И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 43
Текст из файла (страница 43)
5. Гра<)>ик представлен на рис. 24. Рис. 24 Рис, 25 Лг. у= 2 + соз г. ' Л 1. Функция определена и непрерывна при всех х; периодична с периодом 2к; имеет центр симметрии — — начало координат; у = О при х = йт (й = О, ж1, ж2,...). Очевидно, что збл у = збл зш х. 2. Лсимптот нет. 1! ринимая во внимание периодичность, дальнейшее исследование проводим на сегменте (О, 2т). 3.
По знакам первой производной еслиО~(х< з 1+ 2 сов х у (2 + соз х ) 2 2 4 если — ( х ( — ' з з ! <0 если — < х (ь 2!г 4'! >О 2, 4 х < г ' з 4 их! з < х < 2т функция возрастает, при — < х <— 2 4! имеет соответственно максимум и минимум, равные С < О, если 0 < х < к; >О, еслит<х<2>г, о 2 Б!а х (соз х — 1) у (2 + соз х) 2 то при 0 < г < к график выпуклый вверх, точка перегиба. 5. График изображен на рис. 25. 173.
у =2ч>"+' <"' '. заключаем, что прн 0 ~( 2 убывает, а при х! ,з 0,58 и — -0,53 ,1 4. Поскольку при >г < х < 2>г — вниз; причем х! = л, у! = 0— 190 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной М 1. Функция существует, непрерывна и положительна при всех х > 1 и при х < — 1; причем у > 1 при этих значениях х; график симметричен относительно оси Оу; у( — 1 — О) = у(1 ,!) 2,/г 2. Поскольку Бш у = 1, то у = ! — асимптота при х — ~ оо.
3. Имеем 1 >О, еслих < — 1; у =ху !п2 т/хг+ 1 э/хг — 1/ < О, если х > 1, следовательно, Функция при х < -1 возрастает, при х > 1 — убывает, а в кочках х = ж1 имеет краевой максимум, равный 2 (функция Дх), а < х < о (11 < х < Ь) имеет в точке /г а (Ь) краевой максимум, если существует полуокрестность [а, Ь[С [л, о[ ()Ь, !![С)гу, Ь)) такая, что Х(а) > /(х) (/"(Ь) > Дх)) для всех х из этой полуокрестности.
Аналогично определяется краевой минимум). 4. Из очевидного неравенства о 1 1 ( у = у1п2 — +х !п2 /хг+1 / г ! ! /хТ+! ,/хг: 1/ ! ~(хг !)з /(хг+ «з 1 1 х х с > у!п2 г ,/ г ! ~(х.г !)з т/( г+!)з/г 1 1 =у á + 1п2>0 /( г+!)г /(, г 1)з ) следует, что график выпуклый вниз. 5. График изображен на рис. 26. Рнс. 27 Рис. 20 1 174.
у=**. М 1. Функция определена, непрерывна (как суперпозиция элементарных функций у г 1 — Мэ х = е ) и положительна при х > О. и 2, 1пп у = !пп е = 1, поэтому у = 1 — асимптота при х -«+со. 3. Из неравенств >О, еслиО<х<е; у = — (1 — !их) хг < О, если е < х <+оэ, вытекает, что при 0 < х < е функция возрастает, при е < х < +со — убывает, а при х = е 1 имеет максимум, равный е; кроме того, у(+0) = О. 4. Исследование точек перегиба и направления выпуклости опускаем.
5. График изображен на рис. 2!. 175. У=(!+*) ! 11. Построение графиков функций по ларактерным точкам 191 ° 1. Функция определена при х > — 1; х ф 0; положительна и непрерывна в этой области. э Поскольку йш(1+ х). = с, то х = 0 — точка устранимого разрыва, ь э 2. Из соотношений йш у = +со; 1пп у = 1 вытекасг, что х = — 1 асимптота --э+э графика функции при х -1+ О, а у = 1 — при г +со. 3. Производная 1 1ээ(1+ х) г -1 < х < О, 0 < х < +со х(1+ х) хг ) ' отрицательна. Действительно, полагая в неравенстве примера 90, г) — = х, имеем иеравен- ь ство — < 1л(1+ х) < х (х > 0), 1+к которое справедливо и при — 1 < х < О.
