И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 28
Текст из файла (страница 28)
согласно (1), рассматриваем только те предельные точки, которые принадлежат 1л, Пусть ха б !()!. Тогда УЯ(ха) = й1н У(х) — Г(хо) . х — го = йн! = 2хо. м х — хо О Х вЂ” ХО 1 аЮ 1ааа) 24. Пусть а, Ь: ЬЬ Е", а = (а!(х), аг(х), ..., аО(х)), Ь = (Ьг(х), Ьг(х), . °, Ь (х))! х б )с, !![. Компоненты а,, Ь, имеют конечные производные на )с, !![. Показать, что скалярное произведение (а, Ь) также имеет производную и ее можно найти по формуле (а, Ь)' = (а', Ь) + (а, Ь').
и По определению 3, п, 1.1, имеем (а, Ь)' =!ш! — ((а(хо + й), Ь(ха+ Ь)) — (а(хо), Ь(хо))) = ь-а й 1 = !нп — ((а(хо+ Ь) — а(хо), Ь(хо+ й))+(а(хо), Ь(хо+ Ь) — Ь(хо))) = ь о Ь = 1пп ~~, Ь(хо+ 11)! + ~а(ха), [ у = (а (хо), Ь(хо)) + (а(хо), Ь (ха)) . гу г' сга(хо) / Г1Ь(х,) 1 '! При установлении этого 1гезультата мы воспользовались следующими утверждениями: а) Производные а' и Ь' существуют, поскольку, по условию, существуют производные от их компонент. б) Скалярное произведение обладает свойством непрерывности, поэтому можно совершить предельный переход под знаком скалярного произведения. в) Скалярное произведение обладает однородностью, поэтому множитель й можно внести под знак скалярного произведения.
г) Вектор-функция у непрерывна в точке ха. М 25. Пусть 1:)а, Ь[ — ! Е, где Š— - евклидова пространство. Примем, по определению, в качестве производной функции !" в точке ха б )а, Ь[ предел 1 Г'(ха) = 1! — (4'(хо+гйх) — Г(хо)). (1) а агах Показать, что если Л(х), у(аг) — соответственно функциональная матрица н вектор-функция, имеющие конечные производные на ]а, Ь[, то производная А(х) у(х) вычисляется по формуле (А(х) у(х))' = А'(х) у(х) + А(х) у'(х).
М Используя определение (1), имеем (А(х) у(х))'~ = йш — (А(хо + й) у(хо+ й) — А(ха) у(хо)), хо б )а, Ь[. (2) Поскольку существуют производные Л'(хо), у (хо), то существуют пределы Йп ! -о А'(то), 1пп -т(ООП! = у'(хо), и из (2) предельныи переходом находим ' л-о (А(х)у(х)) ~О = !пн „у(хо + Ь) + 1ш! Л(ха) = А (ха)у(ха)+А(хо)у (хо) и. ! . гОА(хо) гзу(хо) 26. Пусть Л(х) -- квадратная матрица, имеющая конечную производную и обратную матрицу А '(х). Показать, что (А (х)) = — А (х)А'(х)А '(х).
М Пользуясь определением (1) из примера 25, сначала устанавливаем, что для произведения матриц А, В, имеющих конечные производные, справедлива формула (А(х)В(х))' = А'(х)В(х) + А(х)В'(х), на основании которой (А(х)А (х)) = А (х)А '(х) -)- А(х) (А (х)) 122 Гл. 2. Дифференциальное исчисление фунхций одной переменной Отсюда, в силу тождества А(х)А (х) = 1 (единичная матрица), следует А'(х)Л (х) + А(х) (А (х)) = О (нуль-матрица).
Наконец, умножив слева обе части этого равенства на А '(х), приходим к требуемой формуле. М 2гт. Пусть А[х) — матрица, имеющая конечную производную. Всегда ли справедлива формула (Л" (х))' = пА" (х)А'(х), п Е Иг (1) М Уже при и = 2 замечаем, что приведенная формула, вообще говоря, не выполняется. В самом деле, (Аг(х)) = (А(х)А(х))' = .4'(х)А(х)+ А[х)А'(х). Отсюда также видим, что гформула (Ц будет справедливой, если матрицы А(х) и А'(х) перестановочны. Оказывается, что и в общем случае пересгановочногть матриц Л(х), Л'(х) является досгато шым условием правильности формулы (1). В самом деле, поскольку в силу (1) (А" (х)) = (А"(х)А(х))' = (А"(х))'А(х)+Л"(х)А (х) = пА™ г(х)А (х)А(г)+А"(х)А (х) = = пА" (х)Л(х)А (х)+ Л"(х)Л'(х) = (о+ 1)А"(х)А'(х), то, в соответсгвии с методом математической индукции, заключаем, что формула (1) справедлива Угг Е И.
