И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 15
Текст из файла (страница 15)
+— Уь Уь ''' У также сходится и 1пп тн = 1нп у„. ' в) Докаэатьч что если !пп у„= +ос, то 1пп т„=+со и 1нп д =+со, ГДЕ тн — СРЕДНЕЕ ГаРМОНИЧЕСКОЕ, а С вЂ” СРЕДНЕЕ аРИфМЕтнЧЕСКОЕ Иэ ЧИСЕЛ Уь, Уь, ..., Ув. ХВ ь+ ден+Хс Х дььЬ вЂ” = — < + —, а дт+г дт+г т дьп+г ьь ' х у г'ь дпь х, в х а( — < ~о+-) + — < о+ — + —. и 1 2) дт+г и 2 и Поскольку О ( г < т+1, то х, ограничено и существует такое число Аь(в), что при н ) Л'(е) Х Е О « — " —. А тогда и ( "—" < о+ — '+ — ' = о+ в при и > Аь(е), так что йп —" = о. й 2 2 н-с 1Х2. Доказать теорему Теплица: !ьуспьв 1) Р ь )~ О; 2) ~~ь Р„ь = 1; 3) 1пп Р.
у = О и ьс в=1 при камдом фиксированном ьч 4) 1нп х„= а. Тогда последовательность с членами С„= и ЕРввху сходится и Тип г„= а. л ь ° Иэ условия 4) вытекает существование тахого числа Аь = Л(в), что неравенство (х — а! <— 2 ! б. Предел последовательности (й = 1, й; й б !т!), то для Р а и х» будут выполнены все Р аха = 4~. Следовательно, Бп! би ш й1ш х». 1=1 -о » оо М а) Если положить Р 1 = — „ 1 условия примера 112, причем т» = б) Пусть 1 ,Г Рт'о ! 1 ! (й 1 й) х — ф» ш — + — +...+— ш оо ю Тогда все условия примера П2 будут выполнены, причем Г» = «». Следовательно, Ьв «» оз !пп у в) Покажем, что если Ьп — = О, то !пп — = О.
А это эквивалентно тому, что ))ш «» ш 1 ! о з оо и о» +со. Используя пример 112 и полагая 1 — 1 Р а= — (1=1, 11), Х»о» вЂ”, й у М Имеем (см. пример 42) тт х1+ хз+ .. ° +хо — + — +. +— и 1 От А поскольку Ьп д = Бш б = !цп х (см. пример 113), то т о,г,...т; 1 1 ох, Доказать, что если т!тт! б т"( х > О, то йш 1/х = йш— » оо:о Х вЂ” 1 предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.
М Доказательство следует из того, что х = йп! 1 !пп т/х» оо Ьп (см, пример 114). м й 116. Доказать, что йш — „ж е, КЛ < ,'Заметим,что й й» .;;;1 где х» тх — ", . !!оскольку йш —" = Ьп (1+ — „) -1 -1 получаем требуемое утверждение. В 117. Доказать теорему Штольца; если с, то на основании примера 115 Х Х»-1 шп , тло » оо и» у»-1 а) !ттй б !т! у»+! > у»; б) йш у =+со; в) суше»»тере»1 п оо хт! 1, х х — \ у у»-! получаем, что Г» оо '1 Р»»хо = — и !пп — = 1пп — = О.
! . 1 . 1 1 оо З" Утверждение, что Ьп 4» = +ос, следует из неравенства (см. пример 42) «» м с» и ив того, что Ьп т = 4-оо, 114. Доказать, что если последовательность (х ) сходится и х» > О; то т охк...т;= т Гл. 1. Введение в анализ М Пусть йьп ' " ' = а (а — конечное). Тогда если считать, что уо = О, хо = О и У У -1 Уь — УЬ-1 — ..
Хи — Хь,-1 Риу =, !ь = 1, п, Хи ои то получим выполнение условий теоремы Теплица (пример 112) для Р у и Хи, причем ьи ои и„ у СЛЕДОВатЕЛЬНО, 1ПП *— " = Иьв !и ои йю Хи ои ПШ "" " ' = а. ор оо и ооУ Если йпь " " ' = +ос, тО ПОВтОРяем пРиведенные выше рассУждения Для последова- ,У-У-1 тельности ( — "" ), предварительно убедившись, что х +1 > х, начиная с некоторого по б м, и Ыш хи УР+оо. и оо 118. Доказать, что если р — натуральное число, то: 1Р+2Р+ ... +пя 1, ! 1Р+2Р+ ...
