И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 40
Текст из файла (страница 40)
и Применяя разложения Ъ' и П, получаем хг х4 хз = — — — — — — +о(х ), х-10. > 2 12 45 132. сйл(ып х) до члена с х'. 1погзх =1в 1 — зпз х = — 1а(1 — йв х) = —, ~ — згл х— 2 1 2 1 2 2 2 [ 3 5 / 3 1(( х х — х — — + — +о(х )) + — ~х —— 2 ) 1 6 120 ) 2 ~ 6 1 х х х х г(4 Зб З 60 2 З+ З+'(х) ып х зщ х 2 3 + ( 7) 4 + о(х )) + — + о(х ) 3 ! 9. «2«ормула Тейлора и Пользуясь разложением П, имеем яп х з яп(ял х) = зш х — + о(яв т) 6 з з х' 1 з «.,«х « х — — + о(х )) — — (х' + о(х )) + о(яп х) = х — — + о(х ), М 3! ) 6 3 133.
«8 х до члена с хз. М Поскольку функция «8 х не «етная, то ее разложение в окрестности точки х = О имеет вид О, (1) «8х=Ах+Вхз+Схз+о(хз), х где А, В, С вЂ” коэффициенты. Записывая (1) в виде япх = (Ах+ Вх + Сх + 0(х ))соэх и используя разложения П и Ш, получим А), (, А В), 3 з х — — + — -~о(х)=Ах+( — — )х + С+ — — — х +о(х), х — ° О. 3! б! 2/ ( 4! 2/ Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, и~ходим 1, 2 А=1, В= —, С= —. 3' 15 Таким образом хз 2 «6 х = х -!- — + — хз -)- о(хи), х -«О.
М 3 16 134. Найти трн члена разложения функции /: х «з/х по целым положительным степеням разности х — 1, и Воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, получим /(х) = /(1) + /'(1)(х — 1) + †, (х — 1) + о((х — 1) ), х Х (1) г г ,Затем находим /(1) = 1, /'(х) = —, /'(1) = —; /а(х) = — —, /а(1) =-- 2 х' 2' 4хз/г' 4 и, подставив эти значения в полученную формулу, окончательно имеем /(х) = 1+ — (х — 1) — — (х — 1) + о((х — 1) ), х 1.
«ь 1 1 г г 2 8 135. Функцию /: х «асЬ вЂ”, и > О, в окрестности точки х = О приближенно заменить а параболой второго порядка. и Поскольку с!« — = — е -, 'е =1 !.— +о(х), х О, а 2 (, ' ,) 2аг „ /(х) — „ + " + а(х'), х — О. М 136. Функцию /; х «- Н/1+ха — х, х > О, разложить по целым положительным 1 1 степеням дроби — до члена с —. е хз < Преобразовывая выражение з/Г+ хг — х н пользуясь разложением !Н, получаем =х(1+ — ',— ',+о( — ',)-1)= — '- —,',+о( — ',), х +со.М 176 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Таким образом, 3 г Х (1+6(х 1)) з Х(х) =1 — — ( — 1) — -( — 1)'+ (х — 1) .
! 16 6 3! 138. Пусть г"(х+ й) = Ях) + й,Г'(х) + ... + —,Г! "1(к+ 6)г), (1) где 0 < 6 < 1, причем ~~ее ~(х) ~ О. Доказать, что !пв д = — . а-о о+ 1 Поскольку у~ ~ц(х) существует, то по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано запишем й" йьз! г(х+ й) = г (х)+ йг'(х) + ... + — (00(х)+ г "+' (х) -!-о(й + ), и! (а+ 1)! л" Вычитая из равенства (1) равенство (2) и сокращая на —,, имеем убб(х 4.66) — урб(х) (! +М(х) о(й) й и+1 й й О.
