И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2 х — а х+а О < ) яп х — вша( = 2яп — соз— 2 2 б) Аналогично х — а О < !сов х — сова! = 2яп —,яп — ~ < )х — а) и Вш сов х = сова. х+а 2 1ю * а в) !!шсдх='1 ' = — „,„=!ба,еслисозафб,т.е.еслиа~ — "а, пба2. ° Найти пределы: 176 21П х 21п а а ~ х — а <а Очевидно, 21пх — 21па 221п 2 соз 2, 21п 2 . в+а 1ип ' = 1пп 2 2 = йп — 2 1!1П соз — ж 1 сова = сова Х вЂ” а а а х — а а — а а а а 2 2 (здесь воспользовались тем, что сов х -а сов 5 при х 6).
с!З х — сгд а а а Х вЂ” а я Пользуясь формулой разности котангенсов, находим ссб х — с!5 а яп(а — х) 1, ( яп(а — х) 1) 1 . 1 1 1ип = !Пп ', — = !Пп —. Бш —. х — а» япх зша х — а 1 а — х / япа *-аз!пх яп а афЬг, абЕЗ!и соз (а + 2х) — 2 сов (а+ х) + соз а Вш о хз <а Выражение в числителе преобразуем в произведение, имеем сов(а+2х) — 2соз(а+в)+созе, 1 /, х, 1' ЗХ1 . х .
1' х'1'1 1ип — 1ип — (-22!п — з!и ~а+ — ) + 2яп — яп~а+ -)) = о Х2 а О Х г) 2 1 2)) ( 1, х, х = 1ип ( — — 2зш — 2яп — соз(а+ к)) ш — сова. гв оь хз 2 2 172. !ил —. !Ох о х <а Из неравенства (! — сов х) = 2яп а < (х! вытекает, что 2 а 2 !Зх, япх 1 !Пп созх = 1, Иш — = 1ип — — = 1. о о х о х сов х Таким образом, гр х = х + о (х) при х О. Ь 17-, яп 5Х вЂ” яп Зх 3.
Впг а-о з!п х <а Пользуясь асимптотическим разложением, находим з!Пбх — япгх . 5х — Зх+о(х) Иш = 1пп =2. 3 *-о япх * о х+ о(х) 1+пах — сов х 4. !ип о 1+ зшрх — созрх ° Поскольку при х О имеем 1 — сов х = о(х), 1 — созрх = о(х), япх = х + о(х), япрх = рх+ о(х), то 18О . 2в1п х+ яп х — 1 2 Вп) 2 япг х — 3яп х+ 1 б М Разлагая числитель и знаменатель на множители, получаем — Оввс )(г«„- ) .
«,— "2яп х — Зв)па+1 (япх — 1)(2япх — 1) в1пх — 1 б б б 181. Вш, ~З * соз(х+ -) ч Разлагая числитель иа множители, имеем Гбх (ГЗ х — 1З = 1пп соз (х+ -) яп (х— +ТК-1 3 г соз х сов — яп э ЗЗ х — ЗФЗх " сов (х+ -) 1пп Збх (ТИх+ ТЗ вЂ” ) = -24. З (7- х) 3 сов х соз з ж )пп гбх (гдх з 18О В ОЗ ( + х) ТЗ (а — ) — Оц'а «-о х я После очевидных преобразований находим З( + )(г( -*)-«" ( ( 4*.-«зт Ьш о хг ° М*. ТК х 4 4 сов2а 2 о х 2 =йш — (Оба — 1)=ТО а — 1«« —— сов4 а ' 183. Вш , То* 'Б7 - ЛБ М Уничтожая иррациональность в знаменателе, получаем х' .'(Л(+* ' г ) Лс ' г Л Бш = Бпг = йп *-О 1+хяпх —;)(созх * о 1+ха)па — созх о г е г,* с ' *, * ( . *)Лттгг Т= т/~х -г1 при х О.
