И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Определение 3. Фрикции у и г' называются зквивалеипгиыми, если г" — у = о(у), т. е. воли тв > 0 эУ Е В таков, что тх Е Х),(хв) выполняется неравенство !Х(х) — д(»Н < (д(х)! При этом записываем у у, а равенство У = у + о(д) называем асимптоп>и»вским равенством. Пусть Л уЕУ' и д(х) >ОУ»ЕУ ЕВ,тогда уса йп — =1. У( ) »о д(х) Справедливы асимптотические равенства э1вх = »+а(х), 1бх = х+о(х) при х О. 7.4. Частичные пределы. Если для некоторой последовательности (х ) значений аргумента функции г, сходящейся к хв, справедливо равенство )пп,г(х») ж А, то число А называется частичным пределом СО функции г в точке хв.
Наибольший и наименьший частичные пределы обозначаем через йш г(х) н )1ш у(х) и называем соответственно вврхмим и нижним пределами фрикции г" в в»в »о точке хв. Очевидно, В йш Х(х) сэ йлг у(х) = ))ш У(х) 7.3. Предел функции комплексной переменной. Определение 1. Нослвдоваглвльиосоюь О( С; и»»» называется сходящейся, если В» Е С Л Чв > О Вт Е Й: уи >»п ~ )»» — »~ < в. Аналогично последовательность комплексных чисел (»„) сходится к оо, если у)у Вт Е р(: уя >»и ~ ~»»~ > )у Последовательность (»„), где»„= х„+ 1у„, сходится к точке» = а+ сй тогда и только тогда, когда ))ш х =а, йш у„=Ь.
Пусть»в — предельная точка множества В С С. Определение 2 (Гейне). Функция»»» )'(»), » Е 1), В С С, имеет предел при» -»»в, если ЭА Е С Л Ч(» ) С В~(»о): )пп» = »в ~ 1цп Я»») ж А. » Определение 3 (Коши). Функция»»» у(») имеет предел ири»»в, если ЗА Е С Л 'тв > О В Ь > О: 0 < )» — »э( < 6 ~ ))'(») — А) <». 133.. Показать, что функция ж и, если х = —, где т и и — взаимно простые целые числа, »' О, если х — иррационально, конечна, но не ограничена в каждой точке (т. е.
не ограничена в любой окрестности этой точки). м Пусть х = — — произвольное рациональное число, Тогда та = — — при Ь оо, — д й~+ 1 Я ьв 9 т. е. попадает в любую окрестность точки х = "-. А так как г(г») = Ьу -» оо при Ь со, то в функция у не ограничена в любой окрестности точки х. 17. Предел функции Пусть, далее, х = о, где о — иррациональное. Тогда существует последовательность рациональных чисел г, = г», ь б 111, такая, что !пп г— ' = и. При этом йп йл = +со.
По- 9 г ээ СКОЛЬКУ У 1 С» = ЬД +Ос ПРИ 1 ОО, а тоЧки поСЛедОВатеЛЬноСтн К'- поПаДаЮт в Любую ~"*/ »чь у окрестность точки и, то функция не ограничена. Ь» 134. Если функция ь' определена и локально ограничена в каждой точке; а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте? Привести соответствующие примеры. м а) Вообще говоря, нет. например, функция у(х) = 1 ограничена в окрестности любой точки интервала ]О, 1[, но не является ограниченной на этом интервале, так как у(х») "» +оо прих = — О,а 0<х»<1приь»=2,3,....
1 б) Функция ограничена. Для доказательства предположим противное: пусть функция неограниченная. Тогда для любого натурального числа и существует х» б [а, Ь], где [а, Ь]— сегмент, указанный в условии задачи, такое, что у(х») > и. А так как а ( х» ( Ь (т. е. (х„) — ограничена), то существует подпоследовательность (х» ), (хьь„) С (х»), такая, что !ьпь ха„ = с б [а, Ь], По условию, г" локально ограничена в окрестности любой точки, т. е. существуют такие 6 > 0 н Е > О,что ]у(х)] < Е, х б]с — 6, с+ 6[. Кроме того, существует такое число 11', что й» > Е при п > Аь и ха„б ]с — 6, с+ 6[, а тогда Д(ха„) > й„> Е. Полученное противоречие доказывает утверждение.
м 135. Показать, что фунхция у(х) =— 1+ 1+ хь ограничена в интервале ] — оо, +со[. м Ясно, жо у(х) > О, т. е. функция ограничена снизу. Далее, из неравенства (1 — х ) г 1 ь . 1+ 1 эг з 0 следует, что — < †, а поскольку 1 + х > 1, то — = — + — < 1 + - = -, 1+.ь г 1+ Ь 1+»Ь 1+»э г г" Следовательно, О < у(х) < '-, — оо < х < оо. 136. Показать, что ьрункция 1 1 1(х) = — соэ— х х не ограничена в любой окрестности точки х = О, однако не является бесконечно большой при х О.
1 ~ Пусть х» = —. Очевидно, прн и оо значения х„попадают в любую окрестность точки х = О. Требуемое утверждение вытекает из того факта, что Мт Щхз»)[ = оо, а » ю у(хг»-1) = О, я б Й. 137. Исследовать иа ограниченность функцию ,ь'(х) = 1пх зьп х в интервале ]О, е[. 4 так как 0 ( сйв» ( 1, а функция х 1 1лх монотонно возрастающая, то 1(х) ( шах(0,!и е), т. е. ? ограничена сверху. Далее, положим х» = г .
