И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Имеем Рнс. 61 ~ ~ л* эт сов ооо = 16а Так как сов р ( 1, то равновесие возможно только для 1 ( 4а; при 1 > 4а равновесие невозможно. В Глава 3 Неопределенный интеграл ~ 1. Простейшие неопределенные интегралы 1.1. Определение неопределенного интеграла. Определение. Функция Г: Х К, Х С К, называется первообрааиой или примитивной функиии ь: Х !Е, если функция Г непрерывна на Х и имеепь производную, равную ь (х) во зеех то'всат знпвервала Х, ан иеключениевь ечептой его части. Если функция Г имеет производную, равную у(х) в каждой точке интервала Х, то функция Г называется точной перваобраанай илн ваочной примитивной функции ь.
Совокупность всех первообразных функции у на интервале Х называется неопределенным иниьегралом от функции у и обозначается символом ) )(х) в1Х. Если à — любая перво- образная функции 1 на интервале Л, то Дх) йх = Г(х) + С, где С вЂ” произвольная постоянная. 1.2. Основные свойства неопределенного интеграла а) в! Ц Г(х)в1х) = 1(х) йх; б) )' в!Г(х) = Г(х) + С; в) ( ЛДХ) Нх = Л ( у(х) ах, Л б мЬ(0); г) ((((х) + у(х)) ь!х = ( ((х) Их+ ( д(х)в!Х, 1.3. таблица иростейших интегралов: +1 ( х" Ых = —, + С, ьь Ьв — 1.
в ) агськ х + С, 11+а '( — агссгк х + С.. 3 1 ) зхсз1пх+ С, — зхссов х + С. (а в1Х=,— +С, а)0, аф1; (в икте*+С. ( сов х вьх = з1п х + С. сава в тих+ С' 'ч ( сЬ ха!х = айх+ С. — = ьЬХ+ С. 1. /ах=к+С. 1!1. / — "'" = Ьь)х)+С. П 1Н Ч. ) —,,"', =-'! ~Я~+С ЧП. ('~-=! )х+ /х'ЪЦ+С.
Ч! ЧПП Х1Ч (оь(г) р'(!)йг= Го у(т)+С. !Х. ( ьйпхь1х = — совх+ С. Х, Х1. (-Ф-=-еьд +С. ХП. ЯП Х1П. ( вЬ х в!х = сЬ х + С. ХЧ, )" „",а„— — -сЬ х+ С. ХЧ1 1.4. Основные методы интегрирования. а) Метод введения нового аргумента. Если )у(х) ь!х = Г(х)+С, то ) 1(и) йи = Г(и)+С. б) Метод подстановки. Если ) у(х) в!х = Г(х) + С, х б Х, то, полагая х=ьа(Г), ав:У Х, где вьа — непрерывная Функция вместе со своей производной у, получим Гл. 3. Неопределеииый интеграл 206 в) Метод интегрирования по частям. Если и и э — дифференцируемые функции и для функции ио' существует первообраэная, то и оЬ = ив — ~ э г1 и.
1. Доказать, чго если / У(х) 4х = Е(х) + С, то )(ах + 6) 4х = -Г(ах + 6) + С, а уь О. 1 ч Имеем )(ах + 6) 4х = -у(ах + 6) 4(ах + 6), 1 а поэтому, применяя метод введеиия нового аргумента, получаем Х(ах+ 6) Нх = — ~ Цах+ 6) 4(ах + 6) = — ~ 1(и) Ыи = — Е(и) + С, 1 а / а / а где и = ах + 6. Например, пользуясь таблицей интегралов, находим: та/ у га/ — — 1л ~ — ~+ С, м. (*)г 1 2а х+а о Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие иитегралы: 2 Ых 1+ агах и Имеем Ых 1+ э1л х я-о х ~ — — + 26я, 2 6 б Эг.
М х Ых м Поскольку то, согласно примеру 1, хэ — 2 4,( (хо)г — (ъ/2)г ВЯ ~э~+2( 4 Ых х~гР+1' / ~(х / а( ) х = 1л — + ,/х Йа~ -,/ ф —.~-г —,—,— — а 1""-'"=У *) г ~ 1 +Со = 1п (х+~/хг ~ аг(+С, С = Со-1л(а(; 11. Простейшие неопределенные интегралы 207 М Имеем при х ф О (, ) Н хз/ху+ 1 ~ ~ / поэтому 1 1 , 1+з/х~+1 Й вЂ” + 1+ — +С= — 1а + + +С н //х хз/хз: 1' М Поскольку то '- (й) /'х з (хз + 1)Р ч Пользуясь тем, что ~х( = хэлл х, имеем з '", =-'— '~( ) '"(" )= (хз+ 1)з ~х~з (1+ — ')з — 2 (1+ — ) + С = +С.
