И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 18
Текст из файла (страница 18)
х х ! 2 Так как !пц )х!" 1-о! =+оо, то йш )Р(х)! =+со. м 146. Пусть аох«+аьх" '+ ... +а„ Я(х) = хбИ, Ьох™+ Ььхю ь+ ... + Ь, ' где ао ф 0 и Ьо ф О. Доказать, что !пп И(х) = «ь со, если п > пь, ао — если и = ьа, Ь О, если ьь < пь. ч Пусть в > пь. Тогда ~~(.)! = !.!«-- "',=' ',*. ~.)п-™ ~ф (Н(.)! ' . ф~, откуда следует, что !цп Я(х) ьх О. пРи достаточно больших !х(. В силУ того что Бш !х!" ю «л = со, имеем йт 2Ь(х) ««оон Если и = пь, го ао+ — „'+ ° ° + — „" ао Щх) = — *, " — ь — при х «оо. Наконец, если ьь < т, то при достаточно больших (х) имеем Гл.
1. Введение в анализ 147, Пусть х О. Доказать следующие равенства; з / з'а а) Х ЗШ ч/Х = Х 2 + О ~ Х 2 ); б) 1и х = о (х '), е ) 0; г) агсгя — = О(1). 1 в) (1+ х)" = 1+ чьх+ о(х); м Написанные равенства следуют из того, что Хяаа/Х . ь — !пг 1 а) Вш — з — — 1; б) 1пп х '1вхь» 1по —,=О, Г»» —; » +0 — » +О х хг в) (1 1- х)' = ! + их .!- Сахг ")- ...
+ х = ! + их + (Сг х -!- ... + хи 1)х = 1 ! их + о(х)х, гдеа(х)=Сгх+...+х" ' Опрнх О; г) )агс10-~ < -'. в 148. Пусть х О. Выделить главный член вида Сх" (С вЂ” постоянная) и определить порядки малости относительно переменной х следующих функций; а) х)-ь(2х — Зх +х ); б) х 1-ь (а/Г+ х — ь/1 — х); в) х ь (~/1 — 2х — Л вЂ” Зх); г) х»» (айх — ыпх).
< а) Из того что 2х — Зх + х = 2х+ ( — Зх+ ха)х = 2х+ п(х)х, где о(х) О при х О, следует, что 2х — Зхг + хз = 2х+ о (х), т. е, Сх" = 2х, и»» 1. б) Из равенства йш — ~-=л — ' = 1 следует, что Сх = х, и = 1, т, е../1 + х — т/! — х х. *-о в) Поскольку з/1 — 2х — 1/1 — Зх /а/à — 2х — (1 — х) 1 — х — з/1 - Зх ! 1 1 йш =1шь ~ + — — -+1= —, о х2 с х2 г 2 2' то Сх = -х, и = 2. п 1 2 2 г) Имеем Бш ~З вЂ” ььь»-- = —, позтому Схз = -хз, и = 3. ь 149. Пусть х +со.
Выделить главный член вида Сх" и определить порядок роста относительно бесконечно большой х следующих функций: ) -ььгч=*а»1 )*-4ь )ьа ч < а) Поскольку '/*'- +Л й / =-т -й 2 Гип ьч1 — х-'+х 6 =1, + . +„» хз = 1ип С„па — С,„,и + = С„т — Сыча / и 2 л г о(х) а,г 2 о 2 ши(и — па) О~, и ™ х' 2 б) Полагая х = 1+ малых,. находим Гнп » 1 Х Г (! 0 при х 1) н пользуясь принципом отбрасывания бесконечно — 1 .
(1+ Г) — 1, чи!+ о(г) . па! пь = йш = йш = Гни — = —. в 1 а о (1+ !)и — 1 ь-а чаг+ о(Г) а о чаг ча 2 то Сх =хз, 2 з' 1 1 1 Ь)и +,)Г+Ло,1/;: Ч,С=ЧЬ-.-., С..=.Ь !.=Ц., Решить примеры (при решении некоторых из них заменить бесконечно малые функции эквивалентными им): 150.
а) йпа (1+ чик" — (1+)ах) . х™ — 1 . у чи и г ! б)!пп —; в)йш~ » хг 1 х" — 1 -1 1 — х 1 — х"/ (т, чь — натуральные числа). < а) Разлагая по формуле бинома Ньютона, получаем (1+ пах)" — (1-!-их)™ (Сгчьа' — Со ~р)*'+ (х') = йш -о хг а хг ! 7. Предел функции в) Пусть х = 1+2, Тогда 2 О при х 1. Имеем ь вь в '), ( и ьв Йп — — = Ыш („, ьь ьп = Йпь о ьчььз+ С222 + о (12) ьпГ -!- Сз 12 -!- о (12) (ИС2„— ПЬСо) 22 + О (М~) ВС2„— ЬВС2 ГИ вЂ” И = !!ьв ™ о пьььзз + о (гз) вьи 2 2 / 151.