Тогда, начиная с некоторого номера ва, все х» попадают г»+1 ' в интервал ]О, с[. При этом у(х») = 1в —, = — 1п (1+ (и+ -)) > — (и+ -) -оо при в оо, г. е. г' не ограничена снизу, М 138. Показать, что функция у', где Х( )=— 1+х Гл. 1. Введение в анализ <О нижнюю грань т = 0 и верхнюю грань М = 1. 0 < х < со. Пусть о — произвольное и 0 < о < 1. Тогда —. Следовательно, ьл1 ()(х)) = О. о< «ю 1, 0 < х < оо. С другой стороны, Лля указанного ранее х в области 0 ( х < оо имеет ч Очевидно, 0 4 г (х) = + < х при 0 ( х < Далее, очевидно, — < ь+ х 1 — е 1"(х) = — > 1 — о при х ) —, 1+х х )(а) « '(х ) « (а) + а (например,х'ж а), г. е, ш1 (1(х)) = 1(а), (о<о Аналогично, если )'(6)-с < г(6), то существует ха Е [а, 6] такое, что у(6)-х < г(ха) < у(6) (например, х<' = Ь).
Следовательно, хор () (х) ) = ) (Ь). ° . <ь 140. Определить колебание функции у(х) = хг, х Е И, на интервалах! а) ]1; 3[; б) ]1,9; 2,1(; в) ]1,99; 2,01[; г) ]1,999; 2,001[. щ На каждом нз указанных интервалов сужения заданной функции монотонно возрастают и имеют на концах этих интервалов конечные предельные значения, в силу чего являются ограниченными, Следовательно, а) Мо — оьо = Х(3 — О) — Х(1+ 0) = 9 — 1 = 8; б) Мо — пьо = У(2,1 О) Г"(1 9+0) = 441 3,61 = О 8' в) Мо — то = ! (2,01 — 0) — <'(1,99+ 0) = 4,0401 — 3,9601 = 0,08; г) Мо — то = У(2,001 — О) — Х(1,999+ О) = 4.004001 — 3,996001 = 0,008.
141 ° Пусть ььь[г] и М[<] — соответственно нижняя и верхняя грани функции ь" на промежутке ]а, Ь(. Доказать, что если у ! и уг — фунхции, определенные на ]а, Ь(, то а) ььь[ьь+ гг] > т[(ь] 4 ььь[зг]) б) М[Л + гг] ( [<ьь]+ М[гг]. ч Докажем неравенство а) (неравенство б) доказывается аналогично). Обозначим т! = ьв! (Уь(х))) тг = ш1 (<г(х)). Тогда 1)(х) > ьа! и Ях) ) тг, х Е ]и, 6(. Складывая «ь «*ь последние неравенства, получаем Д(х) + уг(х) )~ оь! + тг, х Е ]а, 6[, откуда ььь(Г! + Гг] ~) ь т! + тг т[< ь] + ьл[Хг]. 1 142.
Показать, что функция [(х) = гйв —, х Е К<)(0), не имеет предела при х О. х г Л Требуемое утверждение следует из того, что последовательность х„= <, о Е К, при и оо стремится к нулю, а у(х„) = ( — 1)" вовсе не имеет предела. В 143. С помощью "о — Ь"-рассуждений доказать, что Бш х = 4. Заполнить следующую г г таблицу: < Пусть с > 0 — произвольно. Тогда ]хг — 4] = ](х — 2)г + 4(х — 2)] < ]х — 2]г + 4]х — 2] < как только 0 < ]х — 2] «,с4+х — 2 = ' . Последнее неравенство тем более будет /4+ +г выполняться, если » = ь б(с) >]х — 2].
о+*< ьггь ~Л< *ь < ) т. е. авр (у(х)) ж 1. О<о<о 139. Функция ь' определена н монотонно возрастает на сегменте [а, 6]. Чему равны ее точная нижняя и точная верхняя грани на этом сегменте? < Так как у' монотонно возрастает на (а, Ь], то !"(а) < г(х) < )(6) ьь<х Е (а, Ь]. Пусть е > 0 — произвольное и такое, что <'(а) + е < У(6). Тогда существует х' Е [а, 6] такое,что 17. Предел функции Пусть е = —. Тогда 6 ( — ) = — и ь / 1 ь ь ьо (ьо") ь ьо"ег 6(1О-') = 1; 6 (10 ') = 1; 6(10-') = — '; 6(1О-') =— 42' = 402' = 4оог' 40002 144. На языке «Е вЂ” 6" доказать, что 1 ь (х — 1)з Заполнить следующую таблицу; ч Пусть Е > 0 — произвольно. Тогда 1 (, — 1) ' как только (х — 1) < -' илн 0 < )х — Ц < —,у = 6(Е).
Отсюда находим, что 6(10) = —; 6(100) = —; 6(1000) = —; 6(10000) = ' —. ~ 1 1 1 1 ь/10 10 ' 10,/1О 100 145. Пусть Р(х) = аох" +аьх" ' + ... +а„, где а, (ь = О, и) — действительные числа. Доказать, что 1пп !Р(х)( =+ос. М Не ограничивая общности, будем считать, что ао оа О. При достаточно больших !х( имеем (Р(х)1 = !х"~ ~ао+ — "+ ... + — '"! > !х~" — ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
