И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть Г: [а, Ь] К, (з: [а, 6] И вЂ” непрерывные функции, причем функция р дифференцируема на интервапе ]а, 6[ и (о (х) > О. Доказать вторую теорему о среднем (формуяа (б), п. 2.2), применяя интегрирование по частям и испояьзуя первую теорему о среднем.
м Рассмотркм интеграл Г = ] Г(х)эз(х)г(х и применим к нему формуяу интегрирования по частям, полагая дз(х) = 1(х) Ь1х, и(х) = Ьс(х). При этом попучим ь ь Ь г=( з((Лег) -)( (о)г((г) *= (((Л ) -((Э- н((/го[ ° Ь / (применив к интеграяу ] ] ьз'(х) ] Г(т) д( их первую теорему о среднем). применение этом теоремы законно, поскольку функция х ь-ь ] Г(() и1, а < х < 6, непрерывна, а (с'(х) > О согласно условию, Г1осяе несложных преобразований получаем 1 = (з(6) / Г(х) Их+ (з(и) з~ Г(х) дх.
Если Г Е Г([а, 6], то средним значением г]зрнкцигг 1' на сегменте [а, 6] называется число М(Г) = — 1 Г(х) Ых. 1 Найти средние значения функций на указанных сегментах: 75. р=, О< р<2х, О<в<1. ! — е соз (з Гл. 4. Определенный интеграл 288 я Согласно определению, имеем вг р1' г /1+в у М(р) —— ж — агс18 ~/ — 18 — + 2я [ 1 — всову 2л ~~/) — е~ ~~)1 — в 2) о эо + ~ — ~ ) = (см, пример 20).
Д:, [гх)у[ чГ1 в о ь' Из аналитической геометрии известно, что в = ~~, р = —, где и — большая полуось эллипса, 6 — его малая полуось. Подставив вместо в и р их значения, получим М(р) = 6. я 'ь' 6. 1: х оо в1л х ял(х + у), 0 ( х ( гх. л Исходя из определения среднего значения функции, имеем 2 то 1 Г. М(1) = — ~ ядхял(х+ у) йх = — ~ (сову — сов(2х+ у)) 4х = 2х/ 4т / о о 1 ь' 1 схн у = — (хсову — — ял(2х+ у)~ ~ 4 (, 2 l !о 2 77.
Найти среднее значение скорости свободно падающего тела, начальная скорость которого равна во. я Скорость свободно падающего тела в момент времени 1 выражается формулой о(1) = во+ ус, где д — ускорение свободного падения. Согласно определению, получим ( = — г ° +Ф«= ° + — = дТ в(Т) + оо Т/ 2 2 о 78. Сила переменного тока изменяется по закону ггтг ь=ьов1л < — +у), (,т где ьо — амплитуда, 1 — время, Т вЂ” период, у — начальная фаза. Найти среднее значение квадрата силы тока.
я Поскольку ьа = 16 в1лв (++ ) = ф (1 — сол [+ + 2 )), то т ;г 4 1 <4хг ~) „ьо о 79. Пусть Т Е Я [и, 6) и д Е Я [а, 6). Доказать неравенство Коши — Буняковского < ь ь ь / Х(х) (*) "* ( / Х'(*) йх / д'(х) 4* а я Так как Х Е А [и, 6) и д Е А [а, 6], то Хдб п[а, 6), ь ЕЛ[а,6), д ЕЛ[а,Ь). ь ь Ь Обозначим о = ) ~ (х) Ых, Р = 1 [(х) д(х) йх, т = ) д (х) йх и рассмотрим два возможных случая: 12. Основные теоремы н формулы 289 1) о = 7 = О; 2) хотя бы одно нз чисел о или 7 отлично от нуля. 1) Пусть о = 7 = О. Интегрируя неравенство Щх)д(х)( < -(~~(х) + дз(х)), а ( х ( Ь, получаем ф < / Щх)д(х)( ах < — (а+ 7), откуда 8 = О и доказываемое неравенство выполняется. 2) Пусть, например, 7 > О.
Тогда при всех 1 Е 66 выполияетсл неравенство (у(х) + 1д(х)) ) О,интегрируя которое получаем 71 + 2;Ух+ а > О, 1 Е Ьс. Следовательно, дискриминант квадратного трехчлеиа у = 71~ + 281+ о неположителеи, т. е. 8~ — о7 ( О. Таким образом, 8~ ( о7. и 80. Пусть 1 б СО1(а, Ь) и ((а) = О. Доказать неравенство ь Из ( (Ь вЂ” а) ( у~(х) Их, где М = зар ()г(х)0.
