И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 11
Текст из файла (страница 11)
!»г»пг '!'! 'Т аксиом метрики показать, что в пространстве, Щгдвгь размера иг х и, расстояние между произв«ханыгой,тнчуи в) р(х, у] = юах )х, — у;(; г<!» д) р(х, у) = ~ «г)х, — у ), «; !=1 59. Непосредственной проверкой ментами которого являются матрицы ками (матрицами) Аж(а,!) и В = (6„) и могкио ввести одним из равенств: а) р(А, В) = ~ ~ (а;! — 6,!)г; !»гг=! б) р(А, В) = щах ~, )а! — 6г!)! !»!»пг т в) р(А, В) = !пах ~, '~аг! — 6;!) !»г< г) р(х, у) = г-гуг)-+ (-азха)-! е) р(х, у) = гаах()-ггхг), )-гзуг в) р(х, у) = щах !!х, — у,); !<!<г д) Р(гс У)= г + г) р(А, В) = мах )аг! — 60).
!»!»- !»!'» 60. Пусть Š— метрическое пространство с метрикой р: Е х Е -! мт. )и г! Показать, что если, кроме того, Е и векторное пространство, то оно являетгл нормированным пространством с нормой ((ху = р(х, В), где х — произвольный, а  — нулевой элементы пространства Е. 61. Изобразить множество точек, которое является замкнутым (открытым) жаром В'6!8!и трическом пространстве Н, если метрика р определена одним из следующих равенств: ' '"" ! а) р(х, у) = (х! — у!)г+(хг — уг)г; б) р(х, У) = )х! — у!)+)хг-уг(;, ь л. 1. Введение в анализ ~ 6. Предел последовательности б.1.
Понятие последовательности. Определение. Посведовашсльиоспьью элемеиошв множества Е называется отображение И Е:ььь х, ьи. е. 4Ьункиия, кошорая каждому иапьуральиому числу и б И спьавит в соответствие элемент х б Е. Для записи последовательности употребляем обозначения (х„), илн хь, хз, ..., х„, ..., или хату(п), пбИ.
Эаементы хь, хз, ..., х„, ... называются членами последовапьельиосши, а х — общим членом последовапьсльиоспш. Множество Е может быть различным, например: И, Ьс™, С[а, Ь], 971 н т. д. Если Е = К, то последовательность называется числовой, если Е = мю, — векторной, если Е = С[а, Ц, — 4Ьуикпиональиой, если Е = Оу(, — матричной и т.
д, В каждом из этих случаев множество всевозможных последовательностей образует векторное нормированное, а следовательно, и метрическое пространство. 8.2. Сходящиеся последовательности н их свойства. Сначала рассмотрим числовые последовательности. Определение. Последовапьельиость (х ) двйсшвипьельиых чисел называепься сходящейся, если сущеептуепь дейспьвипьельиое число а и для произвольного е > О еущеетвуепь натуральное число пь такое, чпьо для всех и > пь справедливо нсравеиспьво 1х„— а! < е. При этом число а называют пределом последовашельиоспьи (х ), что символически записывают 1нп х„ = а или х„ а при и — оо.
С помощью логических символов определение запишется следующим образом: числовая последовапьельиоепьь (х„) называепься сходящейся, если 3 а б К Л 'з' е > О д пь б И: ььь > т т 1х — а( < е. Если последовательность не является сходящейся, то ее называют расходящейся.
Теорема. Если ььоследоваиьельпоспьи (х„) и (у„) дейсшвипьельиых чисел сходяьлся и Ыпь хь т а, 1пп у» — — Ь, пьо 1ьпь(х +у )=а+Ь, 1ьпь х„у =аЬ, ьь 1пп — "= — (у уейуььбИ, Ьфй). Ь б.З. Признаки существования предела, 1. Если У (хь(з„ьУьь>ььс и !пп У = 1нп з =а,то д11ш х =а. 2. Монотонная н ограниченная последовательность имеет предел. 3. Числовая последовательность (х„) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда Уе > О аль б И: У и > ьп Л у 1ь б И ~ (х в„— х„( < ь (критерий Коши).
б.4. Число е. ьь Последовательность и ь-ь [1 + -„), и к И, имеет конечный предел, называемый числом е: 1ьп йш 11+ — ) = е = 2,718 281 828 459 045 ь юЬ ьь 1 б. Предел последовательности 6.5. Предел в несобственном смысле. Определение 1. »»-окресгггиоспгью "пгочки +оо" ("точки — оо") наэываетев множе ство точек И, удовлетяворяющих иеравеисигву Ь < х < +оо (-оо < х < — с»); (э — окрести осигью "точки оо" называется множество птчек Й, не принадлежащих сеп меппгу [ — Ь, »»]. Определение 2. Числовая последова»пельноспгь (х ) имеепг предел +со ( — оо), или серемипгся к +со ( — оо), если тс»>ОЗтбИ;Ьи>т~х >Ь (УЬ>ОЪ~ь бИ;Уп> пг~ьхь < — 21). Числовая последовательиосигь (х„) имеепг предел оо, если ЧЬ > О В т б И: Чн > гл щ~ ]Хя] > ('.».
6.6. Частичные пределы. Верхннй н нижний пределы. Определение 1. Если частичная последовательность (х„„) сходипгся, то ее предел иаэываегпся часпьичным пределом последовапгельпости (х ). Определение 2. Число а б )к паэываепгся предельной агапкой числовой послвдоваэпела иосгяи (х„), если любая ее окрестность содержипг Бесконечное число членов последоваэпепьи о с пг и. Частичный предел последовательности является одновременно н ее предельной точкой. Определение 3. Наибольиьий (паимеиьший) часпьичиый предел числовой последоетпелапости (х„) паэываспгся ее верхним (пижпим) пределом и обозначается символом 1г»г» хя ( 1»гв хо)' и оо Теорема. Любая числовая иоследоваптльпость имеепг верхний и нижний предала» (») (») (») Оы агг ...
