И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 39
Текст из файла (страница 39)
-в Ага)гх 1 2 -о зз 2 ь о Ззг, б. 1.1 (здесь введено обозначение и(х) = ь11+ хг Агв!1 х); й ( — "-~-'- 3= 1шг = йп 1 йпг ( ) =е, 1п(1+ з) — х Х2 1 = 1пп 1+ . !1+в!г -о 2х в о 2 2 Итак, окончательно имеем Аб 1 1 е В о 3 !Ил А(х) = ь-о е В е 2 122. йп ~ — — — ).
'! 1 «о х е* — 1 М Неопределенность со — оо приводим к виду —, получим а 1 1 о* — 1 — х х еь — 1 х(е — 1) и, дважды применив правило Лопиталя, имеем е — 1 — х е* — 1 е 1 !пп = йш = !ип о х(е* — 1) о оз — 1+ хе* . о еь(2+ х) 2 при х О. ° Поскольку йш А(о) = ( !пп ац(х)), где а,з(х) — элементы функциональной матрицы Ьь А(х), то вычисляем предел данной матрицы поэлементно. Имеем 1 *1ь /вйз хЬ 2 1п — ' !!ш !Ь вЂ” ) = е', где в = !пп -ОЬ В ) О 3 г Применяем правило Лопиталл 120 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 123.
и! = 1пп ( ) о м Неопределенность 1 приводим к виду ео, получаем ( ")"" ("( — ""))--' 2 и, применяя правило Лопиталя, имеем. !л ('+" ) -о г!<х , -о с!< гх 2 ! Таким. образом, о< = ег 124. Исследовать на днфференцнруемость в точке х = 0 функцию — — — солих фО; < 1 1 ~<х~ 1 если х = О. М Исследовать на дифференцируемасть функции в точке х = 0 означает установить сун<ествование коне <ного предела 1 1 1 1'(0) = Лго (1) Предел (1) будем искать по правилу Лопиталя, длл чего мы должны убедиться, что числитель в (1) стремится к нулю при х О. Проверка с применением правила Лопиталя показывает, что ('1 1 Ц 2г — 2 — х — ге е — 1 — хе'" 1, — хе* йп! ! — — —,— 1 = !ип, = 1ип = — !и» = О.
о (х е* — 1 2) * о 2х(е* — 1) . о 2(ео(1-1-х) — 1) 2 о-о 2е + хе* Итак, в формуле (1) имеем неопределенность вида —. Применяя к (1) правило Лопиталя о о трижды, получаем 1 1 ! 2е — 2 — х — .се, 2е — 1 — е* — хе 1пп " ' =!!ш =!ип -о х о 2хг(е. — 1) о 4х(е* — 1) +2хге -хе' . — е (к+1) 1, 1 = !ив г — — у'(0) = — —.
м *-о 4(с* — 1)+ег(8х+2хг) * о (12+ 12х+2хг)е" 12' 12 1<оо5. Найти асимптоту кривой 1+ у=, х>0. (1+ х) х 1 1 й= !ио !ип *-+ (1+ х)" о-+,ю (1+ -!) е' — — — — !ип х(е — (1+-) ) (1 + — ') е/ ег *-+ х 1+ 6= Йп, — — = !ив х о 4 1(1+х)* е < -+ 1 1 ~ е — (1-)-!)! = — !!и! о ~ 1 ' г е2< Фо = — !пп (1+ !)< ~ — — — !п(1+ !) г(г+ 1) гг 1, à — (1+ Г) 1п(1+ !) 1, — 1п(1+ !) 1 ьр <-+о !2(1+ !) ег <-+о 2Г+ 3!2 '2е Таким образом, получаем уравнение асимптоты у = — + —. Обоснование законности 1 6 2о многократного использования правила Лопиталя мы предоставляем читателю.
в м Уравнение наклонной асимптоты имеет вид у = ах+ 6, Использовав уравнение кривой, находим л и 6: $8. раскрытие неопределенностей 126, Возможно лн применение правила Лопитал» к пределу г ! х яи— 1ип —.* ? о япх х зш — х (' ц г 1 йш, * = Бгв —, 1ип хзш — ) = О. о япх * ояпх о ( х/ 127. Найти ез — 1 1 4 хг — 1ип / хсозх (Зх о(е! ~ зЬх о ° Данные определители как функции переменной х удовлетворяют всем условиям правила Лопиталя в некоторой окрестности точки х = О.