«цз(ь и Запишем неравенство Коши — Буняковского в виде дз(Г) 11 и < Угз(1),11 П1) д(1) 11 / а где д(1) = 1'(1), 1(1) = 1, а ( 1 < х, а ( х ( 6. Оно принимает вид ~'(1)11 /81> откуда получим неравенство уо(1) ад ~/х — а ) )1(х)~ l а(х(Ь, М'<(Ь-,) у (х)дх, и а Упражнения для самостоятельной работы Вычислить интегралы, построив первообразные подынтегральных функций на всем промежутке интегрирования и применив формулу Ньютона — Лейбница: (принимая во внимание, что 1(а) = О), Левая часть последнего неравенства лишь усилится, если в ней положить х ж 6, а в правой части можно взять и то значение х Е (а, 6), при котором непрерывнал функция х ь-~ Щх)), а ( х ( Ь, достигает своей точной верхней грани М.
Следовательно, справедливо неравенство Гл. 4. Определенный интеграл 290 100,2 20,0 120,2 ,/гт;Б 13. ~ ( ]х'йх. 10. ]' („-*) йх, 20. ( (.*-)йх. 21. )" [х']их. 1,0 2,1 1,2 »/уд 100,2 га 23. ] (х] ] нп лх] ах. 24. ] шак(1, хг) ах. 0,20 -10 Вычислить определенные интегралы: го г»/г 1» О 1 з ~ 1~ ~ ~„* 1~ 1 а 1 г 1 20. ( е *эштхвх. 30. ], ", 1(х. 31.
] ]соз (1п -) ~ 1(х, и Е 1Ч. о о 22. ( Ц В*. ](агсзгп х) вх. о »» 1 32 ]' го»»»1»» 11 -1 1 о г 34. ( +, 4х. о 2 35. ] е ~*соо~"+'хйх. 1 2» 2 а а о * а 40 ( — ' в» 1 вх, Е = (О, л]~ ( — ], и Е Й. Решить уравнении: /2 1» 2 43. Найти абсолготные экстремумы функции /1 х 1 (,г, аг, — 1 < х < 1. о 44. Исследовать на экстремум и найти точки перегиба графика функции ~:х ](1 — 1)(г — 2) 1Й, хай. а *»»» гоо 1ОО юо 55. 0 < ( — '»(х < О)01.
56. 1 < о 1 58. 1 — -<(о * Ых<1,н>1. о 45. Доказать тождество ) агсзьч ь/Г 41 + ] агссоз г/г 112 = —. о о — 1 » — 1» — » »41 а.„„, . ~ »,»- 1=0* =.1 0=1 47. Вычислить среднее значение функции /: х 1 —,, О ( х ( 2. 43. При каком а среднее значение функции х»» 1п х, 1 ( х ( а, равно средней скорости измененил функции? Показать, что: 1 о,о о ч~ о 1 51. О 78 < ] — * < О 93. /)0» Доказать равенства: 200 — Я-„О < В < 1.
шо Показать, что: 1 1» 1 1 2» о и'+ о га 1О 1 3. Интегрирование вектор-функций 291 50. Определить знак интеграла 60. Какой интеграл больше: П >О, Ь>0, ХЕС[0, Ц. ~ 3. Интегрирование вектор — функций, комплекснозначных функций и функциональных матриц 3.1. Интеграл Римана вектор-функции. Пусть г: [а, 6] -ь И вЂ” вектор-функция с компонентами ую у = 1, т, являющимися ограниченными на сегменте [а, Ь] функциями. Рассмотрим произвольное разбиение П сегмента [а, 6] и обРазУем пРи любом выбоРе точек 4 Е [хо х;+ь] сУммУ Бп(г) = ~~~,т(с ) ых =о которую назовем интегральной суммой вектор-функции г" на сегменте [а, 6]. Согласно определению операции сложения в пространстве Ит, интегральная сумма Бп(у) имеет вид Бп(1) = (Вп(Ь), Бп(6),, Вп(У )), (1) где Вп(~г) = ~ гг(4,) ь."ьх, — интегральные суммы функций )ю у = 1, т.
Пусть д(П) = =о шах Ьх,. Полагаем 1пп Бп(г) =1, если те > 0 ЭЬ > 0: гП 'о' Ы(П) < 6 ~ ]Бп(Г) — 1] < е. о« -ь цп1 о Определение. Оиределенным инньегралом еекньор-О1ункции Г на сегменте [а, Ь] нагоеем сьредел йш Бп(1') = 1, е1п1 о если он сущеспьеует.
