И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 27
Текст из файла (страница 27)
а,п„ ( 1) а11а22 ° а ! ~~' ( 1) и11и!22 ... а ! +...+~' ( 1) и !1и22 . ли =Е- '' а„а;2 ... а!и а21 агг ... а2п а11 а,э ... аг + а21 и22 ° и2п ! а1 ! а2п агг аы аг! агг ! а„1аг..,а„п г 1 ап2 ° . ап а!1 и 2 а! т. е. получаем формулу (2). Аналогично,исходя из представления В (х) = ~(-1)паг„аэ„... а,„, получаем формулу (1). Приведем примеры вычисления производной функции в точке и ее окрестности.
12. Показать, что функция Х Эцг — Х , г 0 е г 1хп- имеет разрывнук! производную. Ч При х ~ О элементы данной матрицы пмеют конечные производные, которые вычисляются по правилам пунктов 1.2 и 1, 1, Полому по правилам пункта 1.6 прн х ~ 0 1 О 2хе В тогке х = 0 по определснп!о 3, п.
1.1, имеем Ь сйп — „ 2 1 и!!(О) = 1пп = О, а12(0) = 1, аэг(О) = О, иэг(0) = О, 1*-о Ь где г аг!(х) = ) х э(п-, '( о, хф0, х= О, 2 агэ(х) = е агг(х) = х, а!!(х) = О, Таким образом, 2х э1п — — соэ 1 у ! 1 2 0 2хе хфО, г': (2(х) = Исследуем теперь на непрерывность матричную функцию (2, элементарные функции, поэтому по известной теореме функция Далее, рассматриваем .! — 0 -о У 2 1 ! 2х ып — — соэ — 1 !пп х(х) = 1!пи 0 2хе Прн х ф О элементы ее— Ьп непрерывна при х ф О. Поскольку 1 11 !ьпг (2х згп — — соз — ) -э 1 х х) 117 1 1.
Производная явной функции не существует, то !!ш р(х) также не существует. Следовательно, функция !Л разрывна в точке .-о х = О. 13. При каком условии функция 1 Х:х ~ )х!" э!и —, хФО, и У(0) =О, гл > О, имеет: а) ограниченную производную в окрестности начала координат; б) неограниченную производную в этой окрестности? М а) При х ~ О производная находится по правилу 2), и.
1.2; 1 1 : х ь гг)э:) эдв х л!и — — т~х) эял х соэ —. )х!'" )х) (а) 1 Прн х = О функция х ь мп —,„, производной не имеет, поэтому указанное выше правило применить нельзя. Использовав определение 3, и. 1.1, находим, что (Ь)а мв — „, г' у (0) = 1пп = !цл ~ )Ь)' гйп — эдпЬ а-о Ь а-о (г )Ь) существует только при и > 1 и равна нулю.
Следовательно, производная существует в окрестности начала координат при и > 1. Очевидно, она ограничена прн п — пг — 1 > О, т. е. при и > 1+ пг. б) Как видим по (а), производная будет неограниченной, если и — 1 < 0 или и — гп — 1 < О, откуда и < 1 плн и < 1 -~- щ, т. е. достато'ого, чтобы выполнялось неравенство и < 1+ ш. С другой стороны, для существования 1"(О) необходимо иметь и > 1. Таким образом, если 1 < и < иц то у' является неограниченной в рассматриваемой окрестности. 14.
Показать, что функция х э )соя -(, х ~ О, О, х= О, в любой окрестности начала коорд1гнат имеет точки, в которых конечная производная не существует, на им~ет конечную производную в точке х = О. м Функция х ь- х имеет производную всюду. Функция х г )соэ — ~ имеет производную всюду, эа исключением точек х = 0 и х = хг = —,, Ь Е К. Поэтому производнуго функции т гаьг 1 прн:г ф 0 и х ф хь можно найти как производную от произведения х )соэ — !. В точках же 2 ! х = 0 н х = хс производную 1' вычисляем, используя определения 3 и 4, п. 1.1. Поскольку — Ь(соь (, то адо1 У'(0) = !нп Ь ~соз — ! = О, а-о ! Ь т.