(2) откуда г ~ 1(х) о(й)'] ( 11 1(к+дй) 11 г(х) +1 й /)ч д!з Переходя к пределу при й 0 в этом выражении и принимая во внимание, что У!"+М(х) ~ О, находим Вш д = —,. !ь л-о "+' 139. Пусть ХЕ С~'1([О, 1]) и Г(0) = у(1) =О, причем ВА > 0: !Х"(х)] < А Ух Е]0,1[. А Доказать, что !у (х)! < — 'гх Е [О, 1]. м По формуле Тейлора имеем г У(0) = 1(х) — хУ'(х)+ Гл(бг) —, 0 < бг < х < 1; 2' (1 х)г 2 откуда гй Х(х) =-, У (0) — Ул(бг)~ ) ), О < <1.
2 з 2 Оценивая зто равенство по абсолютной величине, получаем !~'(х)! < — „(2х — 2х+ 1), 0 < х < 1. Но так как О < 2х — 2х+ 1 < 1 при 0 < х < 1, то !у"(х)! < —, что и требовалось доказать. !ь 140. Пусть Х вЂ” дважды дифференцируемая на ] — оэ, +оо[ Функция и Мс = вцр ф 1(х)] <+ос, й = О, 2. « + х+ 3 137. Функцию Г: х ь-~, х Е] — оо, +ос[, разложить во формуле Тейлора с 3+ха' остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение вести в окрестности точки хэ = 1 и найти первые три члена разложения. М Искомое разложение имеет вид .Г(*)=Л~)+Х'(~)(*- )+ — „( — ) + „— (х — 1), <6<1.
г' (1) г У (1+6( — 1)) з Найдем значение функции и ее производных в точке х = 1. Имеем У(1) =1, Х'(1) = — —, Хл(1) = --. 16' 4 8 9. Формула Тейлора Доказать неравенство Мг < 2МОМ2. и По Формуле Тейлора имеем 2 2 (ха) = ((х) + вг (х)(ха — х) + ~' (Р) откуда !х — х! 2 !Х(ха)! < !Х(х)!+ !( (х)!!ха х!+ )Х (6)!, < Ма+ Мгу+ Мг —,, у = !ха — х!, Поскольку Ма + 2ПУ+ — 'Мгуг ) 0 при всех у, то Мг < 2М0М2 141. С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить: ' а) вгп18'; б) агс18 0,8. м а) Согласно формуле Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа, о . х 'г 1 х 1 х 01в18' =вы — = — — —.
— + — — + Лт, 10 10 6 102 120 100 г где !112! < — „и„. Итак, / хг хв 'Г ~ 9,8696О4 (9,869604)2 ) + 1О [,1 60О рг.1Ов) — 3 4'89 [,1 ГОО 12 -100 ) 0,314159(1 — 0,016449 + 0,000079) 0,31)9017. б) Применяя формулу Тейлора, имеем при ха = 1 агс080,8 = агс18(ха — 0,2) = агсгдха — (агс08х) ! =, 0,2+ — 0,04(агс18х) ! =,— 0,008 (аыг8 х)0'! —, — — 0,1 — 0,01 — 0,00066 0,67474.
6 Поскольку (агсгд х)1~1/авва = О, (агс08 х)00!„-в = 24 — —,4 г ф- < 12 при 0,8 < 6 < 1, то по формуле остаточного члена в форме Лагранжа получаем оценку погрешности !77! < —,(О,г) < 3,2 1о '. в гсов Цг +21~,, г ег л "+ < л < 10-0 (2в+ 2)! г~го/ 202"+2(2в+ 2)1 откуда в ) 2. Таким образом, сов 9' 1 — — ! — ) + — ( — ) 0,98769. г (,го) 4) (,го) х ) О, разложим по формуле Тейлора в окрестности точки б) Функцию 7: х ь .„Гх, ха =4: 1 г угх = 2+ -(х — 4) — — (х — 4) 4 64 п=2,3, + —,(х — 4)' + .. + 1 3 512 ( 1)в — (ги 3)н + з "(х — 4)" + и +2(х) где (2в — 1)!! ( — 1)" (х — 4) "+ ( ) (и+1)~гввг(4+9(х — 4))0+00' 142.
