И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Интегрируя по частям, находим аг~ (Й (21 Е сй у=а — а / (Й = — а!+ а / +а/ 1+(2 / 1 ! 12 1+14 / 1+Г' 1+И / 1+Г'' Последний интеграл вычислим путем преобразования подынтегрального выражения: гй 1 7' (1 + 12) + (! — Га) 1 У 1 + $2 1 Г Гз — 1 — ,Й = /' гй /' — ,Й = 1+И 2 / 1+12 2/ 1+И 2/ 1+12 С' — 1 1 1+!Я+! = — асс!3 + — !а 2х((2 1ч)2 4»(2 Гз — Гъ'2 + 1 Гл. 3. Неопределенный интеграл 236 Таким образом, з! С 4)х+Цз'8!*+Ц '-< +1)2-8"'ы~~х+Ц' Зхг+Сх+5 3 .
1 2/»2+2» — — агса!л +С, х< — 2, х >О, р 8(х -1- 1)2 8 (х + ц 1 ОЗ, ( " ' + 2 3*. хг+1 м Имеем 1 = !в<х+ 1/хг+ 2). хг + 1 <хг + 1) )/хг + 2 з/»2 + 2 (хг + 1) ~~Р + 2,/ з/хг + 2 » Для вычисления интеграла ) применим подстановку = г. Тогда г+11 /ыгз.г з/ '+г )!х ~ А х = агс131 = агсгб (»2+1) г»2+2 / 22+1 /»2+2' Следовательно, /22+2 2 Х 21х = !в(х+ Х/ха+2) + агс18 +С р хг+1 Приводя квадратные трехчлеиы к каноническому виду, вычислить следующие интегралы: 104. х )1х 12 — 2*2 ') '2222:2 м Имеем 1 гх 23 ( )!х ( (2» — 4) )!х + )2 — ' *2* ) ртг* — * 1 '2тгг — * 1 )2 2*'; ) гчгт-Л Первый из этих интегралов вычисляется непосредственно: )1х )' )1х . х — 1 а)гп:Р .) „%:),-т)' '2 ' Ко второму интегралу применим подстановку х — 1 = ».
Тогда ои преобразуется к интегралу 2» — 2 2!», <3 + 2),/3- который раскладывается иа два интеграла 2» 3» / )!» 11+ 2= <3+» ),/3 хг 2 <)1+гг),/3 —,2' Первый из иих вычисляется с помощью подстановки з/3 — »2 = и )!г 1 х/6+ г ~ 1) = — 2/1 — = — — !в „1 С вЂ” П 2/6 2/6 — 1 ~ Возвращаясь к перемеииой х, получаем г '2 2-* 11 = — — !л Л Ч вЂ” 2222'-Р' Для вычисления интеграла 11 = — 2) полагаем = г; тогда Ы» 2 )з+»21 з-»2 з-22 Л 2 '2 '2) — ) 1 = — 1 = — э 2 '1 ~»а 2.-ъ — ' 1 3. Интегрирование иррациональных функций 237 Таким образом, окончательно имеем — Л-с/сгс:з /с гт) — ) 1 = агсша — ' — — 1п — — агс18 +С.
а сс + /Зт 105. С помосцью дробно-линейной подстановки х = вычислить интеграл 1+1 с(х с.* — * + ) '** + ы с ~' М Применяя предложенную подстановку, получаем г + ('" + )11) — (1 + !Но + )31) + (1 + 1) (1 ! 1)г ( +/31)'+(1+1Н +31)+(1+1)' (1+ 1)г но, го/3 — а — 3+2 = О, гоФ+ о+3+ 2 = О. Решая систему, находим о = 1, // = — 1. Тогда — — гзг г 31'+1 х= —, с!х=, х — »+1= (1+1)г' (1 ! 1)г) с1=',,' с '," с с* — * -)) ,/о+з Таким образом, 131 1 31 ! 1) //»+3 / (31г ! 1)~/~5+3' пРименим подстановкУ з/ст + 3 = и. Тогда 2»)2+»/За 1 гз/2+ с//3(1»+3) ~ 2 /2 — »/Зи губ гз/2 — З//З(гг -1-,3) ~ (1+1) 31 (Згг + 1)»/гг + З ,/ (11 Для вычисления пераого из »тих инТегралов 1 с/1 с!и — 2 =2 = — 1а (81»+1),/Гг+ З,/ 8 — зз' 2Л Возвращаясь к переменной х, получаем — 2 » С *)/)-с гЖ'+*+ » = — !а (31»+ 1)~Р+ З,/8 эс -тст Второй интеграл аычисляется с помощг кг подстаноаки с з/ыг»-з ,/г (1 — ) = — — агстб 'с — 2 )1! ~ )1» 1 2;/2» = — 2 = — — сыс13— (Згг ! 1)»//г + 1 ) 8»г -1- 1»/г 1 Окончательно имеем +/»**+*с )~ 1 = — !л »/б ггг-т з з/г (1 — ) Применяя подстановки Эйлера: ) )/ +) с:=+ г*+г,-- ° с)/ С)с.а ° =*.+ "'.--..
