И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Так ("" / ь=а как существует Х +! Зо з/ьнь 1пп 1ьп! 00 Уо+! У» з [я + 1) з — ьь 3 то, согласно теореме Штольца, существует 1!и!,уп[ь/х) = 100 1пп х„= — ть)0. 20 цп)-о 3 ьо гш-г гьо — 1 = —, то 1л 2 2 — 1 10 Поскольку )!в[20) = — „и Еш— ь -! ь к гьо [г*) = 1ьш Вп э)п)-о /20 зьо ! Следовательно, 1 = ( — ь/ГО, — ) .
)ь '10 ' !э)' ! 82. Вычислить 1 = ~Г[х) ь)х, где — ! г[х)— хэ — 2х соя о+ 1 0<о<т, [а)<1, [Ь)<1, оЬ)0. М Согласно формуле [2), и. 3.1, имеем ! ! ь)х /хз гх..з.+, ~ — ! — ! ) [1 — г *+о!)[1 — гьх+Ь') Таким образом, функциональная матрица А[х) интегрируема на сегменте [а, Ь] тогда и только тогда, когда на этом сегменте ннтегрируемы все ее элементы а;! и при этом' Гл. 4. Определенный интеграл 294 поэтому интегрирование вектор — Функции у на сегменте (-1, 1] сводится к вычислению двух определенных интегралов числовых функций. Очевидно, ! ! г(х / г1(х — созе) 1 ( х созе ) /' с, = („,19 ( . ) хг — 2х соз о + 1 ) (х — соз о)2 -1- япг о яв о яка / -! — ! = — (агссд + агсзд ) = (ассад(сд — ) + агсгд ~ссд — )) =, В интеграле ! 1 ) !(х Бг о!!- !$о- !' ! Гг= / — ! а 1 где А= — + —, В=— 2а' 2 1 + —, произведем замену, полагая (А — х)( — х) = 1(А — х). Тогда 2Ь' ! — '',~ 7 1 1ГчГаЬ4+ 1 ] 1 1+ ъ'аЬ 2чсаЬ (з;/аЬ Ь— 12) „ГаЬ 1 — 'ГаЬ ]Ы] Т 1 1' гИ 1 1 — 1 = — 1а 1 2чуаЬ Ь1+ 1 ! Окончательно имеем 12х —,, — 1п я х 1 1+ чГЯЬ'] 2 яп о ' чгаЬ Ь1 — чгаЬ Ь/ ! 83.
Вычислить 1 = / (г(х), д(х)) оГх, где о то, согласно формуле (3), и. 3.1, получим о = (г!*!..!.!!~'. - /!!'!* !, ! !! ! = (от + * з (* + ч + ) + " ', )— / о о ! -~( ' .) с!З з е4 Г ""!з * — + ) гЬ~ = чГ2 1в(1 + чГ2) + — — 1 — / (1 ! х2)2 Полагая в последнем интеграле агссд х = 1 и интегрируя по частям, находим з !1х = / е' созг!И = — (сок г+ з1в Г) о (1+х ) 2 Окончательно получаем Г = чГ2!п (1 + ч'2) — —, й ! 84. Вычислить 1= ~[г(х), д(х)]!Гх, где 1'(х) = (х, х', х ), -! е! 1 Я 2 В(х) = (е, е, е ). < Поскольку В(х) = ч'(х), где ч(х) = (чГГ+ хг К(~) — — У 1 + г ) ' о '* "), Г'(х) = 3 3. Интегрирование вектор — функций / оо оа < Так как д(х) = ч'(х), где «(х) = ( е*, —, — ), то согласно формуле (4), п.
3.1, имеем 1 1= (У(х), (х)П'- — /(1'(х), «( )) 3х = (1(1), ч(1)) — (У(-1), ч(-1))- — 1 1 1 1 1 хе' !1х — —,' ! х е г/х + 3 3 ! х е'!1х — — ! е !1х + 31 2) / 3/ -1 — ! — 1 — 1 ,о( 1."!.—,1' .. !.)) Вычисляя интегралы и принимая во внимание, что [!(1), ч(1)] — (Г( — 1), ч( — 1)) = 1 ~ — зЬ 3 — сЬ2) +3 ~2сЬ 1 — — сЬ3) + ЦсЬ2 — 2 ей 1), . /2 . / 2 — ~3 -) ~- 3 окончательно получим , /22 4 , 3 3 21 1=1~ — вЬЗ вЂ” — сЬЗ вЂ” сй2+ — вЬ2 — — е ) + ~21' б 4 2 ./2 2 +З (-зЬ 3 — — сЬ3+2сЬ 1 — бзЬ1+ 12е ) + Ь ~сЬ 2 — — ой 2+ 4сЬ1 — бвЬ 1), (3' ' 3 ) где 1, 3, и — - орты осей координат. 85. Вычислить 1 = а~ з(х) 11х, где з(х) = е*(соз х + ! яп х).
