И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 48
Текст из файла (страница 48)
~+ С. Ч 2» 2 > О. 1Ч + С. Найти интегралы 6Ц З. — гх — 1' ч Имеем 1 )' 1(х-И Зх» — 2» — 1 3 ) ( 1/ 2 ж-'1л~ —,* ' ~+С, 1 х ус — — х ~ 1. и 3' х йх х» — 2хз — 1 ес Очевидно, х 11х 1 ! 11(х — 1) 1 х — 1 — Ч'2 +С, ~~Ч1+ /2. р 62. ' 4Х. ! х»+у+1 М Пользуясь свойством г), п.
1.2, получаем 11 1 1 2Х+1 гЬ вЂ” г! х+ — = — 1л(х + х+ 1) + — асс!8 + С. ж /з /з 66. 1= Бги х + 2 соБ х + 3 м Имеем нх л (ск») ск» + 1 !()= =2 жагстц +Са, 2сйв — соз — +1+4созз 2 ! (18*в .1-1) ф4 2 — т<х<т+г Из непрерывности первообразной следует то к=~ — 1. Х+2 н« вЂ” и+1, 2т Таким образом, Ск 2 +1 !х+ т! »'!Х) = агстз 2, + х. ~ — ~ +С, х ~ 1г+ гпт, 1'(т+ 2кт) = спп»'(х), и Е Х. ж 2 1 » к+ 2 ах 1г, т !!т+ 2нх — О) = 1!т+ гпт+ О), н Е К, — + С„= — -+ С„+, С„+ = 1г+ С„. 2 2 Отсюда находим Са = их+ С, где С = Се — произвольнал постоянная.
Поскольку 2пт — 1г < х < 2 + 2нт, т. е. Гл, 3. Неопределенный интеграл 222 где нули квадратных трехчленов а«х + Ьух + ((« комплексные, допускает разложение г (:)(х) с-~ ) (х — х,)" (х — х«)" ' ' х — х, у( 1 ." . ".!~ ~(а«хг+Ь,х+с ) ' (а,хг+Ь«х+с,)м« ' ' а хг+Ь я+ с«/ ' Постоянные А(„'), В(г) и Сл(') находятся методом неопределенных козффициентов. В некоторых случаях постоянные А«о А„«, ..., А«в разложении г(з«Р( ) л л «Аг + н(з) О(г) ( — «) ( ) (з- «)" ( -з«)" ' ''' з- «(г) ' (2) соответствующие множителю (х — х«)", удобно находить следующим образом, Умножив равенство (2) на (х — х«)", получим Р(х) з-« „Рь (х) — = А„+ (х — х«)А„«+ ... + (х — х«)" А«+ (х — х«)" —.
() г(х) (3) Заметив, что все слагаемые правой части равенства (3) при х = х«равны нулю, находим (4) Далее, продифференцировав равенство (3), получим — ) = А„«+ 2(х — х«)А„г + ... + (и — 1)(х — х«)" А«+ (х — х«) + (х — х«) Р(х) ' — г з « Р«(х) (*) ) = " г«(х) ' откуда находим А Продолжая описанный процесс, получим формулу (6) 1=0,н — 1, х« + 1 5хг — бх + 1 + г хг — 5хг + бх хг — 5хг + бх а затем разложив знаменатель правильной дроби на множители, получим 5хг бх+1 5хг бх+1 А В С вЂ” + + хг — 5хг + бх х(х — 2)(х — 3) х х — 2 х — 3 ' Согласно формуле (4), имеем 5х — бх + 1 ~ 1 5хг — бх + 1~ 9 (х — 2)(х — 3) ~ б' х(х — 3) ~ 2' 5хг — бх+ 1 х(х — 2) 28 испоаьзуемую для определения постоянных А„, А„«,..., А«, соответствующих множителю (х — х«)".