м 28. Найти сумму !в + 2 + Зг + ... + п'. М Поскольку [з + 2эг: +,!" хг + ... + пгх" ' = (х42„(х))', где гг гг — (2л -[-2п — 1)х -[- (и + 1) х — х — 1 Ф (х)— хф! [г — 1)з (смл 1!яшко И. И. и цр. Оправе пюе пособие по математическому анализу. К., 1г17З. с[. 1, с. 220), то 1 + 27 + Зг+ ... и' = !пп (хц„(х)) = Бш 4гв(х) 4- йш Ц',,(х) = 1 * г гг(п + 1)(2п+ 1) п[ггг — 1)(Згг+ 2) пг(п+ 1) б 12 4 29. пусть А(г)= ' ', ', ы=совзи вгв ггх сов щгг ! — сових вгвыг ) ' Показать, что матрица А(г ) удовлетворяет дифференциальному уравнению Л '(х) + ы А(х) = О, А" (х) = (А (х)) ° Имеем г сов хх — в!гг [эх 1 и г гг яв ых сов гх вш ггг соз асг ) ' [ — сов ых в!гг ггх откуда и сЛедует указанное уравнснш .
г Л х 'Л 30. Пусть б (х) = !+гЛ+ г .. +, где А — постоянная матрица. Установить 2! и! дифференциальное уравнени~, которому удовлетворяет Вг(х). М Вычисляя производную, находим г -г В„(х) = Л+ — А + — А + ... + А". 1! 2! (и — 1)! Далее, умножая выражение для,'г' (х) на Л и вычитая полученное из гг((х), имеем и! 11. Производная явной функции 123 Это и есть требуемое уравнение. М Упражнения для самостоятельной работы Найти производные следующих функций: ! !*-»! Ь 1, / ! х» — (п ( — ( — — ' агс16 х— ггэ (»+1 ( э! 8(э»-\)г эг(*» — 0 ' .
г * '~»2-~ — ~ » !» 3. Х . х - (п (гд И + В ~ — — „„. — 7,—...- + 4 г 1 ег +ч/2е! +1 1 4. / ! х » — )п , , + — а!с!6 , — е ! ( 2(е + 1)) + 3, Зь/2 э "' 4»/2 ег — ч2»! +1 э»2» г 5. / ! х» а!с!6 ч/сов2х — т/соэ2х. 6. /: х» яп (ясов ох) +созг(яэшох). г 7. Х ! х»- ';-р-т. 8. /! х »,', ~„~о" . 9. Х ! х» агсяв (сових + яп ах). 10. / ! х»- эш(агсяп ох+ агссоэох). 11. /! г: » Аяп (дх+-г). 12. /! х»- г "., 13.
/! х» —,. 14. /! х»- сгд(а!6(5агсгд (сх))). 15. /! х»- (!од„) /='' ) . 16. / ! х ! е ' ""гш!. 17. /! х»- (п"(1и ()и" х)). 18. Х»х» х"" +(э!ох) . 19. /:х» х * . 29. /»х» х»ц'"»*. Найти производные следукццих вектор-функций: 21. Г! х» (атосов —, агсвц»(явх), ьши(х), соэо(х)).
! 22. Х ! х»- (»! ' !', 11! иэ(х), сЬ оэ(х), «Ь з»(х)) . 23. 7 ! х (2!х, 3! — х', яп яд сов ц»х). 24. Г ! 1»- (е»о соэ г, е ' яп1, и (-,), и (яп1)) . 25. К ! гг» (р(р) эгп ьг, р(!г) соэ р, рг — хр, р! — хг,о) . 26. Г: р»- (рэги р(р), рсоа;о(р), р (р) — г р(р), р (р ) — г: р(р )).
27. Г ! »г» (эгп(ег'"), со" '"', 9(яц х), »р(соэ х)) . ::-(, э!» »*», ' ~» -"") 29. Г ! г!» (/» ( ',Г) Хг (а(х)о(х)), )э (яиц (и(х)))) . 30. ) 7: 7 /,'"( ),; б) 7: ° (-,'(/( )(, гмпг, *- ьх). !.= ! 31. На кривой найти точки, в которых касательная к цей коллицеариа укаэанному век- тору, а крипая описывается следующим радиусом-всктором (а» вклидовом конечномериом пространстве Е): а) Г ! !» (3 солт, 4яп /, 5!), О < 1 < 2т, а = (О, 4, 5); б) 7 ! Г (г, Г', Гэ), 9 < ! < 4, а = (2, 4, 6); в) 7 Г» (е' г ! а)г!) -оо<Г<+м. а=(1 -1 9) 32. Найти величину скорости движения материальной точки по кривой, если радиус— вектор ее имеет вид: а) 7(1) = (ып !, Зсоа!) в мо.