Если вектор-функция Г имеет определенный интеграл иа сегменте [а, 6], то будем ее называть инньегрируемой но Риману на эиюм сегменте, а ее интеграл обозначать символом ь ] ь(х) дх. Множество всех интегрируемых на сегменте [а, 6] вектор-функций г будем обоэиачать Г Е В [а, 6]. Теорема. Векньор-грункцил т": [а, Ь] -ь И"' интегрируема ни сегменте [а, Ь) тогда и только оюгда, когда каждая ее комгьонениьа гг, г' = 1, гн, иноьегрируема на этом сегменте. Принимая во внимание гту теорему, получаем, что если ь"Ей [а, Ь], то ь ь ь ь оо = )'ьм .)'ьнн,",)'гл м) а [2) ь Отметим, что замена переменной в интеграле ] г"(х) Ых сводится к замене переменной ь в каждом нз интегралов [ ))(х) дх, 1 = 1, т, поскольку интегрирование вектор-функции Г приводит к интегрированию т числовых функций.
1 61. Найти 1пп ] -еггг-;. -Оо ье +1 62. Найти 1нв / Х(х) — ", где а -+о, л ь ! = ] хг1в хде. о,ь г ге = ] е соэгхдх или ?г = ] е е соээхЫх? о Гл. 4. Определенный интеграл 292 Если вектор — функции г" н л интегрируемы иа [э, 6] вместе со своими производными г' и и', то справедливы формулы интегрирования по частям для скалярного и векторного произведений этих функций: ь ь (г(х), и (х)) дх = (г(х), б(х)) ~ — (т (х), б(х)) йх, (з) 1а ь ь — "/ [1(х), б'(х)] де = [г(х), о(х)]~ — [г'(х), о(х)] де. 2.2. Интеграл Римана комплексиозиачиой функции. Определение.
Для функции з 1 [э, 6] с, где з(х) = а(х)+ге(х), образуем при лроизеольиом разбиении П сегмеильа [а, 6] и любом отборе глочек бз б [х, х,.ь1] интегральную сумму (4) п-1 Яп(У) = ~~ и(бз) г."ах>+1 ~ е(~,) 1ах,. з=г з э А(х) дх = Йп Зп(А), цп) о если этот предел существует. Теорема. 3 йп Ьп(А) Сь Б )пп Яп(а> ), 1 = 1, а, у = 1, пь, причем «п)-э «п>-э >пп Яп(А) = Йп Яп(э11) цп)-о >,цп)-э ь тогда ] У(х) дх = йпь Яп(з), если зглот предел существует. г г г1п) э Множество всех интегрируемых по Риману комплекснозначных функций у будем обозначать У б зг [а, 6].
Теорема. 3 йш Яп(у) сь 3 йш Яп(и) л Э )пп бп(е), прочем «п>-о цп)-э г<п)-э ))ш бп(У) = )пп 8п(о) йьп оьг(э) «и) э >,«п) о цп) э Таким образом, комплекснозначная функция з интегрируема по Риману на сегменте [а, 6] тогда и только тогда, когда о б Я[а, 6], э б В[а, 6] и при этом ь ь ь У(х) дх = / и(х) дх + 1 / э(х) дх. (1) Если комплекснозначная функция У интегрируема на сегменте [а, 6], то комплексно- сопряженная ей функция у интегрируема на этом сегменте. тогда и произведение у у1 = ]у]~ лвляетсл интегрируемой числовой фуикцнеи, причем Ях)Х(х) дх т (и'(х) + и'(х)) дх.
(2) а З.З. Интеграл Римана функциональной матрицы. Если х ь-а А(х) = (а11(х)), а ( х ( 6, — функциональная матрица размера и х пь, элементами которой являются ограниченные на сегменте [е, 6] функции, то оиа является элементом векторного пространства 9>) иад полем )й, црнчем в этом пространстве определена интегральная сумма Яп(А) = (Яп(э,з)) при произвольном разбиении П сегмента [а, 6] и любом выборе точек с, б [хп х;.11]. Полагаем 3 3.
Интегрирование вектор-функций 293 0 0 )ь„,ь,ьь,.), Класс всех интегрируемых на сегменте [о, Ь] функциональнык матриц А будем обозначать А Е /Ь[о, Ь]. ьо 81. Вычислить 1 = [ [ь/хь 2') ь)х, рассматривая его как предел интегральной суммы. а М Поскольку ь/х Е /Ь [О, 1О] и 2" Е ььг[0, 10], то [ь/х, 2 ) б 2 [0, 10] и при любом разбиении П сегмента [О, 10] н произвольном выборе точек б, б [зь„лье!] получим 0-! -! ь= Ь ь! ), !» Ь)Ь!), Ь!'*)=с '00,, Яь!) ь' !'0 ! ип)-о з)п)-а =а ь=о Разбивая сегмент [О, 1О] на о равных частей н полагая Ь, = х; = ! — „, получим ,ьа 10 10 ~-~! ьь 3 -! Уп[э'х) = ( — ) ~~~ э/01 ь=о [приняв во внимание, что Ьх! = — ). ьо \ь о 1 з Рассмотрим числовую последовательность [-„) = [ — "11, где х„м ~ т/ьгь у„= нз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