Пользуясь этим неравенством, получаем 1 1а(1+х)т) ( У =У < у = О. х(14 х) хг гэ э х(1+ х) хг + хагэ Таким образом, функция убывает при всех х из области определения. 4. Покажем, что вторал производная а 1 !п(1+г) 1 1 ( ) 2х'+Зх положительна. Г. этой целью рассмотрим функцию зх+ Зхг сэ(х) = 21а(1+ х)— (1 1. г)г Поскольку ьэ'(х) = — -г > О, -1 < х < +со и эа(0) = О, то ьэ(х) < О, 1 О х если — 1 < х < 0 и Ьэ(х) > О, если 0 < х < +со. Тогда — эээ(х) > 0 Рис. 29 при — 1 < х < О, 0 < г < +со, лри этик же значениях г, производная уээ > О, Поэтому график функции выпуклый вниз.
б. Исходя из этик данных, строим график (рис. 28). М 176. у = х (1+ -) (х > О). Л 1. Функция определена, непрерывна и положительна при всех х > 0; у(+0) 1йп г ехр (х!ээ (1 + — ) ) = О. +о 2. Имеется наклонная асимптота у = ох + 1, где у г' 11' 1пп — = 1пп (1+ — ) = с; х — ~. х 6 = 1пп (у — сх) = 1пп х (ехр) х!и (1+ — ) ( — с) = !пп х (ехр(х ( — — 1эгас12х +о ( — ))) — с) = Йп с ( — — +э(1)) = --.
3. Имеем Отсюда следует, что функция возрастает при х > О. 4. Вторая производная 1 положительна. Чтобы в этом убедиться, введем новую переменную 1 — — и применим теорему примера 104, полагая там Х(1)=((1+1)! (1+1)+Г'); Р(Г)=!'+31'+!'; Го=О, 192 Гл. 2. ДиФференциальное исчисление функций одной переменной Тогда все условия теоремы 104 будут выполнены. Следовательно, 9" > 0 при х > 0 и график функции прн этих значениях выпуклый вниз. 5. График функции изображен на рис. 29. М 1 У г' 1+ха М 1. Функция определена, непрерывна и положительна при всех значениях х, эа исключением точек х = й1, в которых Функция терпит разрыв, причем д( — ! — О) =О; 9( — 1+О) =+,; 9(1 — 0) = +со; у(1 + 0) = О.
График функции симметричен относительно оси 09. 2. Имеются асимптоты х = — 1 прн х -1+ 0 и х = 1 при х 1 — 0; 9=0 при х оо. 3. Находим производную Рвс. 29 з — г Зхэгг гг (1+ хг)' (1 — ')' Поскольку у > 0 прн — оо < х < — г/3; 0 < х < 1; 1 < х < т/3, то функция при этих значениях х возрастает; далее, р' < 0 при — т/3 < х < -1; — 1 < х < 0; г/3 < х < +со, следовательно, в этик интервалах функция убывает; в точке х = 0 имеется минимум, равный в, а в точках х = т/3, х = -ь/3 достлгается максимум, равный — 0 15.
4. Вычисляя вторую производную Зхв (3 — хг) + хг (1 — хг) (9 -1- хг + ухв хв) 9 29 (1 — хг) (1 + хг) г убеждаемся, что рл > 0 при )г[ .; 1. Далее, у" (г/1,1) . О; уо(,/3) О и у (г) +О нри х +ос. Следовательно, в каждом из интервалов )1, г/3[, )г/3, +со[, а в силу четности функции и в каждом из интервалов ] — оо, — т/3[, ) — г/3, — 1[ имеется по меньшей мере по одной точке перегиба.
5. График изображен на рис. ЗО. М Построить кривые, заданные в параметрической Форме: 178. х =21-гг у Зг гэ м 1. Функции х(г) и 9(г) определены и непрерывны при -оо < г < +оо; причем при этик значениях Г: — со < х < 1; — оо < у <+оо. Следовательно, Функция у = у(х) (как Функция переменного х) определена при — со < х < 1. 2. Поскольку х(г) —, у(1) жвю, -"(гг — жсо при П! г жсо, то график функции асимптот не имеет. 3. Производная в!у 3 1 — гг Ж 2 1 — Г Рис.
