И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Доказатгч что композиция 1" о и функцией ограниченной вариации на сегменте [о, )з]. Доказать, что полная вариация функции Г: х с ] 1[1) дг, а ( х < Ь, у' Е Л[а, 6], 100. [е, Л] является 101. равна Х [~[1)[дк ~6. Приложение определенного интеграла к решению задач геометрии б.1. Длина дуги спрямляемой кривой.
Определение 1. Путем о К'ь будем называть непрерывное отображение с: [а, 6] -с н", [а,Ь]СК. 102. Доказать, что если функция х с-с Ях), а < х < 6, имеет ограниченную вариацию на сегменте [а, 6] и )Дх)] ) в ) О гх Е [аэ Ь], то функция х с — '>, а ( х ( Ь, такясе является функцией ограниченной вариации на этом сегменте. 103. Вычислитгс а) И[вш х; О, 2зс); б) 1'[соя х; О, 2зс).
104. Вычислить функции положительссой, отрицательной и полной вариаций функции х с-с [х] — х, О < х ( 2, 315 Ь й. Приложение определенного интеграла Определение 2. Если непрерывное опьоброжсние ь ь [о, Ь] — ь м~ биективно, то путь будем называпьь дугой. Определение 3. Следом дуги ь" ь [а, 6] Я'.~ или кривой т нозьюоепься образ сегменьпа [а, Ь] тари опьображении ь" ь у=(усПЬ ьу, =Д(х), а(х <Ь, уы1,т). Определение 4. Пуспьь ь" — дуга е пространстве И™. Если ь(о) = ь(Ь) и ь(хь) ф ь(хг) для любой пары различных лычек хь и хз из инпьсрвала ]а, Ь[, то кривая т называется ььроспьой замкнупьой кривой.
Определение 5. Кривая т спрямляема, если вектор-функция ь имесьп ограниченную оариацию на сегменьпе [а, Ь], а длиной кривой т будем называть полную вариацию Ь'(ь; а, Ь), Теорема. Если вектор — функция Х' ь [а, 6] -ь и™ непрерывна на сегменте [а, 6], то кривая т спрямлясма, а ее дььина 1 может быпьь вычислена по формуле ь 122 ( [Х (х)) дх, где ]1'(х)[ = Рассмотрим частный случай теоремы, когда т = 2, а кривая т задана параметрическими Оь, г = Ьвг, г Ь Ь Р.
тыа ~СЬ Ь~ = /2ЬЬ2Р Ь Ь ф ьк ЬЬЬ принимает вид (2) Для случая т = 3, когда кривая т задана параметрическими уравнениями х = ьо(ь), у = ф(1), г = т(г), и ( 1 ( б, при выполнении всех условий теоремы имеем (3) В частном случае, когда кривая т в ьи~ представлена в виде ьь(х) = х,,ьз(х) = г(х), и ( х ( Ь, где ь" ь [а, Ь] и, ь" Е СП1[а, 6], формула (2) принимает вид ь (4) Если же кривая т в Б! задана в полярной системе координат, т.
е. параметрическими з уравнениями х = р(р) сов Вь, у = р(ьр) гйв ьр, гы < Ьо < Ьоь, р: [ьро, гьь] — К~, р б СЬО[гьв, ьрь]ь то формула (2) принимает вид Уг = /,'з ь.ь + .ь.ьь. фь В частном случае, когда кривая в полярной системе координат задана в виде ьр = Ьо(р), рь ( р < рг, то в интеграле (5) следует произвести замену переменной., После замены получим следующую формулу: Рз (й) 1+ (ррЪ ))' др Гл. 4. Определенный интеграл 316 6.2. Вычисление площадей плоских фигур.
Определение 1. Криволинейной трапецией называется плоская фигура Ф, ограниченная снизу сегмеппьозь [а, Ьь ьоги Ох, сверху — графиком непрерывной неотрицательной функции ь" ь [а, Ь] В, с боков " отрпкими ььрямых х = и н х = Ь (рис. 62). Теорема 1, Кривплинейпия трапеция квадрируезьая фигура, а ее площадь Р аычисляепься ио формуле ь Р = / ь'(~) дх. ь Если непрерывная функция 1: [а, Ь] В меняет знак на [а, 6], то [ у(х) дх равен алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, расположенных над осью Ох и под ней. Если плоская фигура Ф ограничена снизу графиком непрерывной функции ~ь, [а, 1ь] х!, сверху — графиком непрерывной функции уз .