Далее, — „-2-'- = — (" -у( — при х О. Следовательно, Лозы-, „та« Йш ." Π— +— 1-сог«(о з/сов х — ~сов х йп *-о вшг х тЗ Гл. 1. Введение в анализ сГЗ (а + 2х) — 2 сод (а + х) + сгб а .с О хз < Аналогично предыдущему 1шг сгб(а+2х) — 2ОФК(а+х)+стба . 1 )пп — ((ОТО (а+2х) — сад(а+х)) — (соб(а+х)-боба)) = «О хг «о хо — вшх япх = 1пп +с «-о хг Т,в!п(а+2х)яп(а+х) в1п(а+х)япа ( 1 (зги х1 2сов(а+х) з) 2сова о Тяп(а+ в) т х у япаяп(а+2х) Т вшза ' афЬг, Ййя.
3 7. Предел функции ч Вычтем и прибавим в числителе единицу, тогда а/сов х, часов х — 1 1 а/соз х =!пп ~, + х о а в!пох мп х ( сов 8 — 1 1 — сов х 1 =!пп, з + . г о О 1 вап х!а/сов х+ 1) 81п х 1+ а/сов 8 + 1/совз х 1 — совх( х 11~ 1 1 + +- хо 18!ах/ аа !/совх+1 1+ '/сов х+ з/совах/ 2 1 2 О/ ,/Сав Х— 1цп о о!а = Нт о О ч Действительно, 1 <2 в!и « — <в при х> — жя(8). 2(ъ/8+1+ а/х) а/х+ 1+ /х 2,/х Вво Докажем следующие утверждения: А) йьп а =а~о, а>0; Б) йщ !пх=)пхо! -*о о оо В) !пп !и(х))»ао! = ао при условии, что ое > 0 Эб > 0; 0 < /х — хо/ < б ~ !О < /н1х) — а) < оо о) /а (О С (о(х) — Ь! < 8). ч А) Достаточно рассмотреть случай а > 1. Имеем !а* а*о ( а~о !а — о 1 Поскольку йп! а» = 1пп а = 1, го для произвольного о > 0 существует такое ио, что 1 1 о е 1 — — с и "о < а о < 1-!- —.
а*о аоо Тогда при ~х — хо! с — имеем 1 о 1 1 о о 1 — — < а "о с а" *' < а "о < 1 + —, а»о аоо ' т. е. !а* — а '! = а '(а' ' — 1( < о при (х — хо! < —. Б) Имеем — < !и (!1+ — ) « —, — — !п ~1 — — ) < —— и+1 ! а) а' ьь — 1 ! и) и при и > 1. Таким образом, при а > 1 — — < 1и ~1 — -) < !и ~1+ -) < —. н — 1 а а) а Пусть о > 0 — произвольное число, не превосходящее з.
Тогда существует такое ао, что 1 —. < !. (1 — ' ) < !. (1+ — ') < .. Если взять 1 х — хо 1 — « —— ьао хо ао Здесь воспользовались тем, что 0/совх 1 при х — » О, а зто следует из примеров175 и 154. О» ' 185. Доказать, что !1п! !ощ 1/ х + 1 — вп1 а/х) — О. +о» 80 Гл. 1. Введение в анализ то длл разности йг х — 1пхо =1и (1+:а) получим следующую оценку: *! — е < !и (1 — — ) < 1п (1 + ) < 1п (1 + — ) < е или )1и х — 1и хе! < е, если только )х — хе! < хое. В) Согласно условию и пункту В), е(х)1пи(х) Ыпа прн х -~ хе.
Тогда, на основании А), имеем ат ге! 1пп (и(х))щ ! = 1пп гщ !'""г*! = е '"' = а = !пп о(х)) ' . 3 ео яе Г,г- г Найти пределы 188. и (,х+',)", м Согласно утверждениям А) — В), имеем (2х+ 1) *- ( 2х+ 1 ! Поскольку 1п —, < 0 при достаточно больших х, а 1пп х = +со, то искомый предел рая+я г ге+! вен О. > Замечание. Решение примеров 187 †1, 200, 201, 208, 209, 210 основано на простом примере раскрытиянеопределенности 1о'. Пусть Иш е(а) = 1, Ип! е(х) = оо. Тогда, ва основании утверждении В), получаем ! !" — ')" Игп и' = Иш (1+ (и — 1))" ! = *хр 1пп (и — 1)е а е ха 1 яо х +1 г+! е г М В нашем случае и = †, ; е = х; (и — 1)е = †, , гуледовательно, 188.
