И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Тогда (см. пример 129) 1 +...+ и+ 211 м Сначала докажем, что сходится. Пусть, например, 2 Ьп) + '1 и+а»+1 в+иа+2 ( 1 1 1 — + — +. + ) — (1 — + — + ... + . =хь — хе» ~в+ ! в+ 2 и+айа) 1»+! в+2 в+ ьп/ Гл. 1. Введение в анализ ГдЕ Х1» и 1П(1 + 1) Прн П СО. ОтСЮда а;" = х„» — хзп 1п(1+)) — 1п(1+1) = !п —. при и -~ со. ( ) О 1+1 Аналогично при 1 > ) находим, что (и) 1+1 а, = х㻠— х«» 1п —.
при и оо. 1+) (и) 1 НаКОНЕц, ЕСЛИ 1 =/, тО а(1 = — -и О Прн П ОО. Таким образом, все последовательности ~а~"~~ сходятся, поэтому <'1/ О 1п- 1п— 2 2 1п- О 1п— з з 2 з 1в« 1в6 О з !1' з 1п о з !пк Гйп А «» ) 1по а(")) = « 1п д 1п с !п " , О З 1 132. Найти и 1 н+ 1 ~~' Япз)" 1пп и ф«16п»+пп» О 2» е Все элементы матрицы являются сходящимися последовательностями, поэтому и ! 7м 16 е н М- ) ! — Ь, ! „2. с»а+1» ««О' п(ог)" )'1 О О п «и» «21« Упралонеиия для самостоятельной работы Доказать 62.
Бш следующие равенства: 1.н+г 21о ... + м (па1)! ~ Э(ь+1) ... (Ь+и -1) «»1 1 и( +1)...( +»«) и+1' = —, где «п — натуральное число. < ' ' ... ' \ з/ «+: / 11'+2«+ ...+ «1 (»Э1)«р+1 ' = —, где р — натуральное число. Е. 1 1 «и †,, где ш — натуральное число. ь(1'+1).. (ь+« .(-1) т»! ' «=1 «(1+1) .. («оп«-1) 1»] ОЗ. Г 64. 1ш1 » 65. !шз » «« 66. Бш 00 )( птз М Ю -гы г121 ... О +» г' ОТ.
Бш ° о П»1 69. Пусть хо > Π— произвольно, 1/ Хо+1 = З <2Х» + у) « П Е ХО. ДОКаэатЬ, ЧтО 11Ш Хп «и фа. ! 6. Предел последовательности 70. Последовательность (х„) определяется соотношениями х з! = рх + 4, р за О,хг— произвольно. При каком условии последовательность (х„) сходится7 Найти, в случае ее сходимостп, предел.
1 1 +- 71. Доказать неравенство (1+ -) ! > е. 72. Доказать неравенства Й вЂ” „',„1. (1+ —.') Й „.,',, 1=! ь=! 73. Найти 1пп -"г-, О < А < 1. Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей (я„), где: С помощью критерия Коши исследовать на сходимость следующие последовательности (х ), где: 1 ! 78.
х„= — + — +...+ —, в=2,3,.... з! 'з зы'з ''' и! 1 1 1 ! зг ызз 78. Пусть а! > аз > а! » .. О. Доказать, что последовательности (Я„) и (е»), где 8»=а!+»з+ ... +а, е»=а!+2»з+ ... +2"аз или обе сходятся, нли обе расходятся. 70, Доказать, что последовательность (Я»), где сходится при р > 1 и расходится при р < 1. 80. Доказать, что для любой последовательности (а ) с полоясительными членами справедливы неравенства: а) 1пп -'л+'- < йп1,",/а„; б) йп1,",/а < йп! -лть. »! Найти пределы векторных последовательностей (х ), где 81. х» = ((! + -), (1 4 — ), ..., (1+ -"') ) .
82. х» = ((1+ Ч»+', (1+ — „', ), ..., (! + — ') ) . 83. х„= =(' ' 84. х» = (~/3" +2» ~/3" +4" ~/3" +6") »ф! »Е»-» )1 ' Найти пределы матричных последовательностей (А„), где 86. А = ((1+-') ),1=1,р, 1=1,д. 87. А „з ! - '=(' ' ! '|-) 80. Доказать,что Бш А„В» =!пп А . Нп! В», если пределы матричных последовательностей существуют и все члены последовательностей являются матрицал!н одного размера.
Гл. 1. Введение в анализ бб 90. Пусть матричные последовательности (Ао) и (В„), где А„= (а,", ), Во = (Ьзз ), н векторная последовательность (х ), где х = (хт, кзн ..., тоо), сходятся, причем БтА =А, о 1пв Во=В, йп х =х, аматрнцыС=(с,), С=(уо) ивектору=(уз,уз,...,уо), о=1,р,У=1,у, Ьт1,г— постоянные. Локазать, что: в) йп А„С=АС; а) йп А„В„= АВ; и оо г) Ипз А„х„= Ах; б) Ига СВ„= СВ; о д) йп А„у = Ау. и оо ~ 7. Предел функции 7.1.
Предельная точка множества. Предел функции в точке. Определеиие 1. Пуспоь Х С К. Число кэ Е К нозыеается предельной точкой множества Х, если 'э'е > 0 Э у Е Х, у ~ кэ: 1у — хо ) < е. Ие определения следует, что любая окрестность точки ко содержит точку из множества Х, отличную от ко. Сама точка хо может принадлежать, а может и не принадлежать множеству Х. Определение 2.