Аналогично вычисляются постоянные разложения (1), соответствующие другим действительным нулям многочлена х «С(х). Применяя метод разложения рациональной дроби на простейшие множители, вычислить следующие интегралы: 69. хг — 5хг+ бх м Выделив целую часть 4 2. Интегрирование рациональных функций Интегрируя тождество зз + 1 1 1 9 1 28 1 =1+ — ° — — — ° — + — ° —, кз — Зкг+бх 6 к 2 х — 2 3 х — 3' окончательно получаем +1 1 9 28 яз — бкг + бк 6 Мз = з+ — 1и !к! — —,1в !к — 2!+ — 1п!з — 3!+ С, х ф 0;2; 3.
и 2 3 7О. хз — Зх+ 2 М Аналогично предыдущему имеем х к А В С + — + кз — за+2 (х — цг(я+2) (з — цг (з — ц х+ 2 Пользуясь формулой (6), находим Таким образом, l' кНз 1 ) Нх 2 ) Ыт 2 ) зг зз — Зз+г 3) (з — Цг 9/ з — 1 9/ х+2 1 1 2 2 1 2 1я — 1 — + — 1п)к — 1! — — 1в)я+ 2)+ С = — ф — 1п ) — ~ + С, 3 к — 1 9 9 З(х — Ц 9 )к+2 к~), яф-г.> 7 1. ая ( +ц(з+гр(*+З)з' м Имеем 1 А В С В Е Р (к з- ц(з+ 2)г(х+ З)з я+1 (к+ 2)г (х+ 2) (к+3)з (к+ 3)г к+ 3 + + + + + —. (ц Пользуясь формулой (6), последовательно находим 1 1 1 А= — В= — -1 (з + 2)' (з + 3)' 8 ' (к + 1 )(к + 3)' ! Сы 7 ы -(к+з)' — з(к+ ц(к+ з)' — =2, (з+ ц(х+ З)з/ (я+ цг(к+3)з 1 1 (.
+ц(к+г)г, г' -(*+ 2)' — г (к+ ц(. + г) ) 3, (з 4- ц(я+2)г ) ) (х+ цг(я+2)з ) 4' о 2 (к+ Ц(я+ 2)г з (х + цз(х + 2)г (к + цг(х + 2)з (к -~- ц(к + 2)з ) ) 8 Подставив найденные коэффициенты в разложение (Ц и проинтегрировав, получим Зх 1 1 1 1 (.+1Н.+2) (.+3)' =8"'!'+Ц+.+2+г'"! +')+4 (.+3)'+ 5 17, 9х +60з+68 1 )(к+ц(я+'2)зз) 4(х+ 3) 8 4(к+2)(к+ 3)г 8 ) (к+ 3)зг, хф — 3; 2; — 1.р Гл. 3. Неопределенный интеграл 72 ~х х(х + 1)(хг+ х+ 1) м Имеем 1 А В Сх+Р х(х + 1)(хг + х + 1) х х -1- 1 хг -1- х -!. 1 + + По формуле (4) находим первые два коэффициента; 224 А= 1 г ' г 1 = — 1.
(х + 1)(хг + х + 1) х(хг + х + 1) Далее приводим разложение (1) к общему знаменателю 1 = А(х + 1)(зг + х .1- 1) .1- Вх(хг -1- х+ 1) -!- (Сх -!- Р)(хг + х); затем сравниваем коэффициенты при х и х, получим енот~му х ~ О=А+В+С, хг ~ 0 = 2А+ В + Р + С, из которой находим С' = О, Р = — 1. Проинтегрировав (1), получим 73. 1,"*,. < Поскольку хз + 1 = (х + 1)(хг — х + 1), то — А / ! 3 3х / 4х / Вх+С =А — + Зх. х +! / х+1 / хг — х+1 Обычным методом получаем систему , г х а х О=А+В, 0=-А+В+С, 1 =А+С. Отсюда А = —, В = — —, С = „-. Таким образом, при х ~ — 1 з 1 1 з з' х — 2 1 Г(х-~)3х 3~ = — ! )~+1~ — — ~ + хг — х+1 3 3/ хг х+1 3х 1 1 г1п!к+1~!п(хх+ 1)+ ( 1)г+з 3 1 2х — 1, 1 (х+1) 1 2х — 1 + — агстд — + С = -!и .
