И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 33
Текст из файла (страница 33)
я. 156. Найти з— ,(Л '(х)), где А '(х) — обратная к А(х) матрица. 157. Показать, что решения системы уравнении —, = х — у, -д = к+у являются также з з з я з» решениями системы —, = Зх — Зх у — х — уз, — д = хз — у+Зхуз+ Зд~.
з»з з»г 156. Найти /з(0), если /(х) = хз(з)п(!п (х~) + соз(!и (х))), х ф О, и /(0) = О, где и» = — '; Р, д Е Х. зз+» ' Является ли непрерывной вторая производная в нуле? Можно ли подобрать значение параметра т таким образом, чтобы существовала /з'(0)? 159. При каких значениях о функция /: х» )х(~з)п —, х ф О, и /(0) = О имеет непрерывную вторую производную? 160. Найти /з(х), если /(х) = ь»(6»(х)) и х, (х( < 2, зз(х) = япх, )х! > 2, )( е , )х) < 2, соз х, (х( > 2. 161. Вычислить вторую в обобщенном смысле производную функции / в точке ее разрыва, если У(х) = —.
162. Вычислить вторую производную функции / ': х»-» д, обратной для функции /:д~ х,еслн: 146 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной а) х = у+ у; б) х = у+кшу. 163. Вы пылить (1~) (О) функции ) ! х ! )х( асс!8 —, х ф О, и Г(0) = О. Й* 164. Найти )"(0), если у = з (х) и х = 21 — (з, у = (à — 1) 165. Найти 1"и(х) функции у = [~(х), заданной параметрически: 26 Г < 1, )) -асса)пц '(1) (1, Гз, (>1, У ( 1+1 — 4з, ~1)>1.
166. Вычислить вторую производную функции у = г(х), заданной неявно уравнением в)п(ху) = х + у — —, у > О, в точке х = —. 167. Найти У!аз(а ), если; 168. Вычислить у"(О), если функция у [ х ) у задана уравнением у + ха+ха — уз = 0 и дважды непрерывно дифферепцируема в окрестности точки х = О. Вычислить Х(аа)(О), если. 169. У(х) = ып(хз). 170. )'(х) = 171. Д(х) = —,, 172. у = У(х), х = 21 — Г~, у = 31 — Гз, Найти и а, если: 173. 1(х) = сии(и(Х)С(т). 174. 2(х) ж агсип )Щ. 175. Г(х) = и(х) е ! 6 )()=) [([)))..)()=(()! () з) ) л)=( 179. у = у(х)( а) у(г) = (з)п т, х(т) = т сои ф б) у(аа) = р(аа) сйп[р, х(аа) = р([р) соя а).
180. У = ))(х)( У(1) = (зп! Г, соя Ц !81), х(Н = 314 0 . ,— з! 3) . -Л): ()=('; ';, '. ),га)= 182. у = г(х)( у(1) = ( —,;, —,, (у(Г)(), х(1) = 41+ гйп1+ сои ц Вычислить — „-~(л в указанной точке: 163. у = з (т), х + у' = Зхзу -(- 1 в точке М(О, 1). 184. у = )(х), Зх ' — 2у — х! + у! + 1 в точке М(0, 1). 185 у = У(з'), у = з 1п(ха+ у ) в точке М(1, О). 186. Пусть компоненты у,(з[) вектор-функции Г: х ) ())(х), ~з(х),, зи(х)) улавлетворяют системе уравнений уз(х)(1+ ззч!) = з)п(ух)Ях), у = 1, и. =1 Найти Хи(х).
187. 1)усть функциональная матрица А(х) удовлетворяет уравнению А (з:)В(х) + А(х)С(х) = Е, где В(х), су(х) — дважды дифференцируемые матрицы, Š— единичная матрица. Найти А"(х), если .4(х) коммутирует со своей производной. 188. Найти [(~у(х), если )(а[) ж из(х)и (х). 189. Найти (1~7(х), если )"(а)) = А(и(х))В(и(х)), где А,  — матричные функции. 190.
найти и у(х), если 7(з)) = )аа(и(х))), где аа — вектор-функция. Ь 5. Теоремы Рояля, Лагранжа, Коши ~]'5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши 147 5.1. Теорема Ролля. Пусть функция у: [а, 6] 2 непрерывна на сегменте [и, 6] и цмеет конечную или бесконечную производную внутря этого сегмента. Пусть, кроме того, г(а) ж )(6). Тогда внутри сегмента [а, 6] найдется точка д такая, что У'($) = О.
5.2. Теорема Лагранжа. Если йьункцпя ~; [и, Ь] — И непрерывна на сегменте [а, Ь] и имеет конечную или бесконечную про~щиодную во внутренних точках этого сегмента, то зс б]а, 6[ такое, что )'(6) — у(и) = (~(Е)(Ь вЂ” и). 5.3. Теорем» Кошьг. Если каждая нз Функций У и д непрерывна на [а, 6] и имеет конечную или бесконечную производную на ]а, 6[ и если, кроме того, производная д'(х) ~ О на ]а, 6[, то лс б]а, 6[ такое, ьто справедлива Формула )'(6) — Х( ) ГК) д(6) — д(а) д'(б) Если дополнить льпо потребовать, чтобы д(а) ф д(6), то условие д'(х) ф О можно заменить менее жестким; (('(х)) + (д'(х)) ф О ьУх б]а, Ь[. 81.