Поэтому, применяя правило, получаем х япх о* 2х хсозх !Зх — 1. ° де! + Не! -= йш 1 сов х — хо!их о(е! зЬх г + о(е! -г соз х +1 о* Упражнения дпя самостоятельной работы Найти следующие пределы: 6 6 огсо! (г-оо)--- г о .",у г гоо г ! ( -!)» *г оозг — ( г 2(о ЗОЗ. 1ип ( + — + ю, ь !оотетьн — гхт +т-~огстгхгт!.
+ 30 . Нш (*)„,. *-+о ("Ко) 305. Ыш О о) аз < Функции (: х о х яв — ' н д; х ! япхо х Е К'((О), определены н непрерьгвны в окрестности точки х = О (исключая точку х = О); их производные У': х ! 2хяп — — соз — и ! ! ! д': х ! созх одновременно существуют при х и О; выражение (у'(х)) + (д'(х)) = соз х+ соз —, — 2х яп — + 4х яп - ~ О при х ф О и г! г г ° з ! у'(х) 2х яв — — соз— Йп —, = Нш (1) о д'(х) о сох х Поскольку 1ип (2хяв — ) (созх) ! = О, а 1ии (соз-) (созх) ! не существует, то предел (1) о о также не существует.
Следовательно, применение правила Лопиталя в данном примере невозможно. > Отметим, что 122 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 308. Йп ып (х агсгд 120 И ОМ 2 .....( à — '.)à — "):*"* О 311. !ип О 315. йпг ыв (1 — х ). 316. 1пп Гк (1 — 2*). О О +О +О 2 2 22 1 ~ 1, ' 'Ш~=.~:.'*Г +О -1 2 О, 2 2 325.
йш -О х х ... х 2 2 2 +1 ХВ1ПХ Х 2 + х Гдх 327. !1п1 1 -О 326. йгп *-О О-)-1 2 — 1 328. Пусть функции у и д в некоторои окрестности У точки О, за исключением самой точки а, имеют производные до (и+1) — го порядка включительно. Пусть, далее, выполняются условия: 1) 1ип у(х) = йгп у'(х) = ... = йш ур')(х) = 0; 2 О 2) йпг д(х) = !ив д'(х) = ... = йш д!О)(х) = 0; 3) Ч йш —;„-++,1(-) — — 1, 1 Е К: 2 а Оо" ы)С*) 4) производная д!О+')(х) ф 0 в окрестности У.
Тогда у(х) . у1"+')(х) 1ш1 — = 1ш д(х) дШ+')(х) Доказать зто. 329. Пусть функции У и д в некоторой окрестности У точки а, за исключением самой точки а, имеют производные до (я+1) — го порядка включительно. Пусть, далее, выполняются условия: 1) йш Г(х) = йш Уч(х) = ... = )ип )) )(х) = +со; 2 2 2) Бш д(х) = йш д'(х) = ... = 1ип д!")(х) = +со; 3) 3 1пп — ~.„-тту(-*) = 1, ! Е К; 2 а 1 ! ) ) 4) производная д(О+')(х) ~ 0 в окрестности П.
Тогда ~1-")(х) 1йп — = 1гпг „ д(х) дрем)(х) Доказать это. 6 9. Формула Тейлора ~ 9. Формула Тейлора 173 9.1. Формула Тейлора на промежутке. Пусть 1 !]а, 6[ — И и ау~ О+И на ]а, 6[. Тогда Ох, ХО Е ]а, 6[»» !Гр > О Лд таКое, чт»» справедлива следующая формула; 1(х) = ((ХО) + 1' (ха)(х — хо) + ... +, (х — хо) + ЯОЕ»(х), ,('" (х.) где Н„„!О-1*=-à — ОО=-'С:"..'./("+ИО1:,.61, -„О, ! !, (1) (остаточный член в форме Шлемильха — Роша). Из (1) при р = и+ 1 получаем остаточный член в форме Лагранжа Л„+1(х)= Х" (хО+д,(х — хО)), О(д,(1, (х — ХО)аы 1.+П (а+ 1)! а при р = 1 -- остаточный член в форме Коши (х — )д ы и„+1(х) = (1 — дг) 1~ + 1(ХО + дг(х — хо)), О ( дз ( 1.