аг„ А»= ...., )»6И, (") (») (») такая, что д 1щг ар , р = 1,п, е = 1, т, то эта последовательность сходится н справедлнво »' о равенство )гп» а, ... )гт а, (») (") 1нв а( ) » !нв А» = » о, (») Ьп а »-ю 1пи а (») » /2п+11 64. Доказать, что последовательность (х„) = < — ~ сходится к числу 2. щ Имеем ]х„— 2] = ~ ~"~' — 2~ ж г . для любого е > О Л и» б И такое, что — < е (Сф 1 пример 28).
Тогда Ч я > т справедливо неравенство — < е н, следовательно, [х„— 1[ < е, т. е. 1нп х„ж 2. ж 6.7. Сходящнеся последовательности в метрическом пространстве. Определение. последовательпосп»ь (х„) элементов мепгрическоэо просгпранства 4.ма.- эывается сходящейся, если гущеспгвуют элемент а б Е и для любоэо е > О невщравьнеечисло гп такое, чего т п > пг справедливо иераеепсгиво р(хы а) < е. В этом определении натуральное число т можно заменить положнтельным действительным числом о, поскольку нз неравенства п > а следует п > [а] = т. Если в И задана последовательность с членами х = (хпп хг», ..., х,„я), в б И, твкая, что существует 1нв х,а, 1 = 1, т, то эта последовательность сходится н снраведдпгво равенство )пп х = ( 1ип хгт 1нп хг,..., 1»пг хя ) о«оо Аналогично, если в Оу( задана последовательность Гл.
1. Введение в анализ 225. Доказатги что; а) Ью ди = О при (О! < 1; б) 1пп д" = оа прн !О! > 1. и со и со М а) Если т = О, то равенство а) очевидно. Пусть з > Π— произвольно и О < !д! < 1. Тогда, пользуясь неравенством Бернулли, получим — 1+ — — 1 >1-~-и — — 1 >в — — 1 Отсюда !Ч! -(Ч ! < н(1- ! !) <' "" >.(1 ! !) !т! , „ „ (т! б) Пусть )О! > 1 н со > Π— произвольно. Тогда нз неравенства !О)и = (1+ ()з! — 1))и > 1+ п()О! — 1) > и()е! — 1) > ЪЬ находим, что !д! >ь ъгп> —.и 211 !О! — 1 2» — 1) —,+,„+ —,„.Т да 5 2 -1 1 /1 1 = -+ (-+— 2 ъ2 22 2" +' 1 1 2п — 1 +...+ — ) —— 2" 1) 2»+' 1 1 2п — 1 1 2-1 Я„= 1+1+ -+ ...
+ — — = 1+ 2 2" 2 2" 1— 2 2п — 1 2» Тавим образом, — 2» — 1 ~ ! 1 2н — 1 Ь Я =Ь (Г1+, — — „1=Ьщ(1+2 — — „- — и)со и оо со 2 1 —- 2»-2 2" 2 Здесь воспользовалнсь тем, что и 2 < е "~"=.Л и — 1 ~ и и < 1+и+ 2(Г=Ъ)+ „+1 длн произвольного е > О, если и > 1 + -, т, е. 1Ъш — "„- м О.
М с' »-со М Заметим,что 1) (1 1 ) 1 Тогда 1'1 1 1 йп! ~ — + — +...+ и оо (~1 2 2 3 ' п(н+1)( (1 — 1 )=Ем = 1Ъпс » со М. Ыт (Я. Я Я... 2/2). Найти следующие пределы: /1 3. 5 тто. Ы ~-+ — 2+ — 2+ и от2 22 22 М Пололсим Я = .-+ 2 + 2 г 1 1 > 67. 1Ьп ~ — + — + ° ° + и оо )~1 2 2 ° 3 ' п(и+1) 1, и . 1 = 1пп 3 — йт — „— 2 1пп — „+ 1пп — „= 3.
'Ъ 2 ии Ъи »-оо 2 »-22 и 2 Ь б. Предел последовательности ! ! ь, ! Л Так как т/2 т/2 ° т/2,, *т/2 = 2!+2+"' з" = 2 з" = —, и при я > 2 2з" 2= 2з" = 1+ 2з" — 1 > 1+ 2з" — 1 ! ! ! = 1 + и (2 з" — 1) + ... + (2 з" — 1) > я (2 з" — 1), т. е. ! 2 0 <2з» 1< я' то 2з" 1 при п оо и предел последовательности равен 2. и Доказать следующие равенства: 2» 69. йп! — = О. » и! Л Равенство следует из неравенства г2 и из того, что (-) 0 при н оо (см.
пример 65). а 70. 1нп — »=О, а>1. а» Л Пусть оь — целое и гл > Ь. Тогда где Ь = г/а > 1. Но н 0< —— !о ! )о! ьа) )о) ьа) )а) )а)™ ! ьа) <е, ~ гь! ~ 1 2 пь пь+1 н гн! ! нь+! / 0 и гн+ 1 > )а), если н достаточно велико. М <1. справедливого при любом е > 72. Нп! гье" гк О, если (0~ »»» Л Доказательство следует нз того, что гь гь /ггпу" / = — „= —, Ь > 1 (см. пример ьО).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