ЗО при П = -1 (хг = — 3) обращается в нуль, а при гг = 1 (хг = 1) имеет устранимый разрыв, причем йпг — = 3, вгу г гг2х 4. Вторая производная ,Р„З (1 — г')' !х 4 (1 — Г) имеет разрыв в точке ! = 1. Заполним таблицу; 133 т 11. Построение графиков функций по характерным точкам Из таблицы следует, что при — оо < х < — 3 функция у(х) убывает; при — 3 < х < 1— возрастает; при х = -3 имеет минимум, равный — 2, а при х = 1 — максимум, равный 2. Если х возрастает от — со до 1, то график функции у = у(х) сохраняет выпуклость, направленную вниз; если х убывает от 1 до — оо, то выпуклость направлена вверх; (1, 2)— точка перегиба. Ь.
Пользуясь полученными данными, строим график (рис. 31). е 1з 179. х= —, у=— т — 1' гз — 1 и Функция х(Г) определена и непрерывна при — оо < т < 1; 1 < т < +со, причем х = 1— вертикальная асимптота при 1 1, из равенства х(1) = 1+ 1+ —,, следует, что х = г+ 1 —, 1 наклонная асимптота. Находим производную х'(т) = -~=,)ы Очевидно, что на интервалах ] — оо, О[, )2, +ос[ функция х(т) возрастает, а иа интервалах ]О, 1[, ]1, 2[ — убывает; хмзх ж О при г = О; хз„о — — 4 при т = 2. График функции х(т) изображен на рис. 32.
Рис. 33 Ри .31 Рис. 32 Функция у(т) определена и непрерывна при всех значениях 1, кроме М = ж1; причем 1з+1 1 = -1 и Г = 1 — асимптоты. Поскольку у (1) = — —, < О, то функция у(1) убывает при (ы ~)2 всех 1 из области определения (рис. 33). Из зтих исследований вытекает, что функция у = у(х) определена при -со < х 4 О; 4 ( х < +со. Посколысу х(Г) жоо, у(1) +О при т — жоо, х(т) — — —, у(Г) - жоо при 1 -1 ж О, то у = О и х = — - — асимптоты графика функции у = у(х). Кроме того, Л 1 1 з з у — — — — при Г 1, следовательно, у = — — — — наклонная асимптота. уг1аходим производные тз + 1 1з 2(т 1)з (гз + 31 + 1) 1(1 2)(1+ 1)з',1хз тз(Г 2)з(1+ 1)з откуда получаем, что у"з —— О прн тз — 0,32; Г~ —— 1; причем х(гз) — О,ОТ; у(гз) О,ЗТ.
Сначала построим графики функции на отдельных интервалах. Если — со < 1 < — 1, та — оо < х < — 1; — со < у < О; у'„< О; у" < О (рис. 34). Если — 1 < Г ( О, то — — < х ( О; О ( У < +со. ВтоРал пРоизвоДнал У'з ) О пРи — 1 < Г < Го 194 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной и у з < 0 при Гз < 1 < 0; следовательно, Yрн Г = гз получаем точку перегиба (хз, уа), где хе -0,07; уз 0,37 (рис.
35). Рис. 35 Рнс. 35 Рнс. 34 Рнс. 37 Рис. Зв Пусть 0 < Г < 1. Тогда -оо < х < О, — оо < д < О, д' > О, у„", > 0 (рис. 36). Если 1<1(2,то 4 <х <+ос, — <У<+со, У' >О, д~з <О (Рис 37). Наконец если 2(1<+со, то х>4; 0<9< -; у~ <0; у~~г >О (рнс.38). Окончательныи график изображен на рис. 39. ~ь 180. х=т+е ', у=21+с з'. 1 Функции х(г) и у(г) определены и непрерывны прн всех е Из определения аснмптоты следует, что х = 1, у = 21 — асимптоты при т -~ +ос соответственно графиков функций х(1) и у(Г).
Имеем х'(1) = 1 — е '; х'(О) = 0; хо(г) = е ' > 0 при всех ц у'(1) = 2 (1 — е"з'), у'(0) = 0; у"(1) = 4е з' > 0 при всех и Таким образом, х„„„= 1 при 1 = О; у„„„= 1 при Г = О. Графики функций х(1) и у(Г) выпуклы вниз (рнс. 40, а, 5). Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