С =: б) 1'(!) = (-1 !', 3 гг) ц . е ! = /л! в) К(Г) = (яц —,, соя —, 7) в момент ! ! ! ! 33. На данных траекториях найти точки покоя, если грасктории оцисываготся следующими вектор — функциямн. а) Г ! !» (эгп(ггх), соэ(сх), с)»!); 6) Г ! !» ~-1~ -~-(1 —.г)г, 21г — э!+ 1, — + к~! — 17!); в) Г ! ! (э!+ 21г + З(, 2хг+ -'С вЂ” 414 3). 34. Показать, что траектории, которые опнсываклся слгдугощцми вектор-функциями, ортогональны: а) Г! .' !» (1яп !, !сох!, 1) и Кг .
!» (4соэб — гяп!, 2); 124 Гл, 2, Дифференциальное исчисление функций одной переменной б) Г! !1! (-'[72(1)[, и (1), и (1)) и 72.1! (у, — —,, 1) 1. 35. Найти кинетическую энергию системы материальных точек с массами гп, движущихся по следуюп!им траекториям: /ю! а) га ! 1! 11 †,, вгп 221, сов!аг) (й = 1, и; пг! = 1); б) 1а !1 ! (агсйп(гйп 41), плесов(сов И)) (й = 1, и; шь = йр). 36.
Найти производные следующих комплекснозначных функций: з а) г'!г! г)пх+1е, в) 1 ! х !- сов (х + ггз)! б) у ! х !- с' '(сов ог+ глйп ох); г) У г ! 1пз(2г 4 гхз), Найти производные следующих матричных функций 37. ~'!х~ ',, 38. ~!г~ а!*+ а! *!~*'+1 '*!»'*.!»'а.**! ) 1 агссов (щсгд (агв1! х*)) 1 [г [г[[/ 42.
У!х!- а (и ... и(г)) — -(т) — 1п (а(г) 1п и(г)) О ~ (п ![соз †,[ 2 ти (х) !.= ! ь=! йп х '' г г) ип З.с вгп 4х 49. П ст ь2п 2х вш Зх зш 4г в2а Зх вш Ох яв 4х вгп 5!х в1а Ох вп! 7г вш Зг вп! 4х з2Н баг А(х), В(г) — арункцпональные матрицы, имеющие конечные производные. у ь Показать, что (Ое! (А(х) В(г)))' = (а1ег А(х))' г1е! В(г) + г!е! А(г) (г!ег В(х))'. Найти производные функций (, если; з1п х.г, х Е !Г!', О, х ЕКЯ. 51. а) г(2!) = ш1 (сов б); б) 1(х) = впр (со*б). 52. 1(2!) = соз — "' 1ш! хз" а<1< — <1< г 53. а) )'(х) = !р(аа(х)); б) 1(г) = р(2)2(г)); в) У(х) = й(р(х)); г] У(г) = й(й(г)), где х, если [г[ < 1, [ е*, еслнО < х <+~, х, если [г[ > 1, 1 1, если — оо < х < О. Вычислить производные функции ) по множеству, если: 43.
1(х) = е при 2: = —, и Е ЬЬ 44. Х(х)=вш2г при хЕЕ, Е=(1, 45. 2(х) = х)п(1+ гз) при .г Е Е, Е = (1, ьг2, '-.. чг/ЗЗ, —, ч24, 46. ((х) = —,' 2 при х Е Е, Е = !()! 47. Пусть а = а(х), 12 = Ь(х), с = с(х) — вектор-гйункции (а(х), Ь(х), с(г) Е Е ), имеющие конечные производные. Доказать, что; а) [а(х), Ь(х))' = [а'(г), Ь(г)) + [а(х), Ь~(г))! б) (а(х)Ь( а)с(г))' = (а'(х)Ь(х)с(х))+ (а(х)Ь'(х)с(х))+ (а(г)Ь(х)с'(г)). 48. Найти производные от следующих определителей: г з с 2* З г 2 х г х' с с е ), ) ЯПГ СОЬГ, 2 3 З 2 22 зх а ' ! 2 ! б) .с г' х; в) е е' в — сов г з!пг 2 ! а 3. ! 3 х" х х е" с' с 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
