И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 35
Текст из файла (страница 35)
4 192. Для вектор — функции т": х г (х ып х, х соз х), х б [О, — ), найти такое б б 10, — ' [, что г] ' г г' У ( вЂ”Ч вЂ” У(О) = Л-,У'(б), Л б (4. 193. Доказать, что если у б Срэ ')([а, Ь]), то 36 б]а, 6[ такое, что ((х) — ?...(*) = -"„'-';)(4 ыю„(*), где юю+~(х) = (х — хз)(х — х~) ...(х — х ), а = хэ < хг < ... < х„, = Ь, г=о Ъ'казанке. Ввести в рассмотрение функцию х: х е У(х) — б (х) — й(х)ы зг(х), гле 6(х) выбирается иэ у~ленив х(У) = о. 194. Пусть вектор-функция Г: К Е", о > 3, непрерывно дифференцируема на сегменте [а, 6], а < Ь, Всегда ли можно найти такое б б]а, Ь[, чтобы вектор Г(6) — Г(а) был коллииеарен У'(б)? Рассмотреть пример г(х) = (сов т, ыв х, х), х Е [О, г].
195. Справедлива ли теорема )!агранжа для дифференцируемой на сегменте [а, Ь] функции У: х е Л(х)+ гУг(х), где г = ъI — Т? Рассмотреть пример 1;хг соэх+гяглх хб [О, —, 190. Пусть т" — - дифференцируемая на интервале ]а, Ь[ вектор-функции такая, что г"'(х) = 0 на ]а, 6[. Что можно сказать о функции т"? 19?. Пусть А — днфференцпруемая на интервале ]а, 6[ матричная функция такая, что А'(х) = О, х б]а, Ь[.
Что можно сказать о функции А? 198. Пусть ы: т г х —,',, где ( — дважды дифференцнруемая на [а, 6] функция, и причем )'(х) и'- О. Для данного О н функции у найти то множество Л С [а, 6], для которого выполняется неравенство й.(х) - „-(„)[ < В!' - у], х, у б Л, если: а) у: х г х — соэ х, д = †, х Е [Π†]; б) ):х е х Сдх — 1, а = †, х б [О, -']. 199. Пусть Ы: С г- Х(х) — У(г) — У'(?)(т. — 1) —... — У(эг(1)" — —,) — — Л(х — 1)г, г б [а, х], р > О, л = солят; функция г имеет (гг+1) ю производнуго на [а, х]. доказать, что ур > О зб б]а, х[ и такое Л, что ?(г:)= К"-',1'-'(х- )'+( —;:;) ( „Р-?б'ыа с=о (формула Тейлора г остаточным членом в обгцей форме).
200. Пусть матричная функция А: х г А(х) непрерывно днфференцируема на сегменте [а, Ь] и ]А(х)] = ~ !ао(г)!г, где а,г(х) —. элементы матрицы А(т). Тогда справедлива з =! оценка ]А(6) — А(а)! ( гпак )А (х)[(Ь вЂ” а). <э<э Доказать зто. Ь 5. Теоремы Ролла, Лагранжа, Каши 155 201. Доказать, что если вектор — функции Г и 5 непрерывны на сегменте [а, 6] и дифференцируемьг в интервале ]а, 6[, то 35 б]а, 6[ такое, что (т(6) — г(а), 5 (с)) = (б(Ь) — й(а), г (с)). 202. Пусть функции 1 и д вместе со своими производными до и-го порядка включительно непрерывны на сегменте [а, 6] и имеют производную (в+ 1)-го порядка в интервале ]а, 6[, Тогда ЗВ Е]а. 6[ такое, что с д(6) — ~ й йю(-')(х — а)й~] г!"йб(В) = [))(6) — 2, ь'й(хй(х — а)й де"+0(4). й=й / Л й=е Доказать это.