Иш(1+х')"Я *. о ° Аналогично предыдущему ,,г) йш(1-1- хг)'гя ' = ехр ! !пп х сгд х г = ехр йш ~ — ) = е. о С -е 3 (* е гь!8х 189, йгп (1 + зш хх) '" ~*. ! ° Очевидно, 1пп (1 + еш тх) "з ее = ехр ! 1пп зп! ггх сгд тх ! = ехр ~ Йп сое ггх '( = е е 1 !.г ! ! гя ! ! 190. й (,1+', *)""*. 1 Т. Предел функции и Имеем 1 2 з 1+!Ох йз . 1дх — зпзх 1 2мп !пп ( . ) = ехр ( !пп, —,1 = ехр !пп юе =1. Р *-о11+япх) 1 о 1+япх япх 2 1* о созх(1+зшх) ! 1 191 ! ( 1+зкх ) впрах з-О '11+ ял Х) збх — зшх 1 (з — 1)е = 1+з!пх яп х з з з Поскольку прн х 0 збх — япх = здх(1 — созх) —, 1+япх 1, яп х х, то 3 — 1 ! ( 1) ! 2 *-о з х 2 з Таким образом, 1 г 1+!Ох т —,;„., -о 1+них (. 1 1х* 192.
1!ш (яп — + соз -) *- ', х х ч Поскольку яп -+сов — ' = -'+ 1+ а (-') прн х — оо, Вш (з!п -+ сов!) = 1, то Бш (зш — +сох — ) =ехр(1пп ~ — +он)х(=е. ° 19З. !й "'('"). .-о х в На основании утверждения В), имеем !пп (л(1+ х) = Ъзп!и) (1-!-х)з/ =!не=1. о х о Таким образом, !п(1 + х) = х + о (х) при х — ~ О. 194. 1йп -+ 1п(х'о + х+ 1) ° Вынося за скобки в числителе и знаменателе старшие степени х нием Б),находим и пользуясь утверязде- !п(хг х+1) 2!пх+!и(! — -'+ т) 1пп 1О !!1п 1п(х'з + х + 1) Е 10 !и х .!.
!и (1+ — ', 1- -тз) б 195. !нп , х>О. ь-о ° у На основании свойств логарифмов и утверждения Б), получим !б(х+ б)+!б(х — 11) — 2!бх . 1 ( >~ ьг — — — — ° — )пп 1п 1— !бе хг л о 196. Иш ' . -о !псов бх ' и На основании примечания о раскрытии неопределенности вида 1 , при вычислении предела показательно-степенного выражения в" имеем Гл. 1. Введение в анализ М Пользуясь асимптотическими равенствами (см. примеры 178 и 193), получаем 82 г г г г г' а О Ь -!-О(Хг) О О Х г О* — ! , (1 -,- х)» — 1 197. а) йсп, О > О; б) !пп (д — действительное), -О Х О х М а) Пусть Оа — 1 = и Тогда ! О при х О, поэтому Оа — 1, г!Па .
1ПО !пп = !пп = !пп ,, = 1па. -О х с О !п(1+ !) с О 1п(1+ г)с!с Таким образом, и = 1+ х1п и+ О(х) при х О (е' = 1+ х+ О(х)). б) Очевидно, йпс ! — ~~: — = 1сш ',, "" ~ = дс так как д1п(1+ х) — с О при ,»с (се ! с „с„сса ,»с а«! х ~ О, йсп ' = 1, йсп -'-' — ~-*-~ = 1 (на основании утверждения Б); примеров 197, а) и О»СМС««С ' а О 193). Таким образом, (1+ х)" = 1+ их + о(х) при х О. 1 — сов» х 198. йсп (и — действительное). ' *-О хг м Используя результат предыдущего примера, получаем 1 — сов" г: .
(1 + (сов х — 1))" — 1 1 — сов х д 1пп = !ое а-О Хг О ам х — 1 хг 2 г« а>О; в) 1нп ., а»О. е»* сов х — 1 а О хг 199. а) Бгп; б) йгп О хг х — а м а) Имеем е — (сов х) е — 1 г,/2 г 1 — (сов х) + хг искомый предел равен 1 + —. /2 На основании примеров 197, а) и 198 находим, что б) После очевидных преобразований получим о* "— 1 (1+ ) 1 — Я х — о а Π— Х =а Х вЂ” О а а «,с а йш = О 1ла — а = О !и -.