Плеть Функция г' имеет конечную производную У' в каждой точке конечного'или бесконечного интервала ]и, 6[и 1пп ((х) = Рцв У(х). ,.го ь-о Докаэатль что )'(с) = и, где с — некоторая точка интервала ]а, 6[. м Пусть интервал ]а, 6[ конечен и !пп г(х) = 1пп у(х) = С, С ж сопзы Рассмотрим +о , -ь-о Ф,' пкьпььо г(х), есл5 х с]а, 6[, С прих=аих=Ь Она непрерывна на сегменте [и, 6] и имеет конечную производную на интервале ]а, 6[, причем Г(а) = Г(6). По теореме !опля па интервале ]а, Ь[ найдется такая точка с, что Р'(с) = ('(с) = О. Если интервал ]и.
6[ бесконечный, то, в силу существования конечной производной функции )', непрерывности функции )' и существования конечных, равных между собой, ее предельных значений прп т — и -1- О и х -ь 6 — О, при достато <но малом с > О прямая д = С + е плн пряльая д = С вЂ” е пересечет кривую д = у(х), по меньшей мере, в двух точках, которые обозначиль сь н гг Для Функции 1 на сегменте [сл, сг] выполнены все услов«л теоремы Ролла, поэтому па интервале ]сп сг[ (а значит, и на интервале ]а, Ь[) найдется такая точка с, что гг'(с) = О. Рассмотр1гль теперь случай, когда йш г(х) = !пп )(х) = оо.
Тогда как в случае — +а ь ь-о конечного, так н бесконечного интервала ]а, 6[ уравнение )(х) = А (где А > Π— любое число, фиксированное, когда 1пп У(х) = 1пп у(х) = +со) или уравнение у(х) = — А (в -„.ьо ь-о случае, когда 1щл 1(г:) = йш Д(г) = -оо) всегда имеет два различных корня, которые -уьо . -ь — о обозначим ьг1 и аг. Прпльеняя теорему Рояля к Функции г' на сегменте [оь, пг], приходим к выводу, что на интервале ]оп ог[ (а значит, и на ]и, 6[) существует, по меньшей мере, одна такая точка с, что )'(с) = О.
82. Пусть; 1) функция у определена и имеет непрерывную производную (и — 1)-го порядка на сегменте [хщ х ~]; 3) у имеет производную п-го порядка в пнтервале ]хо, х„[; 3) выполнены равенства у(хь) = у(хл) = ... = ) (х„), ха < хь « ... х„. Доказать, что в интервале ]ха, х„[ существует, по меньшей мере, одна точка с такая, что ~РО(б) = О. 148 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной < На каждом из сегментов [х, |, х,], г = 1, и, выполнены все условия теоремы Ролля для функции г, следовательно, существует не меньше и точек 6 е]хо, х [ таких, что у (сг) = О.
Для функции у' на каждом из сегментов [б„бг+~], у' = 1, и — 1, выполнены все условия теоремы Ролла, поэтому существует, по меньшей мере, г| — 1 точка гм б]хо, х [ такая, что у»(па) = О, х = 1, и — 1. Продолжая рассуждать таким же образом, приходим к выводу, что в и — (и — 2) = " точках интервала ]хо, х [ )г» 'г(Ь",) = О, г = 1, 2. Применяя теорему Ролла к фуНКцИИ у|" '1 На СЕГМЕНТЕ [(г, (З], ПО»уЧаЕМ, Чта СущЕСтВуЕт ХОтя ОЫ Одиа тОЧКа С б]ХО, Хо[ такая, что ур'г(с) = О.
и ВЗ. Доказать, что если нсе нули много*глена Ро(х) = аох" -|- а|х» + ... + а„, ао |3 О, с действительными коэффициентами аго й = О, и, действительны, то его последовательные производные Р„, Р„, ..., Р„также имеют лишь действительные нули. ° я Предполагая, что все нули различные, по теореме Ролла получаем, что Р„'(х) имеет и — 1 действительный нуль; Р,",(х) будет иметь уже и — 2 действительных нуля и т.
д. Но так как при дифференцировании многочлена степень многочлена уменьшается на единицу, то получается, что все нули производных будут действительны. Если какой — то нуль многочлена кратный, то он же будет нулем и для производной от многочлена, т. е. также действительным. М 64. Доказать, что у многочлеиа Лежандра все нули действительны и заключены в интервале ] — 1, 1[.
< Многочлен Г„(х) = (хз — 1)" имеет на сегменте [ — 1, 1] 2и действительных нулей: х| = хз = ... = х» = -1; х +| = х»|з = ... = хг = 1. Оогласно предыдущей теореме, многочлен Р (х) имее| и действитеяьных нулей, расположенных, по теореме Ролла, в интервале ] — 1, 1[, что и требовалось доказать. и 85. Доказать, что у многочлена Чебышева — Лагерра , г1' 1.„(х) = с' †(х"е ») г(х все нули положительны. 1 Рассмотрим функцию р: х г х»е . Поскольку р(О) = Ип| аг(х) = О, то существует такая точка сг Е]0, +ос[, что оо'(бг) = О (см.