+ — агсгб — + С. > чг3,/3 6 х — х + 1 чгЗ чгЗ бх 1 1 = — !п(х+ 1) —— хз 3 м Имеем откуда получаем х = А(хг + х + 1) + (Вх + С)(х — 1),' хг 0 =А+В, х !=А †В, х" О=А — С. Ах / Ах = !11 ~х~ — !и (х+ П+ х(х+1)(хг+х+ !) / хг+х+1 +С, хф — 1;О.п 3 2. Интегрирование рациональных функций 225 Решая полученную систему, находим 1 А= —, 3' 1 С= —, 3 1 В= — —, 3 Следовательно, хая 1 1 ( х — 1 1 1 П / 42 = — 1п)х — 1) — — !и!х + х+1)+ хз — 1 3 3/ ' +к+1 — 3 6 1 2х+1, 1 (х — 1) 1 2х+1 + — алсгд + С = — !и, + — асс!6 — + С (х ~ 1), р з/3 з/3 6 ха + х +'! з/3 з/3 М Поскольку х' + 1 = (х' + 1)' — 2х' = ( ' + з/2 + 1)(х' хз/2 + Ц, то разложение подынтегральной функции на простые дроби ищем в виде 1 Ах+В Сх+ Р + х +1 хг фхз/2+1 хг — хГ2+1 Из тождества 1 = (Ах + В)(хг — хз/2+ 1) + (Сх+ Р)(ха + хз/2+ 1) получаем систему уравнений ,з г О=А+С, О = —,2.4+ В+,/2С+ Р, О = А — з/2В + С+ з/2Р, 1 = В+Р.
х хг Отсюда А = — С =; —, В = Р = —,. Следовательно, 2 1 -- -2Л вЂ” -2 х+ —, Л г!х + 2 2,/ *г + Л+ 1 Нх 1 ( х+ з/2 1 ( х — з/2 ха+ 1 2з/2,( хг +хх/2+1 2з/2,( хг — хз/2+ 1 4х 1 ( х 2 +— г,! + 41 ( Д~', 2 2,У . — 22ф1 2 / = — !и + — (ашгд(хз/2+ 1) + агсгя (хъ 2 — 1)) + С. хг ! х/2+1 4з/2 хг — ха/2+ 1 2х/2 Учитывая формулы сложения арктангенсов (см, пример 268, гл. 1), окончательно получаем 4х 1 хг -!- Х,з/2+ 1 1 хз/2 гг 1(х) = г( = — 1п + — агс26 + — е(х) + С, / х + 1 4Х/2 хг — х Г2+ 1 2з/2 1 — хг 2Х/2 где ( +1, е(х) = О, — 1, солих > 1, если !х) = 1, если х < — 1, 1(-1) = 1пп 1(х). в 1(1) = Иш 1(х); ! 76.
хз ф хг -1- 1 м Поскольку х'+ ха+1 = (хг+1) — хг = (х — х+1)(х +я+1), то разложение ищем в виде 1 Ах+В Сх+Р + хз + 22 + 1 хг + х + 1 22 х + 1' Гл. 3. Неопределенный интеграл Иэ тождества 1 ьв (Ах + В)(х — х + 1) + (Сх + В)(хз + х + 1) получаем систему О=А+С, О = — А+ В+ С+ В, О=А — В+С+В, 1жВ+В. х о Отсюда А = В = — С = В = —. Таким образом, !х 1 )" х+1 1)" х — 1 х4 ! хз ! 1 2 ( хг ! х ! 1 2 / хг 1 х + х + 1 1 / 2х + 1 2х — 1 1 = — !а + — агсзб — + агсзд — /! + С. 4 хз — х+1 24/3 ~, Ь/3 ,/3 ~ Заметим, что (см, пример 2бб, гл.