» »:**+ + =-/ч*- )о- *)= с — ),-'- следующие интегралы: 106. 1 = Числа и и б определяем так, чтобы коэффициенты при 1 были равны нулю. Следователь- Гл. 3. Неопределенный иитеграл 238 М Здесь а = 1 > О, поэтому гримеиим первую цодсгановку 2 — 1 2=2.(-2 +2 Отсюда х = —, (Сх = " (Сх. Подставив эти значения в интеграл, получим )чгз' (1+2*)2 С 222 + 22+ 2 „ / (1+2 ) Разложение подыитегральной функции ищем в виде 222+22+2 А В С 2(1+2 )' (1+2 )г 1+2 + Для определения неизвестных А, В и С получаем систему 2 = 2В+4С; 2 = А+В+4С; 2 = С,откуда Л=-3; В=-З, С=2. Таким образом, 1= — 3 /' (Сг /' (Сх /' (Ь 3 1 — 3 +2 — =, +-1и з+С, (1+ 22)г / 1+ 22 / 2 2(1+')2) 2 (1+ 22)з ~о'т. М Поскольку С = 1 > О, то, применяя вторую подстановку Эйлера (Сх С' — Сг + 21+ 1 + 2):2 * .) (' - )( * -:- ~) Разлагаем подынтегральную функцию на простейшие дроби: — 22+21+1 А В СС+Р С(С Ц(Сг + Ц С + С 1 + Сг + 1 Приводим цоследнее равенство к общему знаменателю — С + 2С+1 = А(Сз — Сг+ С вЂ” ц+ В(12+ С) +(СС+ Р)(С вЂ” С) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степеиях С: Сз 12 Со О=А+В+С, — 1= — А — С+Р, 2=А+ — Р, 1 = — А.
Отсюдаиаходим А= — 1, В =1, С=О и Р=2. Следовательно, )' ЗС 1 ЗС / ЗС 1= — — + — 2 =1и ) — ( — 2агсСОС+С, / С /С 1 "/Сг+1 Г:и-"э. ° 1ОО. С' 'Озгггтсг ' 1 + зитлтт 3 ' ' " + 1 е + = ( * у ~ ) ( + Е , "*' . " ' "'"' " : З(Х22222 = ~ ( у ~ ) (третья подстановка Эйлера). Имеем — С*- эзгггз Э вЂ” ' (" — ')*' .( *+ * Ззтзз .) (' — 2)(' — ')('+')' Разложеиие подынтегральной фунхции ищем в виде — 21 — 42 Л В С Р Е (С вЂ” 2](С вЂ” 1НС+ Ц (С+ Цз (С+ Ц2 1+ 1 С вЂ” 1 С вЂ” 2' 3+ + + + откуда — 21' — 41 = — А(С вЂ” С)(С вЂ” ц+ В(С вЂ” С)(С' — ц+ С(12 — ЗС+2)(12+21+ ц+ + Р(С вЂ” 2)(С + ЗС + 31+ Ц+ Е(С вЂ” Ц(С + ЗС + ЗС+ Ц.
1 3. Интегрирование иррациональных функций з 12 Полагая последовательно 1 = — 1, 1, 2, находим А = з, В = — и Е = — —. Далее, приравнивая в тождестве коэФфициенты прн 1 н т, получаем систему О = С+ В+ Е; О ю з 3  — С+ В+ 2Е, откуда находим остальные неизвестные: 17 5 С= — —, В= —. 108 ' 18 Таким образом, 1 5 17 3 16 ! = —, о(1+ Цг 18(1+ Ц 1О8 — — 1л!г+ Ц+ — 1а )1 — Ц вЂ” — 1ц)1 — 2/+ С, > 4 27 Интеграл от дифференциального бинома х"'(а + Ьх")»3х, где щ, » и р — рациональные числа, может быть приведен к интегрированию рациональных функций лишь в следующих трех случаях: 1. Пусть р — целое. Полагаем х = Р, где Гà — общий знаменатель дробей 1» и ц. 1»+ 1 » 11 2. Пусть — — целое.
Полагаем а+ Ьх» = З, где ЬЬ вЂ” знаменатель дроби р. ц »1+ 1 -» М 3. Пусть + р — целое. Применим подстановку»х + Ь = 1, где ЬЬ вЂ” знаменатель дроби » р. если» = 1, то зти случаи зквввалелтны следующим: Ц р — целое; 2) 1» — целое; 3) щ+ р— целое. Найти следунэщне интегралы: 102. Г /*'~*'2. М Имеем прн х > О, а также при х < -1 1 ь = Г',72 р " 1* = Г" .* з-':; з ь 2*. Здесь и = — 1, т = 2 н — ' — целое. Поэтому, полагая х + 1 = 1, получим Г е! г = -2Гз — 271, гДе Г» = / г ' „, и = 3, 4. .1 112-1Р » — 1ы Для вычисления последнего интеграла найдем рекуррентную формулу. Пусть оФО.