Ьеказание. Рассмотреть Функцию и: х йе(х), гле йе(х) = Яй(6)ев(х) — е, (Ь)ее (х), " д!"'( ) Н„(х) = д(6) — ~~[ (х — а)", й=! т э'! 1(а) ей(х) = э'(Ь) — ~ (х — а)". И й 203. Пусть: 1) ( б С!~1(] — оо, +оо[); 2) йх, Л Е К выполняется тождество )(х+ Л) — Г(х) = !йу'(х+ ВЛ); 3) 1"й(х) ~ О. Доказать, что: а) если В = В(х), то В(х) гл —; б) если [В'(х)[ < +оо и В = В(Л), то ййп В(Л) и — ' в о э 204. Пусть 1 1 (х+ 1) — х = -(х+ В(х)), х > О, и > 1.
Найти предельные значения В(х) при х +О и х -й +~х~. 205. Пусть Функции 1 и д дифференцируемы на сегменте [а, Ь], причем «(х) ф О, уе(х) ~ О. Тогда ЗВ Е]а, Ь[ такое, что 1 [ у(а) р(6) й [ р(О д(В) йей! — йе 1 ~ (а) (6) ед0 ~ йо'(() «'(() Показать это, 200. Показать, по производная функции (. х й ~ хэ в!и [-!ах), х ф О, ~ о, х=О, непрерывна прн х > О, однако функция б, удовлетворяющая соотношению 1(х) = 1 (((х))х, 0 < с(х) < х,является разрывной.
207. Доказать, что если )в непрерывна и монотонна на сегменте [О, Л],причем е(0) =,О, то функция 5 непрерывна на этом сегменте (см. пример 205). 208. Доказать неравенства: а) )х — у] < ]х !в х — у' 1п у] < Зе]х — у) тх, у Е [1, е]; б) [:еэ агсйбх — уэ агсйду[ <» — ]х — у[ ух, у Е [О, Ц. 209. Доказать неравенсгва: а) ' — сову! < -[х — у[ йх, у Е] — х~, +оо[; б) - — "- — — < -[х — у[ 'Фх, «Е [1, +со[.
150 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 210. Доказать, что последовательные приближения, определяемые формулой Х 41 = ЕЕ"", хо=1, сходятся к корню уравнения х = ее, если 0 < ее < 1. 211. Доказать, что последовательные приближения, определяемые формулой Хейг = АХ +1, Хг = (1, 1), 1= (1, 0) / 1 1 где А = [ 1 ], сходятся в Е к решению уравнения Х = АХ + 1, если е < -.
2 й,г 2 е ~ 6. Возрастание и убывание функции. Неравенства 0.1. Возрастание н убывание функции. Определение. сррнеиия 1 нагыеаен1сл еоэрасаг ающей (рбыеающгй) на сегменте [а, 6), если у(хг) > 1(хг) (или соонгеенгсйлеенно 1(хг) < У(х1)) тх1, хг Е [а, 6) и х1 ( хг. 0.2. Критерий возрастания (убывания) функции. Для того чтобы имеющая конечную илн бесконечную на промежутке Х производную функция Г возрастала (убывала) на нем, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись усло- вияг а) Г'(х) > 0 (г"(х) < О); б) 2" (х) не обращается в нуль ни на каком сегменте [е, Я), составляющем часть промежутка Х([о, 11) С Х). Определить промежутки возрастания и убывания следующих функций: х2 98.,Г1х1 22 М Поскольку 1'(х) = х2 *(2 — х1п2) лри х б ]О, —, [, то на интервале ]О,,— [ функция г возрастает.
В интервалах ) — оо, 0[ и ],—, +со[ производная функции у' отрицательна, СЛЕдаватепьпо, 1" убывает на каждом из зтих интервалов. П Б~ 99. ) 1х1 х 1) — +шп(1лх), если х > 0 и у(0) = О. )) 2 М Дифференцируя г, получаем Г (х) = 1)( —, + 222з1л (!ох+ — ), х > О, ~/2 4)' откуда г (х) > О, если згп [1л х + -') > — —, Решая последнее неравенство, находим ннтерва- 1 ,/з лы возрастания Функции 5: г 12 — +2й — +2й Е 12, Е12 — +2й — +2й 12 ы В интервалах с гг, е ю Функция г' убывает, поскольку на них у'(х) < О, 6 Е Ж.