Вычислить: а) сов 9' с точностью до 10; б) Л с точностью до 10 м а) Определим число членов разложения Функции косинуса по Формуле Маклорена для достижения заданной точности. Его можно получить из оценки остаточного члена в форме Лагранжа. Так как 0 < 6 = 9 — < — х = —, то 20 20 ~ 20 ' 178 Г24. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Полагая в разложении х = 5, получаем Л = 2+ — — — + — + ... + ( — 1)",,„," + 17 ег(ц Из условия О (Лещ(5)( <,,"~, < 18- (44 4 1)~22 +г находим, что и > 4.
Тогда из (1) следует ъ'5 2+ — — — + — — — = 2,236022 .... и 1 1 1 5 4 64 512 244 Используя разложения 1 — У, найти следующие пределы: 2 соз х — ехр ( — — ) 143. 11щ 2-О х4 М Применяя разложения 1 н П1, получаем сов х — екр (- — ) Г г 2), 1 4Г х х йп — 1гп4 1 + + х О ха Ох'1 2 24 144. 1пп (322хз+ хг — ~/хз — х').
М Преобразовав выражение, находящееся под знаком предела, и применив разложение 1Ъ', имеем 1 1'~ йш ('~ ХО + хз — 4„гх4 — хз) = йгп х 1 -1- — ) — (1 — — ) Ф Е44 х х = Йп х (1+ — '+ О (-') — (1 — —,' + о Н) ) = -'. В 145 1;щ1 (..ьх) О т М Пользуясь представлением и" = еа и ", и > О, и разложениями 1, Ъ', находим -3 *«*м44*х 1 — (1+сйпх1псозх+О(х )) х О х О хг 1всоах .
1п(1 Огв х) 1, Бгп х+О(х ) 1 = — ! пп = — 1пп, = — Бгп 2 -О х" а Ох 2 О хг 2 146. ы = 1пп х '(з)4(гдх) — х). х О И Здесь применяем разложение 1, а также используем разложение 18 х = х+ — + О(24). з Имеем 18 х + — 18 х + О(х ) — х х + — + О(х ) + — + О(х ) — х гх = 1пп = 1пп з О хз -о хз 2 х О величины у определить главный член вида Сх" (С— разложение 2 4 17 г 3 гдх=х+ — ч- — х + — х +О(х), х О. 3 15 315 Для бесконечно малой при постоянная): 147. д = 18(я1в х) — гл(28 < Прежде всего установим х х о(х ) — 1 — —,+ — +О(х ) 2 8 ( 1 О(х)1 1 =1щ( +, ~1- — ° =О 12 х' ) 12 ! 9.
Формула Тейлора 179 2 -- 1.3 3 5 5, 7 7 3 тбх = мах(1 — яп х) 2 = япх+ —,яп х+ — яп х+ — вьв х-~-о(х ) = 2 8 16 х х / х х51 / х в =х — — + — — — +- х — — + — + х — — + — х +о(х)= 3! 5! 7! 2 ( 3! 5! / ( 3! 2( 16 х 2 5 17 7 в 3 =х+ — + — х. + — х +о(х ), х-70, 3 15 315 формулу, а также упомянутые разложения, полу- что и требовалось доказать.
Используя зту чаем япх2,517 16~в у = 55(япх) — яп(збх) = япх+ — + — яп х+ —,яп х — 33х+ 3 15 315 6 7 3 5 7 / 3 5 3 565х 38 х 3 х хз х 1 / хз хв'т 2 / х351 + (хв) / 1 / ! + 5! 7! 3! 5! 7! 3 (5 3! 5! ) 15 ~, 3! 2) 17 7 хз 2 5 17 7 1 / хз 2 + — х — х — — ' — — х' — — х + — х+ — + — хв 315 3 15 315 6 ~ 3 15 3, 5 7 5 в — — х + — ) + — + о(х ) = — + о(х ), 120 ( 3,/ 7! 30 ОтКуда СХо = 35 . СпвдОВатЕЛЬНО, С = 3„, И = 7. М 148. у= (1+х)* — 1.