и! 9.2. Локальная формула Тейлора (или формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Если Функция 1', определенная в некоторой окрестности точки ХО, имеет коиечиург про- изводную )('О(ХО), то справедливо представление г (х) = 1(ХО) + 1 (хО)(х — ХО) + ... + 1 (хо), + О((х — ХО) ), Х ХО.
9.3. Пять основных разложений. Положив во всех формулах Тейлора пунктов 9.1 и 9.2 хо = О, получим соответствующие формулы Маклорена. Из локальной формулы Маклорена вытекает пять основных разложений: г! 1. О*=1+а+'— ,+ .. + —,+о(х"), х О; ! — 1 П. О!ах = х — — ",, + ... +(-1)" '<— ',, +О(х "), х О; П1. сох г. = 1 — — *, + ... + (-1)" —, + О(хг"+'), х -! О; 1,,! ° =,!,,!=.~ О *! !~ -„,1,! Н. 1в(1+ х) = х — — + ...
+(-1)" '*— +О(х"), х — О. 9.4. Формула Тейлора для вектор-функции. Пусть вектор-функция р:]а, 6[ Е» имеет производную (и+ 1)-го порядка на ]а, 6[. тогда Ох, хО е ]а, 6[г!»»рг > О ндг, 1 = 1, /с, такие, что справедлива формула а!О(ХО) у(х) = ~ ~—., (х — хо)'+ В..+1(х), О где г(х) = (11(х), 1 (х), ..., 1»(х)), 1 г 1, (Х вЂ” хо) ~~и-1(х) (НО+1 И!+1 ! ~~уа1) а! П(хо+д»(х — х )) Рг Для вектор-функции справедлива локальная формула Тейлора.
Написать разложения следующих функций по целым положительным степеням переменной х до членов указанного порядка включительно: 114 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1+х+х )4) 128. /1х 2 до члена с х . Чему равно /~ )(0) 2 г м Представляя значение функции / в виде /(х) = 1+ (2 . + 2х')(1+ х') ' и пользуясь разложением 1"47 (1+х ) =1 — х +о(х ), х О, получаем /(х) = 1+ (27 -)- 2х )(1 — х -). о(х')) = 1 + 2х+2х — 224+ о(х ), х О. Сравнивая полученное выражение с разложением в общем виде (см. пункт 9.2), находим /(4)(0) 4! = — 2, откуда /4 )(0) = — 48.
И 120 ег* М Полагая 1 до члена с х'. 2 = 2х — х и используя разложение 1, имеем 13 14 15 + + + (15) 3! 4! 5! = 1+ (2х — х )+ — (2х — х ) + ... + — (2х — х ) + о(х ), 2 1 2 2 1 2 5 5 2. 5! е =1+3+ —,+ 21 (мы учли, что о(1~) = о(2х — хг) = о(хз) при х 0). Выполняя далее соответствующие действия н записывая в разложении члены до х (ха, хг, ... вносим в о(х )), окончательно получаем г — *' 2 2 3 5 4 1 5 с = 1+ 2х+ х — -х — -х — —.ха+ о(х ), х О. И 3 6 15 41-; —- 13 130, чзгн хз до члена с х ' . М Положим хз = 3 и воспользуемся разложением функции зш1 по формуле Маклорена: зьяг=г — -2 + — 55+ 0(2 ), 1 3 1 5 3 6 120 а также разложением 1Ъ'.
Тогда получим 3 1 + (г')~ =13(1 (7)) г ' ( 1 / 3' 14 '4 1 / 22 34 51 .'» = ' +- — Н- — ) "'"» = 3 ~ 6 120 ~ 9 ~ 6 120 ~ 3 Ы 7 13 х х' 15 -'го(1) =х 1 — — — —.~-о(х ) =х — — — —,-)-о(х ). е 18 3240 ) 18 3240 1 / 12 34 4Я~г=гз ~1 — — +— 6 120 1 1 2 = 1з (1+ -о — -о + 3 9 ,7 г 14 =23 ~1 — —— 18 3240 131. 1псозх до члена с х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
