграла [ ((х) дх следует расходимость интеграла [ д(х) дх, 2) Пусть У: [а, +со[ — ь И вЂ” интегрируемая по Риману на любом сегменте [а, Ь'] функция, 1 бесконечно малая при х +ос, того же порядка, что и функция х ь — „, о > О. Тогда +ю ,гг(х) дх сходится при о > 1 и расходится при о < 1. 3) Пусть [а, Ь[ П вЂ” интегрируемая по Риману на любом сегменте [а, Ь') С [а, Ь[ функция, имеющая при х Ь вЂ” О тот же порядок роста, что и функция х ~-~ „, Л > О. Тогда ь-в !"(х) г(х сходится при Л < 1 и расходится при Л > 1.
ес Теорема(признак Абеля). Пусть !с. [а, +ос[ й!, д: [а, +со[ П, ! 1(х)дх сходиво ся, а функция д мологггоггна и огриничена. Тогда иннгггрол ) г(х)д(х) дх сходится. Теорема (признак Днрихле). Пусть г": [а, +ос[ П, д: [а, -1-со[ Р и функция Х имеет ограничвгтую цервообрагную х ь [ !"(1) дг, а ( х < +ею, а функция д моногггонно е стремится к нулю нри х +со, Тогда иннтграл [ 1(х)д(х) ах сходится. 4.7.
Главное значение расходящегося несобственного интеграла. Пусть у: Й й и интеграл ) у(х) дх расходится. Если функция Х интегрируема по Риману на всяком сегменте числовой прямой и если существует !нп [ гг(х) дх, то его называют главным значением в смысле Коши расходяше- А +ы гася иннгеграла и обозначают ю р, ~ У'(х) дх = 1по ~ У(х) Йх. Пусть !': [а, Ь)'![с] — Я, с б [а, Ь[, н интеграл [ !(х) Их расходится. Если при любом достаточно малом в > 0 существуют интегралы [ г"(х) Ых и [,г"(х) дх и с+ существует ь !цп [(х) дх + ((х) г(х = г. р.
((х) Йх, — +о 1 4. Несобственные интегралы 301 то его называют главным значением е смысле Коши расходяШегося иишеграла. Вычислить следуь!щие несобственные интегралы: — -е 2 88. 1„= ~ соь2пх1псоьх бх. е и Согласно определению 1, и. 4.1, лмеем 1„= 1нп 1' сов 2иг 1п сов 2 2!и ---ау 2 О Применим формулу интегрвровання по частям к интегралу 1~, 1(х') = сов 2!Н1п соьгй, е полагая сов 2иг!й = Ь>, !псов! = и. Тогда получим 1 !г 1 1~, !(Х) = — сбп 2пт!и соь 2~ + — / ысп 2иг гб г 2!1 = 2и 2п / е —, +— !21. 2п (ьш 2пх) ' 4п / сов! а Аналогично тому, как было показано в примере 60, запишем Ь=1 и ) =2~( — Ца ', 2( — ф — 1))г+( — 1)".
Ь=1 Следовательно, г г (х) =,, + — / 4 ~(-1) сов 2(п — 1)г — 2соь 2пг+ 2( — 1) !1г = !п сов х 1 ч !. 1 п-1 2и(в!и 2пх)-' 4п / Х- е »-1 1а сов х 1 ч „1вгп 2(и — ь)х 1 „, х , + — ~( — 1) — — вгп2их+ ( — 1)" 2п(вгп 2пх) ' и 2(п — 1) 4!гг 2п ь 1 Переходя к пределу при х — — О,получим 2 т 1 . !псовх 1„= ( — 1)" — + — !1ш 4и 2и, " е (вш 2пх) г 1!Г 1 сгбх 1„! т = ( — 1)" — + — !пп =( — 1) —. > 4 2и е — 2и(ь1п2пх) — 2сов2пх ' ' 4п 2 89.