При решении на х было наложено ограничение х ф О. Однако непосредственной провер1 кой устанавливаем, что — = есть первообразная функции — зу з для всех х к И. Ь „/,, 3 / з+/1з з 7 /зх /к/х(1 + х) и Иэ неравенства х(1+ х) > О находим область определения Х = (х: х > О з/ х ( -1) подынтегральной функции. Имеем при х > Π— -~/./,О+Аз г/ ..С.
/,— — ! .— ='! / /* / /(/е ,/и†, ./ 1 ;.Лз г = ' 1 , /, ./* Аналогично при 1 + х < О = — 2 = -2 1л(з//-х — 1+ ьг — х) + С. С//+ / / 4- — с-к / //Г/,-/-чЗ* Или, объединив оба решения, получим = 2эдл х!и ( „/~х)+ 1/Гх+ Ц) + С, х И ( — 1, О). н з/х(1 + х) Гл. 3. Неопределенный интеграл 208 ~0. яв х соз х((х (( 'Изз, +ьз г ( и явхсозх((х 1 ) (1(азз1в а+Ьзсоз~х) ,(*'.*'+е ы ° "*-е1 да(*т(ъи 1 аз зщ~ х + Ьз созз х + С, аз Ьз а фЬ.м я Имеем з(их 2з(в соз 218 поэтому —,з =1в~тд — ~+С, хайя, ЙЕЖ.м 4т / 118-, 1 х1 ях .) Ьд-, ~ 2~ ж ~ — "*. я Аналогично предыдущему примеру находим 1 — 'я~' '; = ~ (- -)~ — =!в~1,~-+ ~~+С, х~ +Ьт, Ь.Е..
.х /1 зщ( +,,) ~ 1Х» 2)~ ' г ~з, ~ —",*. ° й Преобразовав подынтегральное выражение, при х ~ 0 получим / зЬх / 2з1(-'с1('- / 211(лс1(з — * / $1(- ~ 2~ ,/ т/с1( 2х ° Очевидно, ф(ети ( — (1х = — 1 ' = — 1в( /2 с1( х + ъ/сй 2х) + С. м з1( х сЬ х (1х 15. ) 8. 1е/х(1 — х) я Подынтегральная функция определена при 0 < х < 1, позтому / ((х ) (1х ) Ы х =2 = агсзщз/х+С (з ч"И= ( 1 "= ~ е(:ТЛ* 9 (гх т/Г+ е~ 1 Имеем (!х ) (1х 1 й(е ') ъ/1+вяз ./ е'~в те+1,/ т/е '*+1 ю — ! в(з * -1- ~,/е — з* + 1) + С = х — 1в(1 + („/1 + ез*) + С. > 11. Простейшие неопределенные нитетралы 209 ° Имеем зЬхсЬХЫХ зй 2х (1Х ь1(сЬ 2х) ХЬ х сЬ х Ых сеь' ь гьь сг,/'Ръ.+ ° 2 2 Тогда зй х сй х (1Х 1(с1 гх) 2 ./ сйз х ьь рсо ь*ьь) ьс( 1 1п с ьь7 ~ст 1 /сЬ2х Ф 4 = — 1л — + сЬ х+ХЬ х +С.
> 22/2 (х ь/г (1х сйзхх/фРх ' М Очевидно (1х Г 2 з г 2Ь зх(1(сйх) = Зх/Ьх+ С, м сЬ'х '/2Ьзх Вычислить следующие интегралы: и, (Л=-.гыь. м Поскольку Л: о=с('*-~ )'=) * — ' )=( -ь" ) ( * — '*), ь(*) =,) т: ' гь 2*, — (з!ах+созх)+ С 1, — — 2л (~ х < — — )г, з1ох+созх+Сз, ьг ~ (х < -(зьв х + соз х) + Сь, — ~< х < — + л, Е(х) = ( — 1)"(гйвх+созх)+ С, —, + (гь — 1)(г ~< х < — + гьл, Поскольку первообразная непрерывна, то должно выполняться равенство 1 ( — + йл) = 1 ( — + Ьл — О), й Е Ж, т. е.
