И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 31
Текст из файла (страница 31)
° Найти про»вводные Г'(2)), если: 40. х = ~/1 — у"(, у = ЬГ( —:,(( (у = У(х)). Л Найдем сначала г', = -(1 — 4(() ! (1 — чг[) = — (1 -. »г[) . 1 — — 1 3 бч(( у[= 2 (1 — (2()'= —, „, Ос(<1. 2 1у( - Я б,',.((2 ф,4,(( З 3. Производнаи обратной функции 135 Далее., пользуясь формулои пункта 3.2, имеем ! у! ! ((1 гв)4 ) в ..(, 1.. 50. у = (е, яп1, е со«1, г ), х = т+ т~ (у = ! (х)). М Поскольку г1у = (г1(е'«1пс), г4(в солт), Й(е')) = (япс+ солт,со«1 — «1пв, 1) е г(4, г4х (1+,гв ) «11, * г1у (е (язв+со«Ц вг(со«1 — яп1) е г1х (, 1+51! ' 1+51! ' 1+51!/' 51. у = со..«1+ !«(пз1, х = 21 — со«4 ((з = — 1: у = у(.)).
м Поскольку г1у = (-Зсов вял в+ Зляп всовв) Л, г1х = (2+яп4) г(1, г1у 3яп 21 г (х) = — = — е . в г1х 2(2+яп1) х = 31+1 (у = У(х)). «5, ° Имеем 1 — со«1 яв 1 с1гс вдт / с с Г!ь!=-'( '" +вз) 1 гг у !4!! откуда .г'(х) = ~( ),, И') ~ * У(х) — " г 54. х! + у ° =1 м подставив в данное уравнение дифференцируемое решение у = 1(х)! получим тождество г г х ! 1. (У(х)) ! = 1 дифференцируя которос, имеем х з + (1(х)) з у'(х) = О. Отса!да находил! ! )'(х) = —, х ф О.
° / 1(,)' х 55. пайти 1"'(х), если у = г"(х) и р = ил« (р, уг — — полярные координаты). Найти производньш 1' функций у ! х ! у, заданных уравнениями: 53. хз +" .д — уг = 4х. м Пусть у = 1(з') — дигрференцируемое решение данного уравнения. Тогда х + 2ху(х) — () (х)) = 4х (1) на некотором пнт граале. Поскольку все члены в тождестве (1) дифференцируемы, то из (1) после дифференцирования получаеи 2х+ Злу(х) + 2хт" (х) — 21(х)1"'(х) ьп 4, 136 Гл, 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной я Поскольку у = рсоз гг, х = ряп гг, то у = аггяп и, х = ар соя !г. Далее, Иу = а(япгг+ ггсоагг) Игг, Ых = е(соя гг — хяп гг) Игг.
Отсюда, если а(соя гг — ггяп гг) ~ О, находим Иу яп х+ усову г' (х) = — = лх сог я — гг Бш 56. Найти Уг(х) и Сг(х), если функции Сг н сг заданы неявно системой уравнений ( у, — у,'+3 =2, з з уг+угг+2х = 1. < Подставляя значения уг = ус(х) и уг = уг(х) в данную систему уравнений, приходим к тождествам Лг(х) — Л(х)+Зх я 2, Ггг (х) + уг (х) + 2х = 1, дифференцируя которые, получаем Я (х)С ,'(х) — 12 (т)гг(х) + ! = О, МХИ (х) + й(ХМ(х) + 1 == О Отсюда, если определитель ! 1,(х) -угг(х) ФО, С!(х) Сг(х) находим .р 1 + сг(х) .с( 1 гг(х) С!(Х)(Уд(х) + сг(х)) Сг(х)(гг(х) + гг(Х)) Упражнения дли самостоятельной работы 108. Показать, что следующие уравнения имеют единственные действительные решения у = у(х): а) х = Зу+ яп уз + сову — 1+ -у; б) х = 12у — 30у~ + 40уз — ЗОуг + 15у+ 1.
Найти одностороннюю производную функции у = у(х), заданной параметрически, если; 109. х = 2С вЂ” Сг, у = ЗС вЂ” Сз, в точке С = 1. 110. х = С+ ЗьГГ+ С, у = 2С вЂ” !ОЙ+ 1, в точке С = О. 111. х=япгг, у=созгС, вточкак С=О и С= —. г' Найти /'(х), если у = С(х) и: 112. агс48(хг+ уз) — !п(ху) — 1 = О.
113. яп — "+ — + ~/хг+ уз = О. 114 р-ф+ —, + 9(х + у+ у ) = 1 (9 — дифференцируемая функция), 115 уг (дд) + 9 („~) = 2. 116. 9(й(яп у)+ 2у — 3) — Зх+4 = О. 117. агсяп9(2у+ хг+ 1) = асс!6(у~). 118. е "' Са!Е" = 4 — у . Вычислить 1' (0), если у = С(г) и: 119. хг яп — + -" зга х = О, х ф О, и С(0) = О. 120.