я Применяя разложения ! и Ч, получаем 2 у=в*~"!'+ ! — 1жх!п(1-~-х)+о(х )=х х — — +о(х ) +о(х ) =х +о(х ), х О. 2 Итак, Сх" = х . Следовательно, С = 1, и = 2. м 1 149. у =1 — ( е х-70 я Используя формулу з" = е" '" ", и > О, а также разложения Ч и 1, находим 71 / хз у = 1 — екр 7( — 1п(1 + х) — 1) = 1 — екр — (Ьх — — + о(хз) ~х ) ~х(ь 2 х 7 х х = 1 — ехр ) — — + о(х)) = 1 — (1 — — + о(х)) + о(х) = — + о(х), х 0; 2 ) (, 2 ) 2 х, 1 Сх" — — — ', С= —,, и=1.
М 2' 2' 150. Подобрать козффициенты А и В так, чтобы при х 0 было справедливо равен- ство 1 -!- Ахз «бх = + 0(х ). х -1- Вхз я Имеем сов х 1+ Ахз ссбх = — '= ' +0(х ), взп х х ~- Вхз откуда (х + Вхз) сов х = (1 + Ах ) яп х + 0(х ). Используя разложения П и П!> получаем 2 7 З 5 (х+Вх') 1 — — + — +0(х ) ) =(1+Ах ) ~ х — — + — +0(х') +0(х ), 2! 4! 6 5! откуда 3 5 5 3 5 х х 7 3 7 3 .45 7 х — — .1- — -8 0(х ) + Вх —  —, = х — — '+ — + 0(х ) + Ах — — х + 0(х ).
2! 4! 2 6 120 6 Действительно, представляя 36 х в виде яп х(сов х) ' и используя разложения П вЂ” !Ч, полу- чаем 180 Гл. 2. Днфференциалъное исчисление функций одной переменной — —., откуда А = --, В = — —. м л, г е з !з' и Р справедлива при х 0 асимптотическая 1 1 1 Я 1 Следовательно, — —. + В = Л вЂ” —., — — — =— 1 е г! г !го 151. При каких коэффициентах А, В, С формула 1+ Лх+ Вх2, з 1+ Сх+ Рхг Ч Имеем е'(1-9 Сх-9 Рх!) = 1-9 Ах+ Вх + О(х ). 2 З 3 Поскольку е = 1+ х+ — ', + —, 4- —, + О(х ), то нз (1) получаем с 2 3 ! 1+:е+ — + —, +,—, + О(ха) (1+ Сх+ Рх ) = 1+ Ах+ Вх + О(хз), 2 6 24 откуда, записывая в разложении члены до х включительно, находим 2 гзхСзР!хС!х 2 з ! 2 ! 1+Сх+Рх +х+Сх +Рх'+ — + —,х + — х + — + — х + — '=1+Ах-!-Вх +0(х ).
2 2 2 6 6 24 Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, приходим к системе уравнений! Р С вЂ” + — + — =О, 2 6 24 С С+1=А, Р+ — -~- — =О 2 решив которую. получаем 1 ., 1 1 В= —,, С= — —, Р= — —.ь 12' 2' 12 Л= —,, 1 Г ( 1+х , 1 †— — ~( — =(1+2)з(1 — х) з — (1 — е)з(1+2) з = 1 — х (1 1+х г 21/ 1 2 = (1+ -х — -х -1- о(х )) (1+ -х + -х + о(х ))— 3 9 3 9 1 1 г г.'з / 1 2 г 2-1 4 4 — (1 — -х — -х + а(х )) (1 — -х+ -х + о(х )/! = -х+ о(х ) -х. .1 9 ) (! 3 9 ) 3 3 б) Применяя разложение Ч, приходим к приближенной формуле 1п 2 1п2 100 1л 2 70 1п (1+ — ) — ' — '+ о(хг) х х /1 х 153. Вектор-Функцию Г: х ! (-, —, а!с!Ох), х Е И!1(0, — 2), разложить по целым '1х' х + 2' г положительным степеням бинома х — 1 до члена с (х — 1) включительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