[а, 6] 66, с боков — отрезками прямых х = и и х = 6 (рис. 63), то ее площадь можно вычислить по формуле ь (2) Гпс. 63 Рнс. 62 (3) Пусть Ф вЂ” односяязная область а Из, ограниченная гладкой замкнутой кривой т, заданной параметрическими уравнениями х = х(1), у = у(1), 1в < 1 < 1ь (кривая т называется гладкой, если и каждой точке 1 сегмента [1в, 1ь] функции х и у непрерывно дифференцируемы и х (1) + у'з(1) ф О). Предположим, что Ф --- выпуклая ориентированная плоская фигура, обход границы которой совершается протип хода часовой стрелки при изменении параметра 1 от 1в до 1ь.
Тогда площадь Р фигуры Ф может быть яычислена по льобой из следующих формул: Р = — [' у (1) х (1) 31, ьв (4) Определение 2. Криволииеаным сектором пизыпают ьыоскую фигуру, ограниченную двумя лучами, составляющими е тьляриой осью углы ьв = п, ьп = ьь', и пепрерььвпой кривой т, задаипои уравнением р = р(р), р ) О, о < уь < д. Теорема х. Криволипейпыи еекьпор — хводрируеипя плоская фигура, площадь Р коьпоПой МОЖно вы пьслппьь ььо формуле и 1 С. Приложение определенного интеграла Р = — (х(1)у'(1) — у(1) х'(1)) 41. (6) оо Если фигура Ф не выпукла, но се можно с помощью прямых, параллельных оси Оу, разбить на выпуклые части, то к каждой такой части применимы формулы (4) — (6). Складывая полученные результаты, опять придем к формулан (4) — (6), справедливым для вычисления площади воен фигуры Ф. С.З.
Вычисление объемов тел. Определение. Пусть У: [а, 6] В, Х Е С[а, 6]. Тело Т, образованное вращением вокруг оси Ох кривозивсбной гаропгчпи Ф, ограниченной графиком функции у, опзрвзками пРямых з: = а, з' = 6 и ссгмснзлом [и, 6] оси Ох, будем назьзвозль озалом вращения. Теоремсз з. Тгт ьршцсиия Т ьубирусмо и гго объем можно оьтислинзь ео формуле В=к/Т (х)с1х. Рассмотрим тело Т, содержащееся между плоскостями х = а и х ж 6. Предположим, что всякое сечение Ф(з.) тела Т плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке х Е [а, 6], есть квадрируемах плоская фигура, площадь которой Р(х) нам известна. Теорема 2. Е ли звсло Т кубиругмо, сз функция Р з х ьь Р(х), а ~( х < 6, интвгрируема на [а, 6], то объсзз Р тела Т .аозсно выьиспипзь ло формуле (2) Р(х) с(х. Найти длины дуг кривых т, .заданных в пространстве К: 113.
т = ((г, у) Е К : д = 2рх, О < х < хо, р > О). Применим формулу (4), п. 6.1, приняв во внимание симметрию множества точек (М(х, у) Е Кз: (З < зз: го., уг = трх) относительно оси Озч о "'о . о ото г и Т~/~ -~+И )з 1=2 ~т( + — с(г.=2 . дх = 2/ р-1-(ь2х)зд(ь2х) =2 /,/р+Пй= --/ 'зх о о о о 1з/зоо / РЗ Ъзхо + г/хо + з = (гзгсрз+гз +у 1в(1+ зггрз+ р))~ = 2 хо [хо + -) +р 1п — Ы /г 11г1. т = (з', у) Е В': х = — — т1п у, 1 < у < в уз 1 М В качестве переменной интегрирования возьмем у. Формула (4), п. 6.1, принимает вид Следоватепьно, + (1 + з) 2] 4 115. т = ((х, д) Е Рг: х = а(з1з 1 — 1), у = а(с61 — Ц, О < Г < Т].
