И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходнтсьт. 4 Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного нвмвйеь ння. Ч Из условия вытекает, что последовательность (у„), где у (яз хь ) + !хз — хз) + ... + ьх зр-ььь сходится (как ограниченная и монотонно возрастающая).
Далее, так как (у„) — сходящаяся последовательность, то (х .ьр — х (=ьх .ьь х +хь-2 хь-ь+ ... +яр+р х .ьр — ь! (ч (ха+ь гр( + (хр-2 хр-ь ) + ° ° ° + (ха~р кр+р-ь ( !У в+р 1)зт ( ь' при и > ьт(е) Чр > О, т. е, последовательность (х„) сходится. Очевидно, последовательность ..1Р..
с пбй, 2а сходится; однако она не имеет ограниченного изменения, так как при любом А > О нерлвенство 2 2 2 1 !...ьг, !хз хь(+(хз хз|+ . +!хз — зз -ь(= 1+ — + — + .. + ) 1+ — + — + .. ° + ) 3 5 2п — 1 2 3 ' п > 1п(1+1)+!и (1+ -)+!и (1+ -)+... +1п (1+ — ) = 1п (- - —. — ... — ) = 1п(п+1) > ьч справедливо при и > с" — 1.
88. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательностей (х ), гдеь, 1+э+'''+»' ьь~Р( б) х" аз+~ з+'''+ь»' ! ч Пусть е — произвольное число из интервала ]О, -[. а) Поскольку э! 1 1 1 р ~з +р — х ! = — + — + ... + >— и+1 и+2 и+р п+р' а при р = ьь 1 )х„ер — хр) > — ) с 2 для всех и, то последовательность расходится.
б) Расходимость последовательности следует из того,что 1 1 1 р р 1 (х ер — х )= + + + > > — = — при и =р. !п(ьь+ 1) !в(и+ 2) !в(ьь+ р) !п(н+ р) и+ р 2 89. Доказать,что сходящаяся последовательность достигает либо своей точной верхнем грани, либо своей точной нижней грани, либо той и другой, Привести примеры послММевпл тельностей всех трех типов. ь Ч ПУсть !пп ха = а.
ПРедположим, что зр ( а (х„> а) ььььь б (ь(. Тогда сУществУет иаир МЕНЬШИЙ (ИанбОЛЬШнй) ЭЛЕМЕНТ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтИ, КОтОрЫй будЕт тОЧНОй НнжНЕЙ (ВЕРХНЕЙ)ь гранью. Если последовательность содержит элементы как меньшие а, так и большие а иян Гл. 1, Введение в анализ некоторые элементы, равные а, то во всех этих случалк последовательность имеет как иаимеиыпий, так и наибольший элементы, т.
е. достигает своик точной нижней и точной верхней граней. Приведем примеры последовательностей всех трех типов: 1) (х») = ( — ), хг = 0 = ш1(х»); 2) (х ) = Я, хг = 1 = звр(х»); 3) (х»)= (~ ~-), хг= — 1=шт(х ), хг=-=гор(х ).1» Найти наибольший член последовательности (х ), если: в 90, х»»з —. 2» ' 4 Условимсл наибольший член последовательности (х ) обозначать символом шах х .
Из неравенства справедливого при и > 2, вытекает, что последовательность (х») монотонно убывает. Поэто- му наибольший член содержится среди элементов хг, хг, хз. Находим, что 9 шах х = хз = —, р 8 91. х 1000» » = », 1ООО «Ф Так как — г- = —, то при в > 999 последовательность монотонно убывает, а при » П»1' в < 999 — возрастает. (Зледовательно, 10001000 плахе» = хгооо = 10001 249 10 .М йшх»= Йп хг 1=2, Э х, »» звр(х») = 5, 7 хз --ло1(х ) = — —, 1пп х»»» йгп хг» = — 2, р 2' » оо «о и пя 93. х»'= 1+ — соз —. и+1 2 лз Имеем хл г < хг -1 < хл, причем (хл»-г) убывает, а (хл ) возрастает.