пример 81). Очевидно, гго'(О) = 1пп |о'(х) = О, + поэтому, в силу теоремы Ролла и на оснонании решения примера 81, найлутся точки бз б]О, 6 [ и бз б]бг, +гхг[ такие, что Ро(6) = О, г' = 2, 3, Кроме того, ооо(О) = О. Таким образом, ооо обращается н нуль в трех точках полуоси х > О. Поскольху гго|гг(0) = й|п ьг|г|(х) = 0 .|- при у' = О, и — 1, то, прил|еняя теорему Ролля и пользуясь г| — 3 раза результатом решения примера 81, полу гаем, что функция За|о |1 обращается в нуль в г| + 1 точках, лежащих на полуоси х > О, причем олна из этих то*|ек х = О.
Эти точки явл»ютс» концами и огрезков, на каждом пз котоРых к фУнкции ггг|о |1 пРименима теоРема Ролла, поэтомУ сУществУет, по меньшей мере, и таких точек ггь > О, |то ггог "1(г|ь) = О. Очевидно, рг»1(О) ~ О. Поскольку й (х) = е'х " (х) есть многочлен и — й степени, имеющий и нулей, то его нули — точки гм, причем Оь >О, 0=1, и. и 86. Доказать, что у много«лена Чебышева-Эрмита У»(х) = ( — 1)"е* — „(е ' ) все нули дейстнительны. М Рассмотрим функцию н: .о г е * . Очевидно, Йгг иО|(х) = О, поэтому функции иО|, у = О, и, удончетворяют услонияъг примера 81 на интервале ] — оо, +со[. Повторяя рассуждения, проводившиеся при решении предыдущего примера, приходим к выводу, что и обращается н нуль, по крайней мере, в одной точке этого интервала; и ' — в двух точках; ...; и "|в 1 б.
Теоремы Ролля«Лагранжа, Коши 149 в и точках. Поскольку Н (х) = ( — 1) "е~ иРО(х) есть многочлеи и — й степени, имеющий ровно и нулей, то его нули совпадают с нулями функции збй и все зти нули действительны. Ь 87. Найти функцию В = В(хэ, 26х) такую, что ~(хэ+Ьх~ — У(хэ) = ЬхУ'(ха+В тбх), если: а) г(х) = ах + 6х+ г, а ~ О; б) У(х) = хэ; в) у(х) = —; г) у(х) = е*. х м Применяя формулу конечных приращений Лагранжа к каждой из функций а) — г), имеем; а) а(хэ + Ьх) + 6(хэ -~ с«х)+ с — (ахэ + 6х+ с) = э1х(2а(хо + ВЬх)+ Ь), откуда В = —; б) (хэ + Ьх) — хээ = 3 «бх(хэ -Э В 0 х), откуда В(хэ, «2х) = ,хэ>0, с1х>О; в) 'д — — — — — э,, откуда В(хэ, Ьх) =,— э(ф+ — — 1) «хо(хе+ «бх) > 0; а г) э*э~~* — е " = Ьхе*'~ ~~, откуда В(хэ, Ьх) = — 1в — '.
В 88. Пусть ] э приО<х<1, х«э при1 < х <+со. Определить промежуточное значение с формулы конечных приращений для функции у на сегменте [О, 2]. ~ Исследуем функцию у' на дифференцируемость в точке х = 1. По определению односторонних производных, имеем У (1) = 1гп« 1 «ГΠ— (1~-,2х)э «1, . 1 У 1 — 1 = -1, г"' (1) = 1пп — ~ — — 1) = -1. 1 ' о* +а тбх «1+ Ьх Функция у" диффереицируема на сегменте [О, 2]. Применяя формулу конечных приращений к функции у на сегменте [О, 2], находим У(2) — У(а) = гУ'(с), О < с < г.
Поскольку у(2) — —, г"(О) — —, — х при 0<х<1, Г"': х э — при 1<х<2, то при 0<с<1, при 1<с<2, откуда с« = —, сг = «/2 — два промежуточных значения. ° « э' 89. Пусть функция у имеет непрерывную производную у' в интервале ]а, 6[.
Можно лн для всякой точки В иэ ]а, 6[ указать две другие точки х«и хэ из этого интервала, если (хэ) — (х ) ~ ( ) хэ х« М Если на интервале ]а, 6[ у'(х) > 0 и у отлична от постоянной на любом отрезке, являющимся частью ]а, 6[, то у возрастает на ]а, 6[. Тогда дяя любый хы хэ б]о, 6[, хэ > хы имеем 1(хэ) — у(х«) хэ — х« и для тех точек интервала, в которых У~(х) = О, равенство /2Ы.—.До1 г(,) хг — х, невозможно. Например, для функции у: х «х, — 1 < х < 1, при любых хы хз б] — 1, 1[ выполняется неравенство э э хэ — х«з з =хз+х. +х, >О, хэ — х« 150 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