хгагсгд "- + 16 (х + у) — ! = О, х ф О, и С(0) = — ". Найти Сг(х) и уг(х), если у~ — — С,(х), уг = Сг(х) удовлетворяют уравнениям: 121. ею ~гг"" ' = 1 — г, уз + хуг г= хг. 122. уг уз + — "Уь — — х = О, у( + уг —— * . ю+гг+г 128 уг+0(уг+ уз)+ уз+япх = О, 6(уг +уз + х') = х" Вычислить Сгу(О) и ИС(0), если у = у(х) н: 124. г:=С +(С),у=!2+С,СЗСр 81=!. 12о. х=С' — 4Сг,у=С вЂ” 5С,ЬС=41=1, 126. х = уа + Зу.
Найти У~(х), если у = С(х) н; 127. у = (ял С, соя С, с), х = ЗС+ С'. 128. у = (з!С~С, сйгС, С)г С), х = з)г С, 13! г 4. Производные и дифференциалы высших порядков ь' в!в 21 сов21 1 131. у=1 г з, г= ! . 132. у= . ), х=21+совг, ) ' ьзе! ( — сов 21 сйв21 ) ' 133. у = (йп(гуг + гг)! сог(уз + гг), г), х = бг + 1~.
134. у = (фЦу!), г, г'), х = 2гр(гз). 133. у = (ф(г), ф(гз), ф(гз)), х = ф(г'). (~ 4. Производные и дифференциалы высших порядков 4.1. Основные определения. Определение 1. Пусть производная исков!арой функции 1 дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции назьтоется второй производной функции 1 и обозначаепься Хо. Таким образом, 1' (х) = (у (х)) .
Определение 2. Если дифференцирусма (и — 1) — я производная функции У, пьо ее п-й ььроизоодььой называется !!рви!водная от (и — 1) — й производной функции т и обозначается Ипьок, Т(»)(х) (з»-ь(х))ь ьь с 1» Т(в1(х) Число и называется порядком произоодной. Опредоленне 3. Дифференциалом и-го порядка функции 1 называепься дифференциал от дифференциала (и — 1) — го порядка э!пой же функции. Таким образом, д Т(х) = д(д" '((х)), д ((х) = ((х), ьь Е (ь(. Если х — независимая переменная, то дх = совы и дзх = дзх т ... т д"х т й. В атом случае справедлива формула д"Т(х) = Т"(х)(дх)".
4.2. Производные и — го порядка от основнык элементарных функций. Справедливы формулы (а )!»ь=а !а~а, а)0; (в!их) '* = гьь! (х+ — ) 2 (сов х) = сов (х+ ); <»ь Т ььь!'ь 2)' (г )" =т(ьп — 1)... (т — и+1)х (-1)" (и — 1) х" 4.3, Формула Лейбница. Если и и и — и — кратно дифференцируемые функции, то (ие)ь"ь = ь! С,',и!'ьвь» Ч а 4.4. Производные и — го порядка вектор — функции, комплекснозначной и матричной функций. Если компоненты вектор — функции г ! х ! (1ь(х), Ях), ..., Уг(х)) и — кратно дифференцируемы, то ег"~(х) = ь1зз! (х) Тгь (х), ..., Д~, (х)), д"Г(х) = (д"~ь(х), д"Уг(х), ..., д"эза(х)). Аналогично для комплекснозначной функции 1 и матричной функции А имеем формулы: 1!»ь(х) = иий(х)+ьсь"1(х); д"Т(х) = д»и(х) +ьд"в(х); 12В ! л.
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной А!"!(х) =...; ашА(х) = и! "1(х) а!" 1(х) И"ип (х)... !1 иг! (х) Найти ('~(х),. если: 57. у(х) = зэп(.'). М По определению 1, и. 4.1, имеем ! (х] = (ээл(х )) = 2х сов(х ); Х (х) = (У'(х)) = (2х сов(х )) = 2 сов(х ) — 4х з1в(х ). М 58,,!" (х) = (х + !) !л'". м Поскольку (и(х) + хи(х)) = и (х) ч- си (х), то прн дифференцировании комплекснозначной функции число ! играет роль обыкновенной постоянной, поэтому ('(х) = е'"+ э(х+ !) з! = !е' х; ~ '(х) = !г' — хг'" = е" (! — х).