пэ и ! 1 а) 1пп — б) йпь ььрт' р+1 оо ~ пр ,+ ) — 2 1Р + ЗР + ... + (2п + 1)Р 2Р 113И-1 р+1 М Для доказательства применим теорему Штольца (пример 117). Докажем пункт б) (пункты а) и в) доказываются аналогично). б) Если положить х = (у+1)(1Р+ 2'+ ... +пэ) — ььр+', уи = (р+1)п", то 1пп " "=йш х +1 — хи, (р+1)(п+1)р — (ьь+1)р+ +по+ и ору.Ь1 — у (р+ 1)((п + 1)р — пр) !пп ~ ~ и ~ ~ ~ Р ~ ~ | ~ | Р 2 ~ | ~ ~ а (р+ ц (пр+,р-1+ у(р —,11,р-г+ + 1) + (р+ 1) (ььр +рпр 1 + мс 111Р г + + 1 пр) 2 (р+ Цььр ~~'2 „- 1+ „Р+ + г (Р+1) (пэ+рп' '+ .. + Г!Р— 1пр-'+ +1 — пр) Соберем коэффициенты при одинаковых степенях л.
Затем разделим числитель и знаменар-1 /11 тель на аэ и обозначим через о (-) сумму всех членов со степенями не выше -1; получим и йю ° +1 и ! г у.+, — уи . р(р+1)+о(Ч 2' 1 19. Доказать, что последовательность (х ), где 1 1 1 хи = 1+ — + — + ... + — — !пьь, 2 3 ьь сходится. Таким образом, имеет место формула 1 1 1 1+ — + — + ... + — = С+1пп+ои, 2 3 '' п где С = 0,577216 ... — так называемая постоянная Эйлера и хи -ь О при и со.
< Так как хиоь — хи ои — — 1л(п + 1) +1пп ии — ', — !и (1+ -) < О (см. пРимеР 32, а)), то последовательность (хи) монотонно убывающая. Кроме того, она ограничена снизу: 1 1 1 ь' 11 = 1+ — + — + ... + — — !и п > !в(1+ 1) + !и (1 + -) +1п (1 + -) + ... + !в (! + — ) — !и ьь = 2 3 и 3 4 и+1 11 п+1 1 = 1п (2 — — . — — ) = 1и — » — О. 2 3 и и) +1 Поэтому существует конечный предел С, а тогда справедливо представление 1 1 1 1+ — + -+ ... + — — !пп = С+хи, 2 3 ьь ! О.
Предел последовательности где г 0 при и †» са. и 120. Найти !!ш (— 1 и+1 М Пусть «„= 1+;+ . 1 1 — + — + . + и+1 а+2 (см. пример 119) и 1 + — +. и+2 1 + —. Тогда 2н) »1 = 1в 2и+ гз» вЂ” 1ви — гз = 1в 2+ (ззз — хз) =«2» 2и ( 1 1 11 1»п» ( — + — + ... + — ) = !в 2. У» +1 н+2 "' 2и) 121. Последовательность (х„) определяется формулами Х 1+Х 2 х»=а, х«=Ь, х„= 2 (и=3,4, ...). Найти !!ш х„.
м Имеем Хй-1 + Хй-2 Хй-1 Хй 2 Хй Хй-1 2 — Хй-1 =— 2 Подставляя зти выражения в одевидное равенство х = +(х — х )+(хз — х )+ а+(х — х ), получим, начиная со второго слагаемого, геометрическую прогрессию, сумма которой равна 6 — а 6 — а „Ь вЂ” а 2(Ь вЂ” а) Ь вЂ” а (-'1)" .; х„= а+ (Ь вЂ” а) — — + — + ... + (-1)" — = а+ -' — — +— 2 4 2»-2 3 3 2ч-2 ' откуда 2(Ь вЂ” а) Ь вЂ” а ( — 1)" ! а+2Ь Ьйп х = йш а+ \ 3 3 2й-2 ) 3 122.
Пусть (х ) — последовательность чисел, определяемая следующей формулай» 1/ 11 хо)0, х+1= — (х + — ), 21 х„)' Доказать, что !но х = 1. и поскольку хг > 0 и х„+ — > 2, то последовательность (х„) ограничена сииау чи- 1 1! слом 1. А из неРавенства х з1 = — (хз+ — ) ( х„, спРаведливого дла х д 1, вытекает, что данная последовательность монотонно убывает. Следовательно, существует кодеаньзй предел а, причем а ) 1.
Переходя к пределу в равенстве .!!! ! получаем +у» У +1 2 )хи~»у»»=З Е1 находим, что а = -' (а+ -') . Отсюда а = 1 или а = ш1. Но так как»у» Е И х„) 1, то айаг 1 Ьз 123. Доказать, что последовательности (х„) и (у„), определяющиеся формулами Хч+ уз х»=а, у»=Ь, х з»=ч»х„у„, у„+1= 2 .." з. с' имеют общий предел и(а, 6) = ййп х = йш у (арифметика-гаомешрическое средиеачнхеи» а и 6). »Я Из условия примера следует, что зи Е Н х„) О, у ) О.