е. ~ имеет производную в точке х = О. Далее, Ук . = !шг — + Ь соз 2Ь+ 1! -хе Ь ~2Ь+ 1 Г ) 2+ (2Ь+ 1)?г 4 . 1 (гт(2Ь+ 1) ( (2Ь+1) Г .( + ) .(2Ь+1)'! т. е. производная У'(хг) пе существует. Поскольку Че > О зй Е У,: !хс~ < е, то в любой с-окрестностн начала координат имеются точки, в которых производная не существует. В 15. Показать, что функция ! ып х, хбПЬ имеет производную лишь в точках ха = Ьг, Ь Е Ж. 118 Гл. ", Дифференциальное исчисление функций одной переменной Ч В тачках х ф гг функция Х разрывна, поэтому не может цметь производной при х ф ха, Далее, в точкак г. =- г с чо опрг поленц!о 3, п. 1.1, имеем Х( ) !гп Х(хь+Й) — Х(з' ) 1, Х(ха+ Й) Й Если ха + Й с гд т Х(гч + Й) = гйпг(хь + Й) =- йп /г и 1гьз — "' = 1пп '— '"„= О.
Если же г г-з ь-с хс + Й б й(!(,". т г /'(г с + Й ) =. О и 1пп — — *' — '1 = О. Таким образом, Х'(хь) = О, > Для функцвгг / папгп лг в!к / и !г!гавуго Хг производные, если: 16. Г: г г- Гг,',!и тг, — '- --,-, г г1 П, и Г(О) = (О, О). !--, 'с Х По оггргзгс.гс!гн~о !, и. 1.!, Гх .
.х е- (Хгя(х), Хгх(х)). Поскольку при х ф Й, Й б го существует /.!! г) —. г,'г)«балх. т. Хгг(х) =- Х, (х) =- л(х]солях при х ф Й, Аналоги'гио при х ф 0 Хг(г) =- — —, + — - — - —,, !озтому Хга(г) = Хг — (т) = Хг(х) прл х !е О. Далсг вьпгсг зз и /;, 1/;) и /~, (О). Имеем Х /1 -/-/г) — Хг(Й) ( — 1)ь(Й+ Й) /,', Й!= Оп з!п ггЙ, ь- ..'.а Й а — хс Й откуда Да.(1! --= (-1) Йт, Х,' .(Й) = ( — 1)а(Й вЂ” 1)л; Хг(Й) — Хг(О) /",+!О) = !пп — — ' = 1пп ь-хс Й а-ха 1+ е1 откуда Х'-(0) = 1. /г (О) = О, Таким образом. ! е Р.(г ! =.
/т(г) =.: л(х!сов ггх, + !+г' 1+с еслих~Й, 1.р . и !'.„(/) = ( — 1) Й, —, + 1+сь !'. (/г) =. ! -!) (Й вЂ” 1)гг, — —;+ 1+гр если Й ф О Ее ~и /. = У',,и) = (и, 0), У' (0) =-. (-, 1). ! 17, Х:х~, ч'! 4 Фупкцвя,, и -,,'и пв гт конгчнуго производную при в > О. Функция ф: х ь и = 1 — с ' вмг ор гпзводную прп всех г. Поэтому, если х ф О, то функция Х имеет пронзводнукг и г лнг,кпо найти как производную от сложной функции.
Итак, нрн х Ф О имеем 2 /з(т) = Х-'(х) = Х'(х) = ф — с ! 1. Производная явной функции В точке х = О находим /т(0) и / (О): ~!с~ )11 — с " 1 —. е /х(0) = !сп — М1 — с " = !пп — (( ' = ш !пп = ш1. ~ л-во 6 л-ло 6 Ч йг л-хо 1сг 18. Показать, что функция ) о, х =- О, непрерывна в точке х = О, но не имеет в атой точке нн леной, ни правой производной.
/,с Ыл м поскольку йоп с(в, з!сс —, ) = О, /(0) = О, то по определению непрерывности в точке л-о (, функция / непрерывна в нуле. Далее, /(6) — /(О) . агсьш !сг . 1 /»(0) = 1пп = !сш мп —. с1 йо 6 л-во йг 6 .сся Л 1 Если й = 6» = — н 6 шоо, то 1пп — г — »-зш — = 0; если же 6 = 6» = — и г» с л ст ' лс глг+ 6 "" с'л 6 жоо, то Бссс — г — 'зш — = 1. л» (',ледовательно, односторонние производные не существуют. 19.
Найти в расширенном смысле производные /' (хо) и /~т(хо) в точках разрыва хо функции /, если; /гг + гз а) /: х с-с; б) /: х с-с яд»с (х — х ). М а) хо = 0 — точка разрыва первого рода. ( //г ! 1г /(шО) = 1пп начала найдем /(шО). Имеем 1пп — = ж1. (6( ло 6 Далее, согласно опредсленисо 4, п. 1.1. (йсг + /сз ~ (с г/сг +/ э (6( /л(О) — 1пп — !пп с -хо йг л-яо йг с/1+ 6 6— 1 . »/(+Ь вЂ” 1 . 6 1 1пп !пп !пп — ж ~-. с-яо )6) л( во 6 л оо (6( 2 б) гсс = О, с:г,.с = ш! - — тачки разрыва. Находим: /(~0) = !сссс яб»16(1 — Ус') =+1, л яо /(1 ж 0) = йш зкп ((1+/с)(1 — (1+ 6) )) = ~1, л-Ло /( — 1шО)= !сси зяв (( — 1+6)(1 ( 1+6) )) = г1 ° л-яо (,'огласно определению 4, п.
