И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Если же хо = й, то У(1) = 12 у(й — 0) = !ьпь [х] = й — 1, т. е, функция Г терпит разрыв при -1 — О хо=о, хбЖ. Определить точки разрыва и исследовать характер этих точек, если: 254. у(х) = *,, х ~-1, У( — 1) =О. .)г ' 42 Имеем !нп 1(х) = -со -1-О !пп Х(х) = — со, --ьаа следовательно, х = — 1 есть точка разрыва типа полюса. М 1 1 255. у( ) = , *41', б иЦ-1, о, 1), у(-1) = У(о) = У(1) = о.
:1 ь и Функции ~ непрерывна при х б Щ-1, О, 1) как элементарная, х — 1 х — 1 1ии Г(х) = йш — = ~со !пп Г(х) = !пп — = — 1; 1пп — ььа — -ьаа х+ 1 *-о о х+ 1 Поскольку х — 1 у(х) = !1 — = О, «-1 2+1 У [нт+ — — О = йш (-1)"(соэх+э!их)+2444211 = Я(211+1), 4 ) «-«ад-о 4 т' „у ь' лу . у, ту у ((11 — 1)т+ — ) = ( — 1)" [соэ 11(11 — 1)т+ — ] + э!в [(11 — 1)т+ -)) + 24/42 (н — 1). (2) 4) 4 4) Далее, полагая в (2) вместо н число н+ 1, получаем у (их+ -1! = ( — 1)«ы ! соэ ( гьх + — 1! + э!в (гьт+ — ! ) + 2ьг«2(гь + 1) = эго (211 + 1). 4) Итак, значения функции Г в точках нт+ —, н б Ж, равны ее соответствующим предельным 4' значениям слева в этих точках.
Поэтому 1!ьункция Г непрерывна в каждой из точек нт+ —, гь б К. А так как ранее установлена непрерывность во всех промежуточных точках, то она йепрерывна на всей числовой прямой. и Ькх !22+ х1 у 251. 1(х) = агс4д — + гг [ ~, х ~ нт+ -', У [гьт+ — ) = нгг, н б Е, х б И. ого [ 2 [' М Если [ — *1 = н и х ~ нэ + —, н Е К, то х б ) ньг — —, ньг+ — [. Сужение функции У 2« 2 ' 2' г на каждый из интервалов [нт — —, от+ — (, н б У., есть непрерывная функция г' 2 !ях х ь агсьд — + юг. /г Остается проверить непрерывность ьрункции Г в точках нт+ —, н Е 7.. Имеем 2 [ььх+ — — О) = !цп ~ага!я — + ньг = нт+ —, г у (ыг+ — +0) = !пп агсад —, +(и+ 1)т = и г+ —.
...,,а ) 2 г таким образом, у (нх + — — О) = Х (их + -" + О) угь 6 к, и, следовательно, функциа Г непре- рывна на И. и 252. 1(х) = [х]([х] — (-1)россо тх), х б И. ч Пусть [х] = ьь, тогда н < х < н+ 1, н б Е. Сужение функции ) на полуинтервалы [гь, и+1[, нб7, [ О. Непрерывность функций первого рода. 258 . у(х) = , х ~ О, х ЗЬ 1, у(О) = у(1) = О 1 1 — е'- м Имеем 1, 1 — х Бш 1шь ', — = ~со, х ! — е<-' 1 — о< т. е. х = 0 — точка разрыва типа полюса.
Далее, 1 !нп =1, -<+о 1 — е' — * 1 1пп =О, -< — а 1 — ° <— поэтому х = 1 — точка разрыва перного рода. ~ 259. у(т) = [.], < 0 И. М Если [х] = и, то х 0 [и, и+ ![ и сужения функции у на полуинтерваяы [и, ьь+ 1[ х нх, х Е [ьь, ьь+1[, непрерывны п!ьн лнэбом и е Х. А так как У(ьь) = ьь, У(п — О) = 1!ь<ь (и — 1)х = (в -'1)ьь, то »-а точки х = и являются точками разрыва перного рода. м 260. у(х) = [х]зшхх, х е'и. и пусть [х] = и, тогда и < .г < и+ 1 и сужения Функции у на [и, н+ 1[ х< ььз!ььхх, х 0 [ьь, ьь+1[, и с Ж, непрерывны. Остается исследовать непрерынность в точках х = ьь, и е Ж. Имеем у(ьь) = язьн хи = О, у(я — 0) = 1<пь (ьь — 1) ын лх = (и — 1)шпхьь = !Ь, — о т < У(о) = У(н — О) н функция У и<нр<рывн» на 1е ° 261, У(х) = х [-~, х ~ О, У(О) =1, Функция у непрерынна ва каждом нз полуинтервааов — < » ь-< поскольку ее сужен<<я х < ох на эти пояуинтервалы непрерывны.
у [ — + О) = 1<ш э: [-] = —, поэтому в то <ках х = —, н Е Ж\(Π— -+о разрыв первого рода. !асс»острим неравенство х < — ', гь Е ЖЬ<(0), Д '-, У(-„') = 1, ), функция у терпит справедливое дяя х Е ] —, — [, и 0 И. Если и оо, то х +О, « +<' э 1<ш У(х) = Йьп:г [-'] = 1. * +о -+а и из (1) сяедует, что то х = — 1 есть точка разрыва типа полюса, х = Π— точка разрыва первого рода, а'в точве х = 1 Функция у непрерывна.