Значение +со есть предельная пзочка множеспзеа Х, если эМ Е КйуЕХ:у>М. Эначение — со есть предельная точка множеспзеа Х, если тМ еКЭу еХ:у < М. Определение 3. Гочка к Е Х, не яеляющаяся предельной пьочкой множества Х, назыеается изолированной паочкой множестеа Х, т. е. 3 б > 0: Я(к, б) О Х = (к). ОпРеделение 4. Число то б И назыеаетсЯ пРедельной пьочкой множестеа Х С И, если из этого множесззоеа можно выделить послгдоеапоельность (хо) различных пзочек, сходящуюся к хо. Определения 1 и 4 эквивалентны.
Пусть |; Х И и то — предельная точка множества Х. Определение б (Гейне). Функция ( имеегл ззредельное значение при к -о ко (или о точке то), если существует поакое число А Е К, что для произвольной последовательности (ко) значений х б ()а, Ь('1(хо)), сходящейся к поочке хо, соопоестстеуюизая нослсдооательноспоь значений функции (((х„)) сходится к точке А. Определение б (Коши). Функция ( имгепь предел при к ко, если ЗА ~ К Л уг > 0 3 б > 0: 0 < (к — хо~ < б ~ Г((х) — А( < г. При этом число А называем пределом (или предельным значением) функции ( в точке ко и записываем 1пв,((з) = А или У(к) А при т ко. оо Определения Гейне н Коши эквивалентны.
Введем понятие одностороннего предела. Определение 7 (Гейне). Функция ( имеет е точке то предел слеза (спраеа), если сущеспзеуепз поеное чи~ло А Е И, чпт для произеольнсй последоеапоельноспои (ко) значений к, а < ко < хо (хо < к < Ь), сходящейся к точке хо при и -о со, сооптепостеующая последоеательноспоь (1(хо)) значений функции ( сходипося к тачке А. Определение 0 (Коши). Функция ( имеепз е значке хо предел слеза (спраеа), если ЗА Е К Л ог > О Л б > 0: 0 < хо — х < б (О < х — то < б) е )((к) — А1 < е. З 7. Предел функции Число А называем пределом слева (сарова) функции у в точке хв и обозначаем 1'(хс — О) Щхс + О)) или йпз б(х) ~ Йп з (х) »»»-с 'э»»» Ео Функция у имеет предел в точке хо тогда и только тогда, когда в етой точке существувзт н равные между собой пределы слева и справа.
Теорема (критерий Коши). Функция у имеет конечный предел в точке хо тоеда и только тогда, когда уг > О 3 б > О:(О < )х — хс! < б Л О < )у — хс) < б) т Щх) — у(у)) < в. Особую роль играют два замечательных предела: 1 2) йп(1+ к) * т е. о 1) йпз — ж 1; З1П Х «-а Если 1пп У(х) = А, йпэ д(х) = В, то » «с « .«с йпз (Г(х)+ д(х)) = А+ В; йт у(х)д(х) = АВ; )ип -~»- = — (д(х) За О, В ЗЗ О). у(х) А «-»в «-»« -, д(х) В 7.2.
Ограниченность функции. Функция у: Х И, Х С И, называется ограниченной на множестве Х, если существуют числа т н М такие, что т < у(х) < М, х Е Х. Число тв = Ы (у(х)) называется точной нижней гранью функции ~, а числр Мз т «ех впр(у(х)) — п1очной верхней гранью функции у на множестве м. Равность мв — то иваы- «ЕХ вается колебанием функции у на множестве Х. Если функция У; Х -' И имеет конечный предел в точке хо Е Х, то она ограничена в некоторой окрестности етой точки. 1д(х)) < А)Х(х)), д = о(у) то записываем при х хс. При этом функции г" и д называем функциями одного порядка при х -» хо.
Если тг > О ЗЯ С Х О У Е В такое, что т'х Е Е кроме, быть может, самой точки хе, выполняется неравенство Ы )1< йх)! д = о(у) то записываем 7.3, Символы Ландау. Эквивалентные функции. Пусть хо Е Й, а В = (Х, У, Е, ...) — семейство всех интервалов пространства И, которме либо все содержат точку хо как внутреннюю, либо все они имеют точку хо своим концом только левым или только правым длл всех интервалов множества В. Тогда»Х Е В 11 «У Е В~Хс1УЕВ, ХЕВлЕСХ~УЕВ.
Пусть х = (у, д, й, ...) — семейство числовых функций, обладающих одним из следующих свойств: 1) для произвольной функции у Е с в множестве В существует содержащий точку хо интервал Х, на котором функция У определена, кроме, быть может, самом точки хе; 2) для произвольной функции у Е дз в множестве В существует интервал, имеющий своим концом точку хо, на котором Г' определена. Определение 1. Если 1пп г(х) = О, 1по функция у называется бесконечно малой при »а х » ха, если Рап 1(х) = оо, пт функиия 1" называется бесконечно большой при х уе хв. *» Определение 2.
Если дяя функций у, д Е с, г"; Х вЂ” И, д: У И, существует инптрвол Е С Х О У Е В, Х Е В, У Е В, и такое конечное число А > О, что чх Е Я, кроме, быпзь мамша, самой точки хс, выполнясп1ся неравенство Гл. 1, Введение в анализ при х -» ха. При этом в случае у(х) О, 1'(х) » 0 при х » хв считаем, что фунхция д есть бесконечно малая более высокого порядка, чем у; если же д(х) со, 1(х) со при х хв, то считаем, что бесконечно большая функция у имеет порядок роста ниже, чем 1". Если существует интервал У Е В такой, что тх Е Я)(хв) у(х) ф О, то запись у = О(1) означает что отношение д(-1 ограничено црн х Е У1(хв), а запись у = о(1), что -1-). -» О Л*) Л») прн х — хо. Символы О и в называются символами 7аидаи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