Поэтому 4я — 21 хл»-г = 1пп 1'1 — — ) = О, 4з — 1У 4в хл = йш 1+ =2. 4»+1/ ш1(х„) = 1пв х = Игп звр(х») = Йп х = йпл Оо 00 1по х», если; 2х» соз 3 < хз 1 < хз» и в последовательности (хз -г),(хз -1) и (хз ) сходятся, Найти Йп х и оо 94. * 1+»г м Так как хз -г тв — (3» — 2) йгп х» = 1пп хз»-г = 11ш — 2(1 + (З вЂ” 2)') (Зв) Ыол х йп1 хз Йп г 1 1 + (Зв)г 1 2' Длл последовательности (х») найти гв1(х„), зпр(х ), йш х и Йп х, если: Ю 99. х =(-1)» ' (2+ — ). ° Так как все элементы последовательности (х») содержатся в последовательностях з з хз»-1 оз 2+ —,, хг» = -2 — — и хг» < хг 1, причем последовательность (хг 1) мо- 4 погонно убывает, а последовательность (хг») возрастает, то 3 6.
Предел последовательности Ж 95. х„= (1+-) (-1)" +в1п —. ь гри..лги 4 гьг а гн лв ч Выделяя из всех членов данной последовательности восемь подпоследовательнщз3цьй1т (хв -г), ,«г г1 легко убедиться, что наименьший и наибольший частичные пределы имеют цоответствеико подпоследовательности «в -з «в» в .ьг:«И хв -г = — ~1+ — ) — —, хв -в = ~1+ — ) ' +ь1.
8п — 3) «у2' " '1 Оп-6): ', 1Пь Поэтому в «в -з 1 " " вр рггг Б~п х = йпь хв з = йпь — 1+ — ) — — ~ = — е— ь» г» 1 1 8н — 3) 4ж Л «в -в Ьп х» ьх 1ььп хв -в гх 1ььп (1+ — ) + 1) = е+'1. М - » г1«8п — 6) и . гвгт 96. х» = — в1в гь+1 4 М Имеем хь < хв -г < хв»-ь < хь -г, откуда а 4п — 2 йгп х = йьп хв -г.= йш .: ж.у- Р: в«у вв »г -» ' » аг4п — '1 гтггь, » Найти частичные пределы: 1 1 1 3 1 7 1 2" — 1 2' 2' 4' 4' 8' 8 ' 2" 2" ° 4 ИЗ ЧЛЕНОВ Даинай ПОСЛЕДОВатЕЛЬИОСтн СОСГааны ДВЕ СХОДЯЩИЕСЯ ЦОДПОСЛЕЦОьигигвлвнИСтиг г"-ь х = — „и х = г „. Их пределы 1ььп й = йьп — „= О Игл й ю йьп „1 будут г »г рог» р» р частичными пределами. . '9- Так как все другие сходящиеся подпоследовательности входят в состав этих двух, то дру» тих частичных пределов нет.
Ь 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,.ь т'-' '2«-3~а 2' 2' 3' 3' 2 3' 4' 4' 2 4' 3 4' в' '' ' »'ьь1« юйгйои 1 1 1 1 н н — 1 гь' и+1 М Члены цанной последовательности составляют сходящиеся подпоследовательности х». го и хв = в + вт„(15 гь б И), котоРые имеют соответственно пРеделм О, -„' (гх Е Р1). 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 .с.9 2' 3' 3' 4' 4' 4' 5' 5' 5' 5' м Очевидно, все рациональные числа т (О < т < 1) являются членами даккоьв фследовательности. Пусть о — любое действительное число такое, что О < а '< 2 тогдй ири: достаточно большом натуральном ш неравенство 1 о+ — <1 и+ гл справедливо при всех и Е И. для каждого натурального числа о среди членов данной последовательноаьгигиайдцтсьв такое рациональное число т , что р9 1 о<т <о+ —. и+ ш Отсюда следует, что йпь т = о, т.