Используя известное неравен' ство т»»аЬ( —, а)0, Ь>0, а+6 1 Гл. 1. Введение в анализ Найти пределы: 124. 1шь (1 — —,) (1 — — „) ... (1 — — г). ~ Поскольку 1 (й — 1)(5 + 1) йг 5г то, записывая произведения в виде (и — 1)(и + 1) 1 ьь + 1 иг 2 и 132435 2г 3г 4г (1--,',) (1--,',) ... (1- — ',) = находим, что Иьп (1 — — ) (1 — — ), 125. йпь (1 — -') (1 — —,) .. (1- 1 и+1 1 2 и 2 ,(1 — — )= 1ип 1 п(п+ь) ) ' г м Имеем 1 (5 — 1)(й + 2) И~+~1 — 1(5 + 1) 5=2, ьь. Тогда ьг1.4 2 5 3 6 (ьь — 1)(ьь+2) ьь . 1 и+2 1 — Бьп п (2 3 3 4 4 5''' п(и+1) ) 3 ьь 3 Найти пределы векторных последовательностей (хп), где: 126.
х = (("+ ), ( — и) ). щ Поскольку каждая непоследовательностей координат сходится, то, согласно п. 6.ь, Гйи хп=(1ип ( — ), (ип ( — ) )=(е,е ). щ Аналогично предыдущему примеру находим и+1 . и+1 . ьь+11 / 1 11 !инхп=(рйп —, йпь —,..., 1ип — )=(1,—,...,— ). (- и '»- 2и ' ' — ти) (,'2' 'ьи.) 128. Хп = (т/2+2", Ь/2+2 ", (//2+2 и'). щ Покажем, что существуют пределы последовательностей каждой из координат. Из неравенств 2 < ь72+ 2" < 2 72 и того, что 1ип Я = 1, следует Бпь чь24-2" = 2. Далее, из неравенств 1 < 1ь/2+ 2 и < ъ/3, 1 < 1/2+ 2 " < т/3 находим, что Гй (//2+ 2-и' = 1. 1ип 1ь/2+ 2 "= 1, А так как хпеь = ь/хпу В т/хгп = х , у +ь = †"+"" < уп, то, ввиду того что хп < уп < уь, уп ) хп ) хь, последовательности (х„) н (уп), в силу утверждения 2, п.
6.3, имеют конечные пределы А н В соответственно. Переходя к пределу в равенстве хп+у, У +ь = 2 получаем, что А = В. Общее значение этих пределов называется средним арифметикогеометрическим и обозначаетсл символом ьь(а, 5). ! 6. Предел последовательности Поскольку пределы последовательностей координат существуют, то существует и предел вела торной последовательности, а поэтому !ип хи = (1ип ь/2+2", йш 2222+2", !ил 2+2 "' = (2, 1, 1). 9 п о 'п и- ю -М 129. Хи = (Хь, Хаи, ..., Х и), ГДЕ ( 1 1 1 хьпь» ( — + — + ...+ . ), 1=1,», пб!21, ~11+1 и+2 ьь+ььь) ' ° я Обозначим у = 1+ -+ ... + —. Из примера 119 следует, что 1 1 2 У = С+!И и+ 7, где С вЂ” постоянная Эйлера, а 7„-а 0 при ьь оо.
Тогда хоь Оьь.ьб У вЂ” С + 1в((1 + ь)п) + 711»О~ — С вЂ” !и и — 7 = 1в(1 + а) + 7[ьеь)» 7». ' ' Поскольку 7 О, 711ебп — ь 0 при ьа — ь оо, то !ип х,и = 1п(1+ а), а = 1, ав, Следовательно, йап к = ( !ип хь, Ьш хэ, ..., !!ш х ) = (1л2, !пЗ, ..., !п(ьв+1)). в » и»ь 130. Пусть задана векторная последовательность (х ), где К (Х1 22п '''ь Х ) евклидова норма которой стремится к бесконечности. Обязательно ли существование хотя бы одной последовательности координаты (хьи), стре. мящейся к бесконечности? Рассмотреть пример (1 — (-1)и)ьь' (1+ (-1)и)и' Хп— в+1 ' »+1 и в Нег, не обязательно.
В предложенном примере евклидова норма 2пэ ((к„!! = стремится к бесконечности при в оо. Однако ни одна из последовательностей координат (1 — (-1)и) (1+(-1)и) хь. х2 »+1 ' »+1 не стремится к бесконечности. Действительно, длл последовательностей координат йш хь„ ~ +со, Рип хьи и» 0; йпь хэи = +со, 1пл хэи = 0 п Оь а» и, следовательно, оо не является пределом ни для одной нз этих последовательнортеа?:,м 131. найти предел последовательности (А„) ь» (аь ~), ь = 1, е, 2' = 11 д, где 1 1 1 + . +...+ ., еслиу>а, в+ иь+ 1 в+ ьн+ 2 11+111' ! ! а„ если ь=у, в 1 1 1 + . +...+ ., если ь'>1! ьь+ Уаа+ 1 ьь+ 111+ 2 и + ьп п ь-ь аи, а — 1,11, 2 1ьбь !»! 'ььь ь 1 каждая из последовательностей > ь'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