и 100. Доказать, что функция (1 х й возрастает на интервалах ) — со, — 1[ и )О, +оо[. и Покажем, что в указанных интервалах производная Функции положительна. Прн х > 0 )" (х) = ((х) [1о(х + 1) — 1п х —— х+1/ Применив формулу конечных приращений х функции х1 1л х на сегменте [х, х+1), получим 1 1л(х + 1) — 1л х ж —, где х ( 6 ( х + 1, З 6. Возрастание и убывание функции.
Неравенства. в силу чего )'(х) = у(х) (1 — —,) > О при х > О. Далее, пусть — оо < х < — 1. Тогда 157 1" (х) = 1" (х) ()и() — 1) — 1п ) —— 1 — )/ ' где 1 = — х, 1 < 1 < +со. По формуле Лагранжа 1 !п0 — 1) — !п) = — —, 6' где 1 — 1 < 4~ < Е поэтому Г'(х) = Г( — 1) ( —,, — — ) > О прн 1 < 1 < +оо, нли ~'(х) > О при — со <к< — 1. 101, Обязательно ли производная монотонной грункции является монотонной? м Не обязательно. Функция у: х ь 2х + огп х монотонно возрастает на всей числовой прямой, поскольку ее производная )": х ь 2+соя х положительна тх б Н. В то же время сама производная, рассматриваемая на интервале ] — оо, +со[, очевидно, не является монотонной. Ь 102. Доказать, что если )о — монотонно возрастающая дифференцируемая функция и [у'(х)) < р'(х) при х > хо, то ) )'(х) — )'(хо)] < )о(х) — р(хо) при х > хо.
— <1, хо<с<х, ! У(х) — У(хо) ) ~'(с) ~р(х) — р(хо) ~ )о'(с) откуда (Х(х) — ) (хо)) ~ ([Оо(х) — Оо(хо)[ = Оо(х) — )о(хо) ° Геометрически это неравенство означает, что приращение монотонно возрастающей дифференцируемой функции будет не меньше приращения всякой другой дифференцируемой функции с меньшим или равным абсолютным значением производной. м 103.
Пусть функция у непрерывна в промежутке а < х < +со и, сверх того, У'(х) > )о > О при х > а, где й — постоянная. Доказать, что если Г(а) < О, то уравнение у(х) = О имеет у(а) [ один и только один действительный корень в интервале а а —— М Применяя теорему Лагранжа к функции 1 на сегменте [а, а + )-(ь-)-], имеем а+ () — Ца)= )у' а+6 6<6<1, Иэ условия у (х) > 1 > О находим а + — у(а) > [)(а)[, а+ — >О, откуда Функция 1" на концах сегмента [а, а + ~-)„'-))~ принимает значения разных знаков, поэтому, по теореме Коши о промежуточных значениях, существует такая точка 6 б ~а, а + ь что ~(6) = О.
Докажем, что она единственная на этом интервале. Если допустить, что на нем найдется такая точка бы что Г(б~) = О, то по теореме Рояля на интервале ]6 сэ[ (если 0 > с) или на интервале ]бы с[ (если 0 < 6) найдется такая точка сэ,что у (бз) = О, а это противоречит условию )'~(х) > 1 > О при х > а. )ь Дать геометрическую интерпретацию этого факта. м Поскольку функции у и )о удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о среднем значении, то справедливо равенство 158 Гл. 2.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 104. Доказать, что если: !) функции оо и 0 и — кратно дифференцируемы; 2) ооо !(хо) = ггг"!(хо), й = О, и — 1; 3) у!'0(х) > ой'0(х) при х > хо, то справедливо неравенство р(х) > гр(х) при х >:га. м Применим к функции ио' ' = гор' и — ог" ы теорелгу лагранжа о среднем на сегменте [хо, х). Имеем (э) — и " ' (ха) = и!о'(()(х — хо), откуда, в силу условий 2) — 3), находим и!" П(х) > О, х > хо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