е, о — частичный предел. Аналогично расематрнваетЖ случай, если О < о (~ 1, 100. Построить числовую последовательность, имеющую в качестве своих частичных пределов данные числа: аь, аг, ..., ар. Гл. 1. Введение в анализ М/Обозначим х» = и»+ —, й = 1, р, и Е ?4. Так как последовательности х»» сходятся 1 з' к числам а?„й Е ?4, то искомои последовательностью может быть, например, последовательность 1 1 1 1 1 1 а1+1, аз+1, ..., ар+1, а1+ —, а»+ —, ..., ар+ а1+ аз+ ~ ар+ составленная из членов последовательностей (х»„), х Е 14. 101. Построить числовую последовательность, для которой все члены данной последовательности ап аз, ..., а„, ... явлюотся ее частичными пределами.
Какие еще частичные пределы обязательно имеет данная последовательность? м Из членов последовательностей х„ = а, х»„ = а» + †„ (и, х Е ?4) составим последо- 1 вательность с членами 1 1 1 1 1 1 ам а1 + †, аз, а1 + †, ат + †, аз, а1 + †, аг + †, аз + †, а», ..., 2' ' 3' 3' 4' 4 4 которая имеет своими частичными пределами: 1) пределы последовательностей (х»„), т. е.
члены последовательности (а„) и 2) частичные пределы последовательности (а ). Ь 102. Построить последовательность: а) не имеющую конечных частичных пределов; б) имеющую единственный конечный частичный предел, но не являющуюся сходящейся; в) имеющую бесконечное множество частичных пределов; г) имеющую в качестве своего частичного предела каждое действительное число. М а) Например, х = и.
б) Пусть (х ) — последовательность, стремящаяся к конечному пределу а, (у ) — беско- нечно большая последовательность; тогда последовательность хы ум хз, уз,, х, у, ... является расходящейся и имеет единственный конечный частичный предел а. , в) Примеры 99 и 100. г) Построим последовательность, содержащую все рациональные числа жд, где р и 9— натуральные числа: г г з з з 3 1 1 1 г г 1,-1,-, и — 1 и — 1 и и и и и и и ' и ' и — 1' и — 1' ' 2' 2' 1 1' Тот факт, что любое действительное число является частичным пределом, доказывается ана- логично решению примера 99. Ь 103.
Доказать, что последовательности (х„) и (у„) = (х ь/г») имеют одни и те же частичные пределы. М Так как 1пп Г/и = 1 (см. пример 75), то йш р4/рр а= 1, где (р ) — произвольная СО подпоследовательность ряда натуральных чисел. Пусть и — частичный предел последовательности (х„) и йш хр„ — — а. Тогда, применяя теорему о предельном переходе в произведении, находим йш ур„ — — йш хр„ ре/ра = йш хр„ Ига ре/рр — о, р р т.,е и — частичный предел последовательности (у„).
Пусть теперь /? — частичный предел последовательности (у„) и йш уа„=;У. Поскольку 1, Г/й ) О, то определена подпоследовательность (х„) = (ур и р), а следовательно, и подпоследовательиость (х»„) = (у»„(9„) г ~~, которая имеет своим пределом число /?. 104. Пусть последовательность (х„) сходится, а последовательность (ур) расходится. Что можнО утверждать о сходимости последовательностей: а) (ха+у»); б) (хрур)? Привести соответствующие примеры (для случая б)). 1 б. Предел последовательности М а) Последовательность (х + у ) расходится, Если бы она сходилась, то сяодйлась' бы и разность последовательностей (х„) и (х„+ у„).
Но это невозможно в силу т(по»' О)тб (х„— (х + уе)) = — (у ) а (у„) — расходится. .,' Г С»О б) Последовательность может как сходиться, так и расходиться. Например: 1) последовательность (х„) = (-) сходится, а последовательность (у ) = ((-1)") расходится, однако нх произведение (х у ) = ((:-) — 1 образует сходящуюся последбва«тйль(гбс(ь' (61 2) последовательность (х ) = ( — ", ) сходится, а (у„) = ((=-+"-) расходится; ик пронзав à — 11 "Оэ 1 денне (х у„) = ( („»1) ) тоже расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