о м Применив формулу (1), и. 3.2, получим (*1+- *1* + и-- 1*). о о Интегрируя по частям, находим 1= -(ео(1+соз2х+1(1 — сов2х)) +2(1 — !) ~е" яп2хг1х) = ео — 1+(1 — !)( е яп2хдх. 2 о о о Поскольку 1142 )* о е в!и 2х!/х =1пг~ е г/х = 1т . = 1т = — — (е — 1), <1+м1* е ' е — 1 2 1+2! 1+2! 5 а а 2 е — 1 то 1 = е — 1 + (! — 1)(ее — 1) — = (3 — 21) 5 5 2 86. Доказать, что 1 = ~ е' е ' 11х = I,, ( О, еслипгфо, ) 2х, если т=п. о М Применяя формулу Эйлера, получим е™ме '"' = ец" т1з = соз(п — т)х+гяп(п — т)х.
Если и! = е, то е'"хе оев = 1, следовательно, 1= /!1х=2т. а Гл. 4, Определенный интеграл Если т ф и, то )2 ,о 1 = / сов(п — т)х (1х + ! / мп(п — т)х(1х = в!и(!ь — пь)х) + !сов(а — ль)х) = О. о 2 ( "(х) .(х) ') аг!(х) аш(х) ( ' " ( ) (хг + 1)(хг + 2)' " ( ) хь + 3хг + 2 Зз/ 2 сов х (*) = * ) ' (.", ' (*) = М Согласно Формуле (1), и.
З.З, имеем и решение примера сводится к вычислению четырех интегралов. 1 1 Интегрируя тождество ... =,, —,, находим 1 1 1 1 а)! (х) (Зх = агс1д х — — агс18 — = — — — агссд —. Л .1/2) ц 4 112 ь(2 о Поскольку -! — г — = — — — и х(1х = — (1(х ), то 1 1 1 г +Зг Ь2 зг+1 в!+2 г < ! 1 1',1(хг) ) 1(хг) 1 хо+1 1 1 2 1' 1 4 — — 1п — = — (1п — — 1п -1) = — !п — , .
/ ег+1 / хг Ь2 2 хг+2 2(, 3,) 2 3 о о о ) „з 4х ! 2,1(1+ г) !((1+ 2) 1),1( + г) 1 1 Ь 1 аг!(х) (Зх = — I ((1+ х ) ) — (1+ х ) з) (1(1+ хг) = 2) о о 14 — (1-1- х ) з — (1.1- х )з = — <ы'2+ -) . Е 4 < 3 г — 3 г ь 3 1э 3! 8 )„28'1 2) Принимая во внимание тождество 2 + сов 2х = 3 — 2вшг х, находим 1 1 ! <у'- )== (~ (')го - — 1 о о Окончательно получаем г — — ~ агс18— 2 з 1= —;:'"; .--с)-)) ' 1 8 1. Вычислить 1 = / .4(х) (Зх, где о 1 Л(х) (Зх = о 1 1 а!2(х) (Зх =— о 1 и!1(х) (Зх 1 ) агь(х) (Зх о ) а!г(.о) (Зх о 1 ) агг(х)(Зх о 1 4. Несобственные интегралы Упражнения для самостоятельной работы Вычисинть следующие интегралы — 1=':т сое" хт/ега х '( э аь есасс «2с а 1Ь .
)(((лг, с(( = (," „...'.. ) ) л((л', л((= ( 2 * о 2 65. ) А(х)б(х)дх, А(х) = 2, 1(х) =(1в х, атсьйх). 1 66. ) (Г(х), б(х)) дх, 1(х) = (хс, 1и(х + т/1 + х~)), я(х) = (е, 1). о ~ 4. Несобственные интегралы 4.1. Несобственные интегралы первого и второго рода. Определение 1. Луснсь,/ = [о, Ь[ -- нолуинпьсрвал числооой прямой И, причасс Ь мозает бьинь символом +сю, а функция / (,Х И интегрируемо на любом сегменте [а, 6'] С .7. ь' ь-о Если сущгспсв уст «онечный предел 1ш( )/(х) дх, то его обозначают символом ) /(х) дх, ь'-ь — о если 6 6 И, и гил(волом ) /(х) дх, если 6 = +со. В зисом случае говоряпс, что функция / ин- Определение 2.
