И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Из определения 3 следует, что всякое множество жордановой меры О имеет лебегову меру О, Теорема (Лебега). Пусть у ь [а, 6] -ь И вЂ” ограниченная функция и Е, С [а, 6] — множеспьво гг пьочек разрыва. Функция 1 интвгрируема по Риману на сегмснпье [а, 6] тогда и пьолько тогда, когда Š— множество лебеговоб меры О.
Согласно теореме Лебега, классу интегрируемых по Риману функций принадлежат ограниченные функции, множество точек разрыва которых не более чем счетное или имеет жордаиову меру О. 1.6. Интегралы функций, заданных на произвольных ограниченных множествах. Множества, измеримые по Жордану. Определение 1. Пуспьь Е С Х С И. Функция хв: Х вЂ” И, где ] О, если х б ХььЕ, 1, вслихсЕ, Х(х) = называется харакпьеригьяичгской функцией мнозьгства Е. Определение 2. Пусть Е С [а, 6) С И, ~': [а, 6] И вЂ” ограниченная функция. Если Утв б И [а, 6], пьо э )'(х) дх = Д(х)кв (х) дх. 3 1.
Интеграл Римана 256 Определение 3. Пуспьь Е С [а, Ь] С И, У: Е -~ 66 — ограниченная функция. Продолжим функцию 1' на весь сегмент [а, 6], образовав функцию [ У(х), если к Е Е, О, если к Е [а, Ь]1Е. Если функция Е интсгрирувма на сегменте [а, 6], то 1" (х) Эх = / с (х) Эк. Определение 4. Ограниченное множсспьво Е С К, граница которого имеет лебегову меру О, назьтавгнся измеримым по Жордану, а инпьвграл ь Эк ж / Хе(к)йк и где [а, Ь] — произвольный свгмвнпа, содержащий множество Е, называется жордановой ме- рой множгспьеа Е, или его длиной.
1.6. Свойства интеграла, выраженные равенствами. 1) Если у Е А [о, 6], то и «У Е 22 [а, 6], с = соавг, причем су(к) йк = од~ Як) йк. 2) Если 1', д Е Я [а, 6], то и (Х ж д) Е В [а, 6] и при этом ь ь ь (л )* Оэг =~а И +~ < )г " 3) Если У Е 22 [а, Ь] и с Е]а, Ь[, то ь ь 1(х) ак = ~ у(х) Эк + / У(х) Эк (свойство аддитивности), 4) Если сужения функции 1": [а, 6) ч 64 на сегменты [а, с] и [с, 6] ннтегрпруемы, то з Е Я [а, 6] и при этом ь с ь Л )г =1 Я*)ь.+) зо)~. 1.7.
Свойства интеграла, выраженные неравенствами. ь 1) Если функция )' иитегрируема на [а, 6] и у'(к) > О 'гх Е [а, 6], то ] Дт) Эк > 0; если ь з (х) > О, У е с[а, 6] и 1(х) ж О на [а, ь], то [ У(к) ык > с > О, гле с — некоторая постоянная. а 2) Если У(к) ( д(к) Чк Е [а, Ь] и г", д Е В [а, Ь], то 1'(х) Эк ( д(к) ь(к. 256 Гл. 4.
Определенный интеграл 1.8. Формулы замены переменной и интегрировании по частям. а) Пусть выполнены условия: 1) Х б С[а, 6]; 2) сегмент [о, 6] является множеством значений некоторой функции х: ! ! д(г), о < г < 11, имеющей на ]о, !у[непрерывнуюпроизводнукг; 2) ()= д(д)'= Тогда справедлива !рормула замены переменной Ь л ((х) !!х = / 1(д(1)) д'(1) й. б) Формула интегрирования по частям. Если и, и б С!П[и, 6], то Ь ь и(г)и (х)!!х = и(х) и(х)] — и~ и(х)и (х)!1х. В примерак 1 — 5 интегралы Римана вычисляются с помощью интегральных сумм Яп (Г).
Для любой интегрируемой по !'иману функции г: [о, 6] П имеел! Х(х) дх = !!и, Вп(Х) и1п1-о независимо от выбора разбиения и н точек,~, б [х„х,т!], позтому при решении указанных примеров разбиения П и точки 5, выбираются определенным образом. Вычислить следующие интегралы: 1. [ (1+ х) !1х. -! М Функция г' ! х ! 1+ х, — 1 < х < 4, принадлежит классу С[-1, 4], следовательно, у б 11 [а, 6]. В силу линейности функции у, удобно при произвольном разбиении П сегмента [ — 1, 4] взять В = '-'-* — ~-'-. Тогда интегральная сумма Вп(у') равна самому интегралу.