!) 2х + 1 2х — 1 хз/3 агсзб + агс!б — = агсзб — + те(х), ,/3,/3 1 — хз Зх 1 ха+к+1 1 хз/3 41 = — !и, + агс~б, + (х)+С. М х4 + хз -(- 1 4 хз — х + 1 21/3 1 — хз 2ч43 77. м Сначала преобразуем подынтегральную функцию 1 (*' + 1) + (1 — х') х' + 1 1 — х' + хз + 1 2 (хз + 1) 2 (хз 4- 1) 2 (хз + 1) (,4 2+1)+ 2 (1 2)(1+ 2) 1 х2 г + 2(ха+1)(хз — ха+1) 2(хз — ха+1)(1+ха) 2(ха+1) 2(ха+1) 2(хз — хз+ 1) Иервые два слагаемых легко интегрируются, поэтому найдем разложение на простые дроби только последнего слагаемого.
Имеем — х +1 Ах+ В Сх+ В (х' — х' + 1) хз + /Зх + 1 х' — /Зх + 1* + г — — + — = (Ах -1- В)(хз — з/3 х + 1) + (Сх + д)(х + з/3 х + 1); 2 2 х' 2 О =А+С, --', = —,/ЗА+В+,/ОС+В, О = А — з/ЗВ + С+ ь/ЗВ, — ' = В+В. 2 1 —, поэтому з о Отсюда А=-С= —, В=В= з' 1 1 х' 1 + 2 /з хз+ ! 2(хз+1) 2(ха+1) 24/3 хз+ /Зх-1-1 + ° а + Интегрируя это равенство, получаем 442 г,/3 ' — з/3 +1' 4!х 1 ха+ 444З к+1 = — агсздх + — агсздхз + — !а + С.
> ха+1 2 ' б 4 /3 хз — з/3 х + 1 44Х хз хз+хз хз+х где функция е(х) определена в предыдущем примере, а значения арктангенса в правой части а точках х = х! равны предельным значениям в этих точках. Окончательно имеем 1 2. Интегрирование рацнональнык функций 227 < Поскольку х' — к~+ха — хг+х — 1 = х'(х — ц+ха(х — ц+(х — ц =(х — ц(х~+х~+ц ж (х — ц(х + х + ц(хг — х+ ц, то разложение подынтегральной функции на простые дроби имеет вид г з х О=А+В+В, О= — 2В+С+Е, О = А+ 2 — 2С, О = -В+2С вЂ” В, 1=А вЂ С в, решая которую, находим 1 Е = — —. 2 А= — В=-, 1 1 С= — —, В=О, 6' Таким образом, Зх 1 1 1 2х — 1 = — 1п(х — Ц вЂ” -1п (х + х+ 1! — — агс16 — + С = хз — хэ -)- хг — хг ! х ,УЗ ' хГ~ 1 (х — Ц 1 2х — 1 = — 1п — — агсгб — + С, х ф 1.
!ь 6 хг+х+1 ьгЗ АЗ )' '+6 + 79. При каком условии интеграл )1 з, Зх представляет собой рациональную / хз(х цг Функцию? ч Интеграл представляет собой рациональную функцию, если в разложении ахг+6х+с А В В Е Г = — + — + — + +— хз(х цг хз хг х (х цг коэффициенты Р и Е равны нулю.
Предполагая последнее, имеем .*'+ 6х+ с = Л(,' 2, + ц+ В(*' — Зхг + х) + Ехз. Приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях х, получаем систему з г О=В+Е, а =А — 2В, 6= — 2Л+В, с=А. х о Исключая из этой системы неизвестные А, В и Е, находим требуемое условие: а+26+Во=О. Ь Применяя метод Остроградского (сма Л я ш к о И.
И. и др. Математический анализ. К., 1963. Ч. 1, с. ЗЗЦ, найти интегралы; 80. (. цг(. ! цз' чг Имеем 1, 1 хНх Ахг+Вх+С /' йх ) Нх (х- )'(х+цз (х- И*й ц" l *- ' l + ' Дифференцируя обе части равенства, находим х (хг — Ц(2Лх+ В) — (Зх — Ц(Ахг + Вх + С) В Е (х 1Р( ..! Цз ( цг( +цз + + х — 1 х+1 Приводя к общему знаменателю н приравнивая числнтели, получаем = — Ахг + (А — 2В) хг + ( — 2А+  — ЗС) х+ С вЂ” В+ + В(х — ц(х + Зх + Зх + ц + Е(хх — 2хг + ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