1„= х(х + 1)... (х+ и) ! и Поскольку ! ~, т, < —,, 1 < х <+оо, то, согласно признаку 2), и. 4.6, интеграл 1 1 1 сходится, так как 1 = ~'=-( )ш !1х . ( 2!г . / 11 — 11ш — — !пп 1 — — — 1. х — / г -+ '! Ху 1 ! Гл. 4. Определенный интеграл 302 Согласно определению несобственного интеграла, имеем бс РА с" = !1сп 1пп с'~ ~(х). + / с(1+1)... (с+со) * + с Разлагая правильную дробь ...
на сумму простых дробей, находим с 1 Ал ( 1)ь „Сь = 7 —, где Аь = = ( — 1) с(с+1) ... (с+ ) ~с+0' ОЦп — й)! и! ' Следовательно, 1с'с(х) = —, ~(- 1) С„"1п(х + й)+~~ (-1)~т С„!п(1+ я) о=о а=о =-,'„~ п' -'.-' о=о +~ '(-1)'"'С„"!п(1+1) ь=с Так как сумма биномиальных коэффициентов С,"„стоящих на биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то ,"- П(х+')' "'".=' + четных местах, равна сумме а=о и Х .с" (с), если С ~ хю Г(с) = '„,„.(х...1 (-1)"'+ (Осл — 1)е <э ), если С = хю интегрируема на любом сегменте [О, х), х > О. Так как мссолоество (хь) имеет лебегову меру О, то с(с) сИ = ~ Р(с) с!с, поэтому 1, = 1сш [ Е(с) сй.
На основании решения примера 60, имеем о — с Г(С)=е " ( — 1)™ 1+2~~ ( — 1) соз2(пс — и)С Следовательно, / -с ссос =с-~С'-'< ' )+ 2;с-Г ).-" ..Я вЂ” вез. а о =с -с сс" в силу чего !пп !и П (х+ й)! с '. = О. а=о я Таким образом, 1 = — ', 2 ,'( — 1)а+'Сс 1п(1+ й), м ' ь=с Е оо „, соз(2т — 1)х 90. Нычссслит 1 = [ е-" ' 1х,а>0.
соз х о м Функция у': х е с '— -'~ — '-'-'-: — )х, х Е Кт'С(хь), хь = -+Ох, й Е ае, имеет особые то ски » 41 — (д+ь ) хя, Посколысу существует 1пп С(х) = ( — 1)"' (2оз — 1)е [э ), то функция С е Г(С), -*с. 0 < 1(+сю, где 6 4.
Несобственные интегралы 303 Поскольку е 'сов2(т — п)г т Кее! ьт'Нм "11', то е1-«т' С вЂ” П е сов 2(оь — гг)101 = Ке -а + г 2(гп — и) о о е (сов 2(гп — гг)г+ ьзш 2(т — п)Г)( — а — г2(гп — п))~ = г !о (2(т — и) аш 2(ти — а)1 — а соа 2(т — п)1) к)г о (е ох(2(т — гь) сйп 2(т — п)х — асов 2(пг — п)х) + а). + 4(пг — п)г Ке ' аг 4(гп — и) е аг + 4(т— аг Таким образом, 1— готг о-г й.= ра ( — 1)'" ' ' +2~ ( ) х +ьь г а С-~ аз+4(т — П)г »=! и) ош 2(т — в)х — асоа(т — п)х) + а) 1)п-г ( ц — г г ( ц ю-г-1 +2а Е +2а У аг -~-4(гп — п)г а ' с-г аз+41г =1 г г х (е "(2(нов 1 91.
Показать равенство ( 1(ах+ — ) 4х = — ! ((11х~+4а6)г(х, где а > 0 и Ь > О, х~ а / После замены переменной получим г'г ь Ь ьь е,= — ! ХЕ)( )ь, 1= — ~у(О(~ь )о гЛь 1 = — а'1 = — 1(г)4(~юг — 4а6). а ! х/гг — 4а6 а ! го2ь готе Полагая в интеграле агат — 44аа6 6= г, имеем 1 = — 1 !(,/я~ + 4аЬ) Иг. / а / о 92. Если интеграл / 1(х) 4х сходится, то обязательно ли 1(х) ь 0 при х ь +со? о о предполагая, что интеграл в левой части сходящийся.