1.1, получаем /'(0) = Рй '"" ( ) = й + = О, 6 лпло й ядп ((1 + 6Ц1 — (1 + 6) )) ~ 1, збп ( — 26 — Зйг — йз) ~ 1 /с (1) =- !пп — !шс с -ва Ус с — яо 6 .рс (( — 1+6)(1 — ( — 1+6) )) ж1 /я( — 1) = !пп яо 6 ~1ж! = 1пп =О, л яо 6 (-26+ зйг — 63) ~ 1, Н ~ 1 Рйп = 1пп — ж О. в л-яо 6 л»яо 6 20. Может ли функция / в точке ес разрыва иметь конечную производную, бесконечную сцсоизводную? 12О Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной М Известно, что функция, имеющая конечную производную в некотпрой тачке, обязакельно непрерывна в ней.
Следовательно, в точке разрыва конечной производной функция иметь не может. Что же касается бесконечной производной, то, как показывают примеры, ответ положителен. Действительно, взяв ) (х) = «пах при х = О, имеем «КвЬ . 1 У'(0) = 11 ' = )М, -=+ л--о Ь л- — о Ь Уь(0) = Бш '— = !пв — =+гю. М «ОлЬ .
1 л-+о Ь л-+а Ь д(хо) = О, Г(хо) = О, — < Ьг', ~\д(ха) Функции у и д непрерывны в точке х = хс, то предел (1) существует. Это видно на примере функций Г: х «)х), д: х «(х!. Обе функции не имеют производнык в точке х = О, однако ил произведение у(х) д(х) = х, очевидно, имеет производную, равную нулю. М 23. Пусть )': Е С Н И, где множество Е имеет предельную точку хо б Е. Конечный предел „„, .Г( ) — У(*) а(„) (1) -*л х — хс (*ее) назовем проц«водной функции У в точке хо по множеству Е. Найти производную по множеству Е в точке хс для функции Г, если: а) г(х)=1 на Е=«к~~=о,х=1,—,—,...
г) б) г(х)юг ' ( на Е=лг. 1 1 хб '2'3' У' О, хек чл Ч а) Множество Е имеет единственную предельную точку хс = О. Используя формулу (1), получаем 1 — 1 Гл(хс) = Ги — = О. *-э х 1«вк) 21. Можно ли утверждать, что сумма Е(х) = у(х) + д(х) не имеет производной в точке х = хо, если: а) функция Г имеет производную в точке хс, а функция д не имеет производной в точке хо; б) обе функции Г и д не имеют производной в то <ке хо? м а) Исходя из определения 3, п. 1.1, имеем ?ЬЕ(хс) 1.
)ггЬХ(хо) 21д(хс) Пусть производная функции У в точке хс существует, а производная функции д не существует. Тогда Иш — ~~-'-') = У'(хо)., 1пп — «( — '~ не существует. Следовательно, предел в (1), л-а ! ' л а л как легко установить от противного, не существует, т. е. производная г '(хо) не существует. б) В некоторых случаях производная г '(хо) может существовать несмотря на то, что обе функции У и д ее не имеют. Например, если Е(х) = ф(х) + (Лс(х) — ф(х)), где 1« имеет производную в точке хс, а ф не имеет. р 22. Можно ли утверждать, что произведение Е(х) = г (х) д(х) не имеет производной в точке х = хз, если: а) функция Г" имеет производную в точке хо, а функция д не имеет; б) обе функции Г и д не имеют производной в точке хо? М а) Вообще говоря, нет.
По определению Э, п. 1.1, имеем Е (хо) = 1)п1 1 — д(хо) + Г(ха + Ь) )' АУ(хе) гад(х.) л) л — «1 Ь Ь (1) Анализируя (1), приходим, в частности„к такому выводу. Если функция д определена при (х — хо( < Б (6 > 0), У(ха) = О, ~ — ~~'-~ ~ < М (ЛХ = сав«г), то Г'(хо) существует. Например, если У'(х) = х, д(х) = (х(, го = О, то Е'(0) = О. б) Если пределы 1пп ~,' " и йш Я, ' не существуют, но выполняются, например, услол-а л-о вия 11. Производная явной функции 12'1 б) любая точка из множества и является предельной для множества Оа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