Если,'7 =)а, 6), / ( б/ И и если 1пп [ Цх)((х сусцествует.и конечен, с- +о ь Ь псо будем обознапа(пь гго символом ) /(х) дх, если а 6 И, или символом ) Дх) дх, если «+о — сь Ь' ь-с Определение 3. Егли 1пп ) Х(х) дх = )с /(х) дх сущесспвует, псо говорят, что не- ь' ь-ь, ь-о + собственный интеграл )с /(х) дх или )с Дх) дх сходится (существует). Если эгпот предел ь-о + не сущеспьоуюи (или бесконечен), пю говорят, чсно инпсеграл [ Дх) дх или [ л (х) дх рас- ходипсся (сооптгпйтвенно рагходиес гя к оо). ь-ь леорем(ь(критерий Коши). Интеграл )' /(х) дх сходипсся тогда и только тпогда, когда /(х) (1г О нри х( Ь вЂ” О и хз Ь вЂ” О.
1 4.2. Абсолютная сходимость. ь — о Определение 1. Если инптграл ) [/(х)~ дх сходится, спо говорят, что интеграл ь — о ) /(х) дх абсолют с(о сходится. ь' тегрируема в нггобспс вснп ам смысле на,у, а )пп ) /(х) дх называют несобственным и-ь-о (или обобщеннь(м) итнегралом функции / на,л (первого рода, если 6 = +оэ, и второго рода, если 6 6 И). Гл. 4. Определенный интеграл 298 ь — о Если у ь [а, 6[ И вЂ” неотрицательная функция, то сходнмость интеграла ] Дх) дх означает его абсолютную сходнмость. Пусть т"(х) ) О ох б [а, Ь[, Дх) ф О. Тогда функция Е: х ь ] )(г) дЕ а < х < Ь, возь-о растает вместе с х, а интеграл [ г (х) дх существует тогда н только тогда, когда множество ь-о Если же Дх) ) О ох б [ьь, 6[ и интеграл ] т"(х) дх не является сходящимся, то интеграл ь-о ,1(х) Ых = +оо.
ь — о Если интеграл [ )(х) дх сходится, то будем писать ь — о Г(х) дх < сс. Определение 2. Всякий сходящийся нвгобсльвснььый интеграл, абсолютно расходящийся, будем называть условно сходящимся. Заметим, что если у б Я[а, Ь], то ь-о ь ь ьь*ьь.=)ьльь =)" ььь '. +о 4.3. Алгебраические свойства несобственных интегралов. 1) пусть т ь [а, ь[ь 2 и сужение функции у на любой сегмент [а, ь'] с [а, 6[ интегрируемо по Риману на нем. Тогда функция о), о = сопзь, интегрируема на [а, 6'] 'ои б К. Следовательно, если Л ] Х(х) дх = 1гнь ],ь" (т) дь, то .-ь — о ь-о 3 д~ а~-'(х) дх = и д~ )'(х) дх. 2) Пусть Х: [а, 6[ — ь П, д: [а, 6[ И вЂ” функции, сужения которых на любой сегмент [а, 6] С [а, 6[ иитегрируемы по Риману на нем.
Тогда этим же свойством обладает н сумма ь — о ь-о У + д, следовательно, если существуют интегралы ] у(х) дх и ] д(х) аьх, то х Ипь ] (~(Г) + ~(Г)) дт = 1цп / Дг) д1+ 1пп / (Г) дй ь — о 1 -ь-о ь .-ь — о1 в силу чего ь-о ь — о ь — о И( )+д( ))дх = ~ Н*) д + ~ д( ) д Таким образом, множество Е функций г' ь [а, 6[ К, интегрируемых по Риману на всяком ь — о содержащемся в [а, 6[ сегменте [а, 6'] и имеющих сходящиеся интегралы ] Г(х) дх, образуют 1 4. Несобственные интегралы ь — е векторное пространство над полем К, а отображение г' ьь ) у(х) ох пространства Е в 66 есть линейная форма.
4.4. Замена переменной в несобственном интеграле и формула интегрирования по частюл. д([о, Ьг[) С [а, Ь[, д(о) = а, д(гд — О) = 6 — О. Тогда справедлива формула замены переменной в несобственном интеграле ь-е л-а Дх) Лх = / 1(д(и)) д (и) гги. 2) Пусть у: [а, 6[ П, д: [а, Ь[ П, у', д б СОВ[о, 6[, н а — конечное число. Тогда, применив формулу интегрирования по частям на сегменте [а, х] С [а, 6[, получим ((г) д (1) гЫ = Дх) д(х) — г (а) д(а) — [) 1 (г) д(г) (Й. (2) Если при х Ь вЂ” 0 любые два из трет членов равенства (2) имеют конечный предел, то и третий член этого равенства имеет предел, поскольку произведение У(а) д(а) определено. ь — е ь-а Если, например, существуют интегралы [ 1(х) д'(х) гЬх и [ у'(х) д(х) ох, то существует произведение г (Ь вЂ” 0) д(6 — 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