Имеем — ! » -! Яп(У) =ЕУ(6)21х* =Е ~!ах + "' ') = '=о ,=о х„— хз ! х +ход = х„— хо+ = (х — хо) (1+ 2 ! 2 г! = 12,5, так как ха = -1, г„ = 4. !1ледовательно, (1+ к) !!х = 12,5. -! 2. /х !!х,0<и<6, и!ф — !. и Выберем такое разбиение П, чтобы длины сегментов [хь х!х!] образовывали геометрическук> прогрессию, и возьмем 5, = х,. Тогда и-! 5п(у) = ~' у(х ) стх = и ( — ) — 1 ~~' ( — ) =о =о 6 1. Интеграл Римана 257 Поскольку «1(П) О при а со и (ь) — „ ""(2).— „-1в-,+о(„-) 1 — 1в — +о(-) па+1 ь 6т+1 от+1 то ) хм «бх = 1«ш /аль) = ««п1-о т+ 1 М Пусть П = (хо = а, ха, ..., х„= Ь) — произвольное разбиение сегмента [а, Ь).
Подынтегральная функция интегрируема на [а, 6), в силу чего, как говорилось выше, Вап Яп(У) ' ««п)-о СущЕСтВуЕт И НЕ ЗаВИСИт От ВЫбара ТОЧЕК Ь,. Пааатая Ьг = /Х«Х«Ь«г ПОЛУЧИМ зп(У) = ~~' =,~ ( — — — ) = — — —. х,х,+1 ),х, хаза) а 6 =о =о 1 1 Следовательно, 1 —,, = 1ип Ьп(у) = — — —. > «1п>-о а Ь 2 4. )а зиа х«6х. о и Взяв П = (х, = а —; а = О, в), Ь, = х«, имеем 2 л «1х, =— 2п Принимая во внимание, что «1(П) О прн а -г оо, находим т/2я ып Я вЂ” — ) 21вх«1хьх 1ип —.
г =1. а 4га аа о 5. /[ 1в(1 — 2асозх+а~) «1х при [а[ < 1 и [о[ ) 1. о < Возьмем П = (хь = о/с; 6 = О, и), Ьь = хь Тогда «1(П) — О при п оо. Обозначив з = еа* = соз х+ азы х, 2 = е '« = соз х — а ив х, получим /(х) = 1п(о — 2)(а — 2), ь=о Если [а[ < 1, то Вш оп(/) = О, так как аз" -а О при а -г оо. ««п1 о Если [а[ ) 1, то, представляя аап(/) в виде ,.
(/) з. [' , 2 + 1 («а — 1)(1 — «2 ) а+1 ь 1 «Ьх 3,)', О..< . ) х2' 'а/2я з1в ( 4 ) /уп(у) = — у ыаа — = —. 2и 2«а 4а ип— «=о 4 «-1 о Еап(У) ах — ~ ~!в (и — е ) (а — е ) = ь=о -1 =-'" П("- '.") (.— '.') ='-'« 2='«г=' 258 Гл. 4. Определенный интеграл получим, что йш )тп(У) = !цп )ьп(У) = х!по . Следовательно, «(п)-о О, если [о[ < 1, 1п(1 — 2осоз х+ о ) т(х = х!и о, если (о) > 1. о б. Пусть Функция У: [а, 6) ЬЬ монотонна на сегменте [а, Ь]. Доказать, что У(х)ь(х — — ~У(а+( — ) =О( — ). (=! м Если У б )о[а, Ь], то при любом разбиении П сегмента [а, 6] и произвольном выборе точек б б [хч х,зт] выполняются неравенства Лп(У) < / У(х) ь(х < 8н(У), дп(У) ~< Ьп(У) < Ьп(У), в силу которых ] У(х) дх — Яп(У) < Уп(У) — Лп(У), Длл монотонной функции У прн разбиении сегмента [а, 6] на и равных частей имеем Яп(У) — нп(У) = — ]У(6) — У(а)[ = О ( — ) .