( — 1)ь+'(зьв хь+созхь)+Сь+1 = !пп ( — 1)1(ывх+созх)+Сь, где хь = -"+ Ьгь й Е Ж *-*ь -с Отсюда приходим к равенству — (/2 + С).+1 = ььг22+ Сю При А = 0 находим Сь = 22/2+ Со) далее, при й = 1 получаем Сз = 2ь(2+ Сь = 2 22/22+ Со, С помощью метода математической индукции устанавливаем, что С„ = 2 /2а + С, где С = Со — произвольная постоянная. Наконец, преобразуя неравенство - + (в — Цьг < х < — + и г канду х +гг н « л+1, находим, *(то Таким образом, Гх — -+л = ( — 1) 1 2 (зьвх+созх)+22/2 ~ + С.
М 1/1- ив 2х(1х 18. нвь х+ 2 созз х Гл. 3. Неопределеииый интеграл 210 м Преобразуя подыитегральное выражение, находим / ггх / ггх 1 1бх 1(х) = = — агссд — + С„, 1 в!вз х + 2 совз х 1 (102х + 2) сове х .„/2 згг2 где ил — — С х С - + ил, и б Ж. Из непрерывности первообразиой следует 1 ( —, + ил — 0) = 1 ( —, + ил+ 0), и б Уг т. е гг л — +С =- — +С„ 2тгг2 2ггг2 Отсюда находим С„+1 = —,+ С„или С„= — "+С, где С = Св. Посколысу И < 2 " < и+1, ггз и б Б, то и = ~ —,].
Следовательно, 2 1 ( — + ггл) = 1пп 1(х) 2 — + 2 х~ — +ггл; 2 является точной первообразной на К. М 19. 2~*, й . м Из равенства 1 х — 1 2 — йх = хг+1 хз+ -1 л'(х+ -') (х+ -) — 2 следует, что х' — 1 ~ й(х+ —,') 1 х+ —.' — Л 1 2 д' 1в, +С= — 1и +С. в + 1 .1 (х+ -') — 2 2гггйг х+ — + чг2 22422 хз+ хзгг21+ 1 х4+1 М Имеем при х ф 0 х'+1 1+-.', Н(х--') йх= в, ах= х4.11 2+ 1 ( 1)2 Поэтому если хсО, если х > О. 1(х) = 1 вх = — атссд + — вдох+С, х ~ О, 1(0) = 1пп 1(х). в 1 х2 + 1 1 х2 — 1 гг ,/ хг+ 1 ч'2 хггг2 24/2 *-О 21. / — „, йх, Л б И, х > 1.
1 [х] ~ Рассмотрим случай, когда Л ~ О. Пусть [х) = и, тогда я С х < и + 1, и для сужения первообразной хг 1(х) на полуинтервалы [и, и+1[, и б И, получаем ийх и 1(х) = — = — — + С„. 1 х "+' Лх" (2) Согласно определению, лервообразная должна быть непрерывной, следовательно, 1( — 0) = 1(+0), т. е, + С 1 = — — + Сг. Если найдем С 1 — — — + С, Сг = — "+ С, где С' 2ггз 2ггз — произвольная постояниая, и положим 1(0) = С, то условие 1( — 0) = 1(+0) = 1(0) будет выполиенпым, а определяемый интеграл запишется в виде 211 3 1.
Простейшие неопределенные интегралы В силу непрерывности первообразной 1(о) = 1(гь — 0), т. е. — ь"т + С = — Я + С ь или С„= — „+ С ь, и Е !ь(. Отсюда последовательно находим Л ь Сь = ь + Сэ = †„ + С, где Со = С, ь ь С:, =-„,;+С, = Т+-„,;+С, ь ь ь (3)' Поскольку я = [х], то иэ (2) и (3) окончательно находим [х] [х] 1 ь' — ь!х = — — + — ~1+ — -у — + ... + — ~ + С. хь+ь Лх" Л [ 2" Зь ' ' [х]" у] Предположим теперь, что Л = О.
Тогда для х Е [и, о+ 1[, в Е Йь получим 1(х) = — йх = о1л х + С . Поскольку первообразиая непрерывна, то справедливо равенство 1(в) = 1(о — 0). Отсюда, аналогично рассмотренному выше случаю, находим С = — !в 2 — 1в 3 — ... — 1в и+ С. А так как о = [х], то — ь1х = [х]!ах — 1в 2 — 1и 3 — ... — 1п[х]+ С = [х]1лх — !п([х]!) + С. [х] х Таким образом, — Цг!г+ л (1+ гт+ эт+ ''' + яг) +С, если ~ О' [ [х]1вх — 1п([х]!)+ С, если Л = О. 11айденная первообраэная не является точной первообразной. Действительно, точная первообраэная имеет в каждой точке области существования производную, равную подынтегральной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