Гл. 1. Определенный интеграл 320 где — лл — Сла — аС А Таким образом, имеем — а — т — Сга — В С хг = ь ь л- — ' С,/л-сла-аслс,=""с а (,т*:,*с,= г 4~г р ~г = — с~ЛС' — В' / сова 1 с(1 = — 1/АС.' — В' = А / А о и положим Р = 1нп Р(х) = / е ~вшх(с1х. а Представляя Р в виде суммы 1ь+Цл (сесул Р лл ~~ / е *(вш х(с(х лл 1пп ~ ~ е (агс х(с2х ь=а с=о н заменяя вкаждолс интеграле переменную по формуле х — йт = 1,получаем о т -с с -с .. т -сл с агг1+ сов! Р= йгп ду г 1 е вш1с11= !пп ~ е е 2 ь=о с — о 1+е ' . ч-~ йпс хг е 1 Вопрос вычисления площади фигуры свелся к вычислению суммы убывающей геометрической прогрессии. Таким образом, исаеем л 1+с 1 ег 2(1 — г ) 2 +г г 1 л = — с1(с —.
~ 122. х = а(сов!+1 в1гс 1), у = а(ап à — 1 сов1), 0 < 1 < 2т, и отрезком луча х = а, у < О. м Рассмотрим плоскую сригуру М КВКР, ограниченную разверткой круга и отрезком луча х = а,, у < 0 (рис. 04). Искомая площадь Р равна сумме площадей треугольника МОР и фигуры МКХоРОМ. Очевидно, Рамон = га, так как ОМ = а, (МР~ = 2та. Переходя к полярным координатам р и ср, получим г г г г ап1 — 1 совг р =х +у =а, (1+1), гдса= сов! -1-1 апг Рис.
04 (в интеграле произведена замена юсап -"„= 1). 1ь 121. у = е '! ав х~, у = О, х > О. а График функции у: х с е '(в!и х(, 0 < х < +ос, не имеет точек пересечения с осью Ох, являющейся его асимптотой при х +оо. Позтому множество точек плоскости хОу, ограниченное графиком функции у и положительной полуосью 1й~, не является квадрируемоьс фигурой в обычном понимании. Рассмотрим множество площадей Гл.
4. Определенный интеграл 322 Применив формулу (6), п. 6.2, получим 2 Р=- (! — 4! +41)61= — — — ! +-! 1 ! «з 2 1 ! «4 з 8 2) О Найти площади плоских фигур Ф, ограниченных кривыми, заданными в поляриых координатах: р т я 125. р=, ~о= —, «р= —. 1 — созз«' 4' 2 я Применив формулу (3), и. 6.2, получим 2 Р»' /' Ч("с'"'-')'('"-') = '2 ( с!д —, + — с18' — ) = — (ч2+ —,((ч2+1) — 1)) = — (юг+ 3), и х 1 зр1 «12' з р 232)243 6 2 (1 — соз Зз) 128. р = ", О < з < ! (эллипс). 1 + е соз !О я Согласно формуле (3), п.
6.2, и решению примера 131, гл. 3, имеем р )' «(!2 р !' яп х — з + 2 / (! + с соз«р)2 2(! — сз) ( ! + з соз х О ,г-.-"™(Я" 2),з-., ~ —., тр' . 3 О (1 — сз) 2 1 ! я 127. р=-, р= —, О< р < —. я' з!пз«' 2' я Множество точек ((Ф, р) Е Йз: — < р < —,, О < !О < -~ ие является плоской квадриа г руемой фигурой з обычном понимании, поэтому Р = Бш Р(з), где +О Р(з) = — 2 — — 2 «(!2 ж — (с!бе — — + — ) = — + — (сздз — -) -2./ ),з!пзр,г) =2~, —. -„) =.
2~ Е ( 2 а з!и 2« соз р < р яв 22 < а(соз 22+ ял 22) яп Ф, О < !2 < — )«С К . 2) Поскольку йш (с!Оз — -) = йпз Яя-'- = !!ш --з- = О, то Р = !пп Р(е) = —. И 1« «+О « +О З « +О «+О а! 128. р = а соз !О, р = а(соз «р+ яп Ф), М (О, -) Е Ф. ' 2 я точки окружности (р = а соз зз, )зз) < ~ ) симметричны относительно полярной оси, а радиус этой окружности равен — '.
Иэ неравенства а соз О«як !2 < а(соз !2+ яв р) яп р, спра- 2 ведливого при О < З«< —, следует, что полуокружиость (р = асоз !2, О < !О < -) целиком приз надлежит той части круга, ограниченного окружностью (р = а(соз !2+ яп зз), — — < з«< — ), которая лежит иад поляриой осью, поэтому точка М, лежащая иа полярной оси и принадлежащая по условию фигуре Ф, ие может принадлежать множеству точек 'з б. Приложение определенного интеграла ЗЗЗ е а ! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