М ! (! ) = (2х сов ха, -2хсйп х, 2х); (ч (х) = (2 сов х — 4х э1п х., — 2эш х — 4х сов х, 2). и 60. у(*) = М Для нахождения производной от матричной функции следует продифференцировать ее матрицу поэлементно: и !ь эйха+2 'сй .',у' =2 ж ! ейх! + 2х эЬ ха ! ! Г (х) = "* '" ' ' , 1 (х) б1. ! (х) = 1и!э(г), и(х), и(х) 1 ' ' (х) ) м Поскольку ! (х) = (1л ээ(х)), и (х), — и ~~ ())) р (х) и(х) и (х)и(х) — и(х)э (х) (1л р(х))' =— 1э(х) э(х) ээ(х) и /ээ'э( ,, !! и'и — ии' 1 1 / рэ1э — (р')~ и (ииэ — иио)и — 2и'(и'и — ии') э и б2.
Найти уи', если у = 1(е'). м По правилу дифференцирования сложной функции имеем у =г'(е')э (в этом примере штрих у у означает производную по аргументу еэ). Для вычисления второй производной пользуемся определением 1, и. 4.1, указанным выше правилом, а также правилом дифференцирования произведения. В результате получим уи = (~'(са) е") = у"и(с ) еэ + ('(е*) Е . 50. ! (х) = (сйл х', саэха, хэ).
° Е Для нахождения производной от вектор — функции следует продисрэреренцировать каждую ее компоненту, поэтому имеем 3 4. Производные и дифференциалы высших порядков 139 Аналогично находим третвю производную у =У (е )г' +33 (е")е *+ г'(е )е .> 63. Нанти гну для функции у = е, если: х — независимая переменная; х — промежуточный аргумент (зависимая переменная). й Первый дифференциал обладает свойством инвариантности, поэтому в обоих случаях Иу ж г1(е ) = е г1х. Далее, по опредг.ленню 3, и.
4Л, й у = Ы(3гу) = Ы(е'г1к). Дифференцируя последнее произведение, получаем ~1(е г1х) = Ы(е') Ых+ г И(4х). (1) Если х — независимая, то ~1л = соггз1 = й. (,'ледоватеггьно, 4(<Ь) = й~к = О и из (1) находим 3 у = Ы(е ) Ыт, = е г1х ух = е (як) . Если же к — - промежуточный аргумент, то Ик, вообще говоря, не является постоянной и позтому г1(йх) = ~Рх ф О. Тогда из (1) получим 3 у = г'(уг) -1- е И х = е ((йх) + И х) . > г и 64. Найти И у. если у = агссд —, где и, е — дважды дифференцируемые функции некоторой переменной, М Используя инвариантность формы первого дифференциала, имеем ( и) ( и)' (и) 1 еЫи — иг(и егги — и4о 1 4- где штрихом обозначена производная по (-") .
Далее, по определению 3, и. 4,1, 3г 3 (ойи и~и) откуда, по правилу дифференцирования частного, имеем г ~1(ег1гг — ггЙе)(и +и ) — (лг1и — иг1е)(г1(и +е )) Поскольку с1(ийи — и <1г) = ли~1и+ы1~и — ггиг1е — ил~а = игг~гг — и и~гч л(и~+и~) = и(и~)+г)(е~) = 2а г1и+ 2а ~1гб нз (1) окончательно находим е 3 и — ил' и 2(ии((г1и) — (г1г~) )+ (е — и ) Миде) и у— ггг + лг (иг + иг)г 65.
Найти производные у',, улг, у"г от Функции у = Д(л), заданной параметрически, если г =Л вЂ” С, у=31 — 1 М Поскольку у,', = — 'л (у(х)) = -(~-'"-~ = — „", то 3(31 — 1') (3 — 3С') 31 3 3(21 — 1г) (2 — 21)гй 2 л л ~ щг г Далее, у,г = — „,(у.,) = — „,, поэтому «И(+ )) ' 3 1(21 — сг) 2 (1 — 1) 31 4 (1 — 1) з з,и \ 4(г — О) 3 3(21 ег) 2 (1 1) 31 3 (1 1)З ' 140 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 66. Найти ув, у"о от функции у = у(х), звдамной уравнением х +у =5ху. 2 2 3 ч Пусть у = 1(х) — дважды дифференцируемос решение данного уравнения.
Тогда дифференцируя тождество х'+(у(х)) = бх(у(х)) по х, получаем 2х+2((х)у'(х) = 5(г(х)) + 15х,У (х)г'(х), откуда г" (х) =, —, если 15хУ (х) — 27'(х) Ф О. 2х — 5У'(х) 3 15хУз(х) — 27(х) ' Далее, по определению второй производной и правилу дифференцирования частного, име- ем ~и(*) = (Г(*))' = (2х — 51 (х))'(15х)' (х) — 2г (х)) — (2х — 57 ~(х))(15х«"~(х) — 27 (х))' (15хЯх) — 2 ((х))з (201~(х) — 75х7«(х) — ббх~Х(х) + 4х)Х'(х) — 4Х(х) + 751~(х) (15х(з(х) — 2((х))з у = 2(1 — х) з — (1 — х)5, « « 1«оо> у « Х <«оо1 у~ 1 = 2 (1 — х) з~ — («(1- х)5 68. у = х вЬ х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