И. -'((.+-)'+(х+ — ') + ...+~к+~" Цо) ). и Используя результаты примера 37, а), получаем Б — ( + †(1 + 2 + ... + ( — 1)) + †, (1 + 2 + ... + ( — 1) )) = 1/ 2 2ах о 2 оь и я гьз 1 / 2 2ах ьь(ьь — 1) а (и — 1)и(2и — 1) Ъ я !шь — ! ььх +— + 2 ) =х +ах+ —. ~ и ьь и 2 ььз 6 3 1ИИ. !нв ' +" +" +('н-')' г +42+ ... +(2ьь)2 ч Имеем 1 2 ( и)2 (2 2+ Ия2+ ) 3 (см.
пример 37, а)), Вычитая из второго равенства первое, получаем Ьь -;- ЬЗ»,- Ь ъЬ ь ЬО ь Ь 2Ьь '-ьь 1 + 3 + ... -!- (2ьь — 1) 3 3 ь 3 Тогда 1 ьпь ..ььь — ) ь~ -ь 1ьпь 2 = 1. 2'+42+ ... +(2 )' - 2п(и+1)(2и+1) 1 +4 +7 + ... +(Зьь — 2) ьь (1+ 4+ 7+ ... + (Зв — 2))2 М Имеем (см. пример 37, б)) 1 +4 +7 + ... +(Зв — 2)' =(3 1 — 2) +(3.2 — 2) +(3.3 — 2) + ... +(Зи — 2) ьх = 27 (12 + 22 + 32 + ... + ьь ) — 34 (1 + 2 + ... + ьь ) + 36 (1 + 2 + ... + и) — Зи = ьь(и+1) ьЬ ьь(ьь+1)(2и+1) и(и+1) (1 + 4+ 7 + ...
+ (Зьь — 2)) 4 Посколъку в числителе и знаменателе высшая степень и равна 4, то предел дроби равен отношению коэффициентов прн иь, т. е. 3. ьв 154. 1пп Фхж эо и Предполагая, что хо > О, положим х = ха + г. Ясно, что г 0 при х ~ хо. Считая !1! < хо, имеем анхо 11 — — ) < ч/хо+! = 7/хо о~/1+ — < ~/хо о~1+ — ), / )1) 'ь „„„г „ /' (!) '! хо /' хо хо) откуда йш ь/х = !пп ь/хо+ Г = 7/хо. ь-о Гл.
1. Введение в анализ ус 155. Тип т/а+1 ч Разделив числитель н знаменатель на ь/х, получим ф+~~ -4~.,/х + 1 в/1+ — „ ,/х — ь/а+ „/х — а /хз,вз м Имеем ь/х —,/а + ь/х — а . ( «/х — «/а ь/х — а Пш =Бш + «в т/ху — ав «вь в/хз — аз;/х~ — ат / х а 1 ) . ( 1 х — а + — = 1пп — + — «« — > ««! т/хв — ат (т/х+ т/а),/х+ а/ «- 'в,«/х+ т/а !/ в+ и т/х+ а/ в/га «/9+ 2х — 5 в «в/х — 2 м Очевидно, /9+2х — 5 . (9+2х — 25)(т/хат+Я!х+4) .
/хв+2«в/к+4 12 «в ~т~х — 2 «в (х — 8)(т/9-(-гх -!.5) * в т/9+ гх+ 5 5 ' Замечание. При решении примеров 155 — 157 использованы результаты примера 154. т/Т+ х — 1 168. йп (в — целое число). «-о х М Положим "„/1+ х — 1 = В. Тогда х = (1+ 4)" — 1.
Считая, что (х( < 1, имеем 1 — )х( < т/Т+ х < 1+ )х), откуда 1пп Я+ х = 1, т. е. в 0 при х О. А тогда с т/Т+х — 1, 4 . в 1 !нп = Бш = !пл «-с х ~ с(1+В)" — 1 ~ с аз+с(т) в Следовательно, ~/Т+ х = 1+ -+ о(х), х О. в ь/х+ 2 — ~/х+ 20 ,'/х+ 9 — 2 М Имеем при х 7 х — 7 У х — 75 ~Б+ г = З 1+ — = З ~(1 + — ) + с (х — 7), 9 18 ) ь/х + 20 = 3 1 + — = 3 Г1 + — ) .1- о (х — 7), 27 ~ 81 Т9«2~/1+ — =5(1; — ); ( — С Таким образом, ь/х+2 — тв/х-!-20 3(1+ — *, ) — 3(1+ — ) +о(х — 7) П2 !пп = !пп — > ь/х+ 9 — 2 т 2(1+ — *) + с(х — 7) — 2 27 160. 1пп = «с,'/1+5х — (1+х)' ! у. Предел Функции М Положим ~/Г+ 5х = !.