р 256. у(х) = .' —, х Ф О, у(0) = 1. х ь М ПуСтЬ Х„= —, у» = ь,, П Е !<!. ТОГда Х„О, рэ О Прн и ОО, ОдиаКО У(х„) » 1, а У(В») 0 при з гю. Ояедовательно, Бш У(х) не существует и х = 0 — точка » а разрыва второго рода. 257. У(х) = ассад —, э ~ О, У(0) = О. х ь l <ь и Пусть з > О -- произвольное. Тогда существуот хо > О такое, что — > !О (- — е), » (э < ь откуда ьд —, > — — з. В силу возрастания арктангенса для 0 < х < хо и подавно асс!0 — > --е. т, е, оп а<с!0 — = —, »-+о < Аналогично показывается, что 1пп а<с<0 — = — —,.
!1ледовательно, х = Π— точка разрыва , — — о 102 Гл, 1. Введение в анализ Если (-) = — и то -и « — — и + 1, — < х < —, и 111 1 1 (*)— и+1 — ! (2) Если и -о со, то х -л -О, и из (2) находим, что йш у(х) = !пп х !-! = 1. Таким образом, -и -о г(0) = у(+0) = г( — 0) = 1, т. е.
при х = 0 функция непрерывна, > у( ! ( 81п 7гх для рационального, х для иррационального х. ч Пусть хо ~ и, и е Ж, — произвольно, (хи) — последовательность рациональных чисел, скодящаяся к хо, а (1и) — последовательность иррациональных чисел, сходящаяся к хо. Из раВЕНСтВ БШ у(Х„) = 1ПП З(лтХ„= ЗШЛХЗ ~ О И 1ПЛ у(ьи) = 0 ВЬПЕКаЕ1, ЧтО 1ПП Г(Х) НЕ и оо и о л'о существует, т. е. хо — точка разрыва второго рода. Если же хо = и, 11 Е Уи то )г(хо) — г(х)) < )выл ля) = )ав(!го+ т(х — 11))( = = ! соа лиз!и л(х — и)! = ! ыл л(х — хо)! < л)г, — 1 а! < с, если )х — хо! < — = б. следовательно, хо = и .-- точки непрерывности функиии 1'.
263. Доказать, что функция Римана если х = —, где иь и и — взаимно простые числа, 1 Пх) = О, если х — иррационально, разрывна при каждом рациональном значении х и непрерывна прн каждом иррациональиоль значении х. 1 Пусть хо = б — рациональное, так что 1(хо) = †. Очевидно, последовательность и и' (') и +! ! и . У иль ! , — — рациональныя чисел сходится к "- = го при и оо. А так как 1!пь ио ) Ч и ) Йп — ои О, то каждая рациональная точка — является точкой разрыва.
1 б и и Пусть о — произвольное иррациональное число, а (хи) = ( — '") -- произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к о. Тогда 1ии ди = оо и Бш г"(х„) = 1!ш у —" = йш — = 0 = 1(о). » о и \Яи/ » Ои А так как у(х) = 0 при х иррациональном, то равенство 1пп г(хи) = Да! = 0 справедливо для любой последовательности (хи) с произвольными членами, сколящейся к ирраци- оиальиоМУ числу о. Таким образом, функция Г" непРерывна лРн каждом иррациональном значении х.
264. Исследовать на непрерывность функцию у(х) = "+" — если х — несократимая дробь —, и ) 1, (х(, если х — иррациональное число щ Пусть хо — рационально, т. е. хо = — "', и > 1. Оогласно условию, у(ха) = —. и .1- 1 Поскольку хь = — ~ —, = хо прн й оо, а Бш ь'(хл) = !пп — иь, = — ',", Ф- — „, = У(хо!1, то функция 1 терпит разрыв при всех рациональных значениях аргумента Пусть теперь хо — иррационально, а (хь) = ( ил ) — произвольная последовательность (ил l рациональнык чисел, сходящаяся к хо Тогда 1пл !иы~ = гю, 1пп !!!ы) = х и л иьл .
л, ! 1х~ =;1(хо), если хо > О, йзл у(хь) = йш = 1пп ', =хо=~ и оо л»о ил+1 и- 1 — ' ( — !ха!, еслихо<0, 1091 з 8. Непрерывность функций ггг Отсюда вытекает, что функция разрывиа при отрицательных иррациональных значенмяхаргу мента. Если хг хо при й гю, причем ха ) Π— иррациональные числа, то !шг Х(хо) = 1пп (ха/ = 1хо~ = У(хо).
о- ь-о Таким образом, функция Г непрерывна только при положительных иррациональных значениях аргумента. М 265. Пусть функция Г непрерывна и ограничена в интервале )хо, +са(. Доказакьгчто ( какое бы ии была число Т, найдется последовательность х„+оо такая, что 1пп (Г(ха+ Т) — У(ха)) = О. и Пусть Т > 0 — произвольное.
Рассмотрим разность Г(х + Т) — у(х). Возможны цйа' случаи: 1) существует конечное число х' ) хо такое, что разность У(х + Т) — Г(х) сохраняет постоянный знак для всех х ) х; 2) лля произвольного Е > хо существует х" ) Е такое, что Г(х'+ Т) — Г(х') = О. В первом глучае последовательность (Г(х'+ пТ)) монотонна, а поскольку оиа и ограничена, та существует конечный предел 1гш Г(х'+ пТ) = 1, так что Ыш (Г(х + (и-г!)Т) — у(х +пТ)) =1 1= О, причем з„= х -1- п7 — +гх; при гг аа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