— х — а е в) Имеем е«а сов х — 1 (е«а — 1) сов " х + сов " х — 1 еа' — 1 г«1 — сов х асов х— хг хг ахг хг — с г« ° с — с«г Поскольку Ыш «, асса "г = а, !1ш,', = а, то предел всего выражения равен а О -О нулю. м х* — а' 200» !йп, О > О, х — и а — а ° ! Представим функцию: —,' = у(х) в виде суммы двух слагаемых: !О(х) = —,„+ — асс(х) + Всг(х). Очевидно, ам а( !а-а)с«а 1) рс(х) = 1п х.
(х — о) !и х Предел первого слагаемого (см, пример 197, а)) равен а« 1п а. Предел второго слагаемого (см. пример 197, б)) ранен и'. Следовательно, 17. Предел функции ея *)с -г Так как при х — а е '"* а", '< >, — 1„!их !па, то Бш !ос(х) = а'!ва. Далее, е ((1 ! -«) 1) е е е е е е е ( е-е)е — = а". е-а а о Окончательно получаем Мпс — = а !в а+ а" = а" 1п(ав). е е е-е сзее 201 И ( 1+япхсовах о 1,1+в!иксов)7х М Ищем предел показательно-степенного выражении а"; имеем (при х ~ 0) совах — совсух сов х з 1 + яп х сов с7х в!гсз х ') '-' ° сз ( ег.+ ссс(-~е с*с))с* ° с*в Следовательно, Бш . = ехр )нп = ехр Ь е+Ь + е-Л 205, И „,, О. ь о ч Используя результат примера 197, а), находим *~" + ™ -2а* ь Г а — 1с г !сгв = !пп а — = а 1в а.
и-о ьз ь о 1 7с ) (х+ а)*+'(х+ 6) + (х -!- а -!. ь)з +о+о 202, !!.,"ш(зх ) с яв(сгхв) ег ') е О ССве "сСес . е С' — О < Иш = Мш в-Г В!В(ХХа) *-Г яп Х((ва — 1) + 1) е Г ВГПВ(Х — 1) е С Х(Хд — 1) д~сС -с гсе Ссс с о (1+1)Л вЂ” 1 с о с91+о(Ф) ш;У (здесь воспользовались результатом решения примера 197, б)). > 208 ! Ыв ( е) -с !в(сов(сг2 )) М Полагая яп (х2 ) = Г, получаем Иш = !нв, явз(сг2'), Г = !пв сх -2 с 1о(сов(х2е)) с о -'!в(1 — Г) с о — -'+ о(Г) (здесь воспользовались формулой !п(1 — Г) = — Г+ о (Г)).
Вь 204. !пп ", а ) 9. е хв — аа' и Полагая х — а = 1 н пользуясь результатом примера 197, б), получаем — е -е с~с е е/ е а-).а -Ь +ь -а (х+а) + (х+Ъ)*+ (( Ь 1 ь ~ (( +аа (х+ а+ 6)г*+а+ь *-+аа 1 х+ а/ / ) 1 х+ 6) / 207. Игп а'(7х — "ааа'х), х > О. М Имеем (см. 191, а)) 1 х '+ — 1 иг — = 1п х. ааг + аа ~ее и 1 1ип и ( 7/х +за/ах) Ипа х е 2 М Аналогично предыдупаему примеру имеем а";а'а+ ~/6 .
фа+ ьГЬ а "й — 1 "ГЬ вЂ” 1'1) — !» а ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~~ и ~ | 2 а (, 1 а*+' + Ь*т' + С т' 1 209. Ипг '( "' ), а>о, Ь>О, с>О. *-о ~, а+6+с г+аоь +аз +' м Обозначим г(х) = " " . Очевидно, Д(х) — 1 при х О. тогда 1 а о а~~' + Ь*+ + с*+' а ( . У(х) — 1 а + 6 + с ) ( о х Поскольку у(х) — 1 *-о х а+ а* — 1 Ь вЂ” 1 с 1Ьп (а +6 +с — ! = Ь+с *-о х х х а1па+61вЬ+с1пс /, .Ьь а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