Ясно, что ! — с О, если х О. Тогда х = -((1+ Г) — 1) и — 'И1+ )' — 1)' !пп !1нс Ы *-.;/Г+ бх — (1+ х) —. ! 1((1+ !)ь ц ,'., а~ — 1 с с* = !йп,зь с о ! — 1(5! .!- 10!2 + о (Р)) с«о — 212 + о (!2) 2 в — целые числа). = 1па !/1+ ух и 1пп с о *-о 162. Пусть Р(х) = асх+ азха+ ... + а„х" и св — целое число. Доказать, что !Шс ° Так как Р(х) 0 прн х О, то ;К+ ~(х) -1 м, т/1+Р(х) -1 Р(.) Рип = Ыш 2 О х о Р(х) х = )пп " 1пл(аг+азх+ ... +а х" ) ы— х-а Р(х) *-о ш (см.
пример 158). я Найти пределы: "'/х — 1 163. !сш „(пс и и — целые числа). ",/х — 1 М Положим х = (1+!)~". Тогда ! О при х с 1 и 2/х — 1 . (1+ !)"— 11ш „= Бпс с/х — 1 с о (1+!) 1 в 1 сп (см, пример 150, б)). > 164. Нш ( ь/*)( (1 — х)" ° Ф Полагая 1 — х = ! (! 0 при х -с 1), получаем 1пп (1 — ьсх)(! — ~х) " (1 — Лх 1 (1 — )'* ' ) 2 3 'в я! = 1пп с о М 1 1 (воспользовались решением примера 158).
Ь Решить примеры (в примерах 165 — 168 избавляемся от радикалов в числителе и переходим к выражениям с очевидными предельными значениями): 165. !шс х(;/хз+2х — 2„/хз+х+х), 1 Имеем 2х(~/х~ + 2х — х — 1) 1пп х(~/х~ +2х — 2~/х~ + х+ х) = Исп х х +« -асс ь/хт + 2х+ х+ 21/хУ+ х -2хз — !пп -+ы (~/х~ + 2х -!- х + 21/хх + х) (у хз + 2х -!- х -!- 1) 1/1 + ссх ",/1 + О'х — 1 о х М Пользуясь результатом примера 158, и с/Г+ох ~/Т+ Дх — 1, ~/Т + Дх( !пп = = 11пс меем Я+ох — 1)+ ъ/1+7х — 1 ",/Г+ох — 1; 7/1+~ х — 1 о ф + !) 1йп = — + —. ° ох О сзХ В ВС Гл.
1. Введение в анализ 166. )пп (~/хо+ 2«2 — 1гсхг — 2х). с + < Прибавляя и вычитая х, получим йш (1/«2+2«2 — Гугхг — 2х) = йш (~/х' — лхг — х)+ бш (х — /х' — гх) =1+1 Е ОО + = 2. ° 167, йя ( — х). м Положим — = 1, тогда 1 — +О при х — +ос и 1 "сс1+ Р(Г) — 1 (х+ ас)(в+ аг) ... (х+ а„) — х = Ф где Р(1) = (ас + аг + ... + аО) г + (а, аг + осаг + .. + О„со„) гг + ... + ос аз ... а„го. Используя результат примера 1б2, находим, что искомый предел равен аг + аг + ...
+ а„ (х — ъгхг 1)) + (х + ъ/хг — 1) 168. Ппг О +Ос х" < Имеем Вш (х — г/Р— 1) + (х + тУхг — 1) Х +Ос ха — 1пп + йш 1+1 1 — — =0+2" я2". В с,х(х+ гхг — 1) 1 О-~~ 1 о (тгГ+ х~+ х)" — (,/Г+ ху — х)" 169. Иш (гь — натуральное число), О О х < Возводя в 11-ю степень и приводя подобные члены, получаем О О х ох 1 =1 (.(,л~.*) с — ) =,. 1 ( ) с О гс г О.
Тогда ВП1 ГПХ . В!П(СП« йш — = йпг ;с В1ПНХ С-О Вгп(п« + осг) . ( — 1)™япосг = 1пп + пг] с-о ( — 1)" яп вг = (-1)' — Ыпс †. —, = (-1) . —, В От, япш1 пг „, „ш 11 с о шг япгсг 11 171. ц 1 — сов х о хг Л Пользуясь первым замечательным пределом, находим йш .г г Таким образом, 1 — сов х = — '+ о (х ) при х О. В Найти пределы: яп осх О ЯП СОХ < Положим х = «+ 1 — совх, 2яп — 1 гв1п — т 2 / ' 11пг г 1;ш ~ ' 2) хг О о хг *-о 2 — 2 2 11. Предел Функции 1+з!Пх — созх, х+о(х) 1 = Йп — в а-а 1+2!Прх — соврх а о рх+ о(х) р 175, Доказать равенства: а) !!пг япх = ива; б) 1ип сов х = сова; а <а а) Имеем 2п'- 1 в) Ипггдх=гба, аф — гг; ПЕЙ. а 2 х — а~ < 2 ~ яп — < )х — а), Йш в!их = яп а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