ь 3 Д*) ш-кп(л Обозначив ', = д, получим, что ) У(х) ь(х — тп(У) = д Ъп(У) — 5п(У) - п(т)-зп(1) О [„-), так как [д] < 1. Н (, Пусть У, ьо б С[а, 6]. Доказать, что (Ур) =«[ У(*) р( )д* «(п) о где ап(Ур) = ~', У(б.) р(д,) ььх,, х, < б, д, < х(тт. =о и — г м Из оценки [.'тп(У)о) — ать(Ур)[ < 2 [У(б)[[(о(д() — от(б)[ Ьх,, ограниченности функции У, =о условия уь б Я[а, !ь] н оценки ]уь(д,) — от(б)] < ь«„где сч — колебание функции р на сегменте [х(, х;ьт], получаем, что !ьш (йьп(УФ) — ьтп(Ур)) = О.
«(п)-о Следовательно, !пп ап(У)о) = !!ш дп(У(о) = У(х)оо(х)ь(х н ',(()т)-о «(п) о 8. Доказать, что функция Днрихле г: [а, 6] 2, где О, солих иррационально, н(х) = ' 1, если х рационально, не интегрируема на сегменте [а, 6]. М Функция Н ограничена и раэрывна в каждой точке сегмента [а, 6]. ()атласно теореме Лепета, х не интегрируема на этом сегменте. Н 259 11. Интеграл Римана 0. Доказать, что функция Римана 1': [а, 6] И, где ж 1 и если т = —, у(") = О, если х иррационально, зпр(Бл(У)) = 13х = У(х)Ах = О. 1п1— 10. Доказать, что разрывная Функция у: х э здв [з1п — ), 0 < х < 1, интегрируема на полуинтервале ]О, 1].
5 м Функция г раэрывна на счетном множестве точек Х = (хь = -„; 6 Е Щ и ограничена. Множество Х имеет одну предельнукэ точку х = О, поэтому имеет жорданову меру нуль. Функция Г: [О. 1] — 66, где О, если х Е Х с1 (0), )(т), если х Е [О, 1[((Х О (О)), ограничена на сегменте [О, 1], а множество ее точек разрыва Х с1 (О) имеет жорданову меру О, следовательно, Г Е Я[0, 1]. Согласно определению 3, п. 1.5, У Е Л]0, 1]. 11. Доказать, что сужение ограниченной на сегменте [а, 6] функции у' на множество Е = (а) интегрируемо на множестве Гь и Г"(х) 4х = О. Е М Образуем Функцию Е: [а, 6] — К, где У(а), если х а, О, если а < х < 6.
ь Функция Г ннтегрируема на сегменте [а, 6] и ) Г(х)Лх = О, так как при 1(а) ф 0 она раэрывна лишь в одной точке, а при любом разбиении П сегмента [а, 6] имеем эд(Г) = О, ) Г3х = ) Е(х) 3х = О. Обозначим ) 1(х)Нх = [ )(х) Нх. Согласно определению 3, п. 1.5, Е получаем ) г'(х) 3х = О. 12. Пусть т: [а, 6] К вЂ” ограниченная на сегмента [а, 6] в направлении от точки 6 к точке 6,хы..., хэ = а), где г, > хыы 6 = О,в — 1.
произвольную точку 5, и образуем сумму сегменте [а, 6] Функция. Разбиением П а назовем множество точек П = (хь = Па каждом сегменте [х,тг, х;] выберем бп У) = ЕУ(5)(* '). ~=а ь а пь и и (и > 1) — взаимно простые целые числа, интегрируема на [а, 6] и / 1(х) Ых = О. м В примере 253, гл. 1. доказано, что функция Римана непрерывна в каждой иррациональной точке сегмента [а, 6] и разрывна в каждой его рациональной точке.
Поскольку оиа ограничена и ььножество ее точек разрыва счетное, то, согласно теореме Лебега, ЯД[а, 6]. При любом разбиении П сегльента [а, 6] каждый сегмент [х„хею] содержит иррациональные точки, поэтому Оп(1) = О, в силу чего Гл. 4. Определенный интеграл 260 Если Э !пп Вп (1") = 1', то говорим, что функция Х нитегрируема на сегменте [о, 6] в е1пЗ э направлении от точки 6 к точке а н записываем 1' = ] у(*) Ых. ь Доказать, что если у б Я[а, 6), то существует ~ Г(х) ех, н при этом ~ у(х) ох = — / Г(х) ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