+ 4 Обозначим 1 = ) !(ах+ -! 4х и произведем замену ах + - = 1, предварительно ы ь о представив 1 в виде 1 = 1~ + 1г, где Гл. 4. Определенный интеграл 304 + оо М Необязательно. Рассмотрим, например, интеграл Френеля 1 = / яп хгИх. Произведя о в нем замену хг = Г, получим е 1 1 Х о1лгг 1 1 злит япг Х= —, / — ой=Хл+Хг, гдеХл = — / — он, 1г= / Й. .Х,Х[ ао еа 1 яп1 Поскольку Бпл = О, то Хг существует. Интеграл 1г сходится по признаку Дирихле, г-ео луг поскольку —,- ) О при à — +со, а функция х е ) явто11 = сох 1 — сох х, 1 ( х < -рос, л ъ'у 1 ограничена числом 2 Чх Е]1, +со[. Следовательно, 1 сходится, а функция х ~ зшхо, О ( х <+со, не имеет предельного значения при х +со.
+» Рассмотрим также 1 = ] хяпх Их н произвелем в этом интеграле замену х = П Прн 4 г о е этом получим сходящийся интеграл 1 = — ] э1а г М. Вместе с тем функция х е х зш и, г ° г л г о О ( х < +ос, не ограничена при х +оо. Следовательно, несобственный интеграл ] Х(х) дх может сходиться и в случае, когда функция 1 не ограничена при х — +ои, и + 93. Доказать, что если интеграл / !(х) 4х сходится и Х вЂ” монотонная функция, то 111 Х(х) я о ~ — 11 прн х +со, Поскольку интеграл сходится, то для нето выполняется критерий Коши г Чх>ОЗЛ>а;Чхл>ЛллЧхг>А=е Х~Х(х)о1х <с.
1 Фиксируем произвольное хо > Л и рассмотрим при х > хо интеграл / 1(1) ой, о Так как [Х] — монотонно убывающая функция, то ]1(х)] ( ]1(хо)] при х > ха, поэтому /'Х(г) М *о [Х(х)~(х — хо) < Поскольку 1пп хо~!(х)) = О, то из последнего неравенства следует, что 1шл х1(х) = О, т. е. !(х) = о (-) прн х +ю. 94. Найти представление «-функции Римана с помощью несобственного интеграла. М В примере 21, гл. 3, показано, что [х] 1 Х [х] 1 1 л1 — 1хж — — — +1+ — +... + — +С, .л+л й [ хл 2л ''' [х]л!' А ф О. я Из сходимости интеграла следует, что ~Х(х)~ О при х +со (в противном случае интеграл расходился бы, гак как функция Х в силу монотонности должна быть знакопостоянной при всех достаточно болыпих х, поэтому функция х е ] 1(Г) Ж, а < х < +оо, была бы неограниченной прн х +ю).
Таким образом ~Х[ — монотонно убываалщая функция. ! 4, Несобственные интегралы Если Л>О,то ((Л) = / л+, 4х = Игл ~1+ — «+ ... + — л), и = (х). М л Исследовать на сходнмость несобственные интегралы: г 95. 1= / — '. о и Из неравенства 1л х < х — 1, 1 < х < 2, следует неравенство (1пх) > (х — 1) ', позтому г г 1п(яв х) 1, 1л(яа х) !пп — 1пп л «о,/х х -го 1 хг сгд х !пп *-+о (, ) -л-- л — — Л х г л+- 1 х г 1пп — т — с — —— О -+о (=-Л)х лг л+- 1 х г !пп -оо (;,' — Л) Гдх (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