41 (12 к2)» ' Интегрируя по частям Г» 1, имеем 172 Г 1= = — 2(п — ц (12 ег) — 1 (12 аг) (гг — аг)~ -1 з ',( (П вЂ” аг)" (12 зг) — — 2(п — ЦГ» 1 + 2(п — Це Г», г (12 „2) -1 откуда 2» — 3 Г» = 2(к — Цаг(12 — иг)» ' 2(ц — Цаг Последовательно применяя эту формулу (прн а = Ц, получаем 1 Г= гГз — г ( —,, — -'Гз| 6(12 — Цз 6 ) 1 ( 3(12 Цз 3 (х4(гг Цг 1 1 — — Гз = 3(Р— Цз 3 ' 4 / 3(22 Цз 12(П Цг+4 22(12 Ц 2 1 ~1 — 1~ — + — — — 1п ~ — ~+С. 3(1' — Цз 1г(Р— Цг 8(г — Ц И ~1+1~ 240 Гл.
3. Неопределенный интеграл Возвращаясь к переменной х, окончательно имеем з — 8хг+2х — 3 1 Я+х »+1 24 8 /7,) .С (1 + :/х)2 м Здесь р = — 2, Применял первую подстановку х = с, получаем б 4»г+ 3 (1 ! »2)2 ) / 4» / »2 4» — 4» +18» — 18 / — 6 / / ! ! »2 / (!+»2)2' — зх = 6/ = 6 / ~С вЂ” 2» + 3 (!+ тз/ — )г / (1+»2)г / ( Поскольку =-!/ ( »4» 1 / / ! ! С + — агс»8 с, (!+Сг)2 г С !1+С / г(1+»2) г то окончательно имеем зс б 1 = —,Сз — 4»' +18»+ — 21агс»8»+С, » = х . > 3 1+ С2 хЫх / узу 2 1= / ' ' =з (с' — !)'4»=-с' — гс'+зс+с, ',/!+ хг з з где С = з/7~ з/хг. М 112.
/ (/з -* 3 . М Здесь пз = —, п = ', !з = — и "'~ +р = 1. Положим Зх г — 1 = Сз. Тогда Поскольку (см. пример 73) ~сс 1 (с+ 1) 1 2» — 1 = — !в + — ыс»8— Сз+ 1 6 С2 — С+ ! Л т/;.! то окончательно имеем зс ! (с + !)' ,/з гс — ! — — 1в — — атс»8 +С, (»' + 1) 4 С' — С + 1 2 т/з згз, з где С = -'С вЂ” '- — '-"-, 0 < х < з/3, х < — х/3.
» Упражнения для самостоятельной работы Найти интегралы от иррациональных Функций: +2»з С з- +г! г+*+» 106. ) * ' йх. 107. ) "' . 108. 1 ~~~ з»х. 2 М В нашем случае оо = 1, и = -„р = — — и ' = 3. Положим 1+ хз = С . Тогда г г +з — 2 Гл. 3. Неопределенный интеграл 242 118. / созхъ~ягпг х з . а М Полагая г = япх, х ~ —, имеем =/ г(х / гг (яп х) г соа хъгяп х (1 — 8!п х)(Бгп х)г 1)г /З + — агсгб — 4 гг +1+ 1 21 + 1 1 1п ( + ) + — агсгд (1+1) (г +г+Ц ~ГЗ, Л~ +, =,11п(Н вЂ” 1+1)(г 1) + 2 интегралов: и ) 2. откуда 1 1„= — ((я ("г1(8(ох) япх б) К г ООБ~~ х сОБ 4 х откуда — 1)Х„-г — соахяп" х), гг = 3, 4, ....
;пг — (о+1) г(х =, — (и+ 1)К„+8+ (и+ 1)КО, / СОБ + Х СОБ ~ Х вЂ” К, ггбКО, хф — +йт, 78 62. > (и+1)соз"+'х в+1 2 С помощью формул: 1 1. яв и Бгп гг = -(соа(п — Ф) — соз(п+ (3)); 2 1 П. соап сог(3 = -(соа(п — гу) + соз(п+ гз)); 2 1 П1. Бгп псОБ д = — (Бгп(п — л) + Бгп(п+ гз)) 2 найти интегралы; х, х 120. ~ 81п х Ип — Ип — Зх. 2 3 м Имеем з х. х 1 Г7 х 381.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
