И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если операция Т есть сложение, то группа называется аддитивной, если Т есть умноже- ние, то группа называется мулыпипликаптвной, 3.2. Аксиомы полл действительных чисел. Определение 1, Множество И = (а, Ь, с, ...) иазываепися полем действительных (или вещественных) чисел, если для его элементов усишиовлеиы бинарные отношения и бинарные операции, подчиненные перечисленным ниже аксиомам. Аксиомы сложения С.О.
В множестве Я определена внутренняя бинарная операция — сложение Кхй К:(а,6)~ а+6, которая каждой паре элементов а, 6 б К однозначно ставит в соответствие некоторый элемент множества И, называемый их суммой и обозначаемый символом а+ 6. При этом выполняются следующие аксиомы; С.1. (а+ 6) + с = а+ (6+ с) (ассоциативнгзй закон).
С.2. В 64 существует элемент, называемый кулем н обозначаемый символом О, такой, что Ыаб64 а+О=а. С,З, Ыа к Б существует такое число ( — а) б К, что выполняется равенство «+( — а) =О. С,4. Ыа,ЬбЬЬ а+Ь =Ь+ а. Таким образом, множество К является аддитивиой абелевой группой. Ь 3. Действителькые числа Аксиомы умножения У.О. В множестве И определена внутренняя бинарная операция — умножение ИхИ И:(а,Ь)~а ° Ь, которая каждой паре элементов а, 6 б И однозначно ставит в соответствие некотории зив' мент множества И, называемый их произведением и обозначаемый символом а 6, При'этом выполняются следующие аксиомы: У.1.
(а. 6) с = а (Ь. с) га, 6, с б И (ассоциатнвный закон). У.2. В И существует элемент, называемый единицей и обозначаемый символом 1, такой, что уа б И справедливо равенство а ° 1 = а. У.З. га б И1(О) существует элемент а ' б И, называемый обратным числу а, такой, что а а =1. У.4. а 6=6 а Ча,ЬОИ. Следовательно, множество ненулевых элементов множества И является мультипликапшеиои абглсеой группой. Д.1.
Операция умножения дистрибутнвна относительно сложения, т. е. а (Ь+с)=а.Ь+а с та,Ь,сбИ. Множество (а, 6, с, ... ), удовлетворяющее аксиомам С, У и Д, называется числоеь1м полем. Это же множество без аксиомы У.4 называется телом. Аксиомы порядка П.О, В множестве И задано отношение (, которое вполне упорядочивает И; П.1. а < а га б И (рефлексивность).
П.2. (а ( 6 л 6 ( а) ~ (а = 6) (антисимметричность). П.З, (а ~( 6 Л 6 ( с) ю (а ( с) (транзитивность). П.4. га, 6 б И или а ( 6, илн 6 ( а, илн то и другое. Следующие две аксиомы связывают отношение порядка н бинарные операции: ПП.1. Если а, 6, с й И и а ( 6, то а + г ( 6+ с. ПП.2. Из О ( а и О ( 6 следует О ( аЬ Уа, Ь б И. Аксиома о верхней грани Определение 2.
Миомесгвео А С И называется ограниченным сверху, если сущестаугпг элгменгв М С И такой, чпао а ( М га б А, при этом число М называется верхней гранью множгсгяеа А. Определение 3. Верхняя грань М' множества А называется точной верхней гранью множгс~иеа А, если всякая другая верхняя грань М мнозкесгвеа А не меньше числа М'., Точная верхняя грань множества А обозначается символом звр А. В.О. Всякое ограниченное сверху множество А С И имеет точную верхнюю грань.
З.З. Расширенное множество действительных чисел. Определение. Множество И = И гз ( — оо, +со), состоящее из элементов множества И и двух символов — со и +со, называется расширенной системой действительных чисел; причем еьпголияюпася следующие условия: а) — оо < а < +ос, а а а — ОО= — ОО, а+СЮ=+ОО, — ш — тО тайИ; — 00 +ос б) если а > О, то а ( — со) = — оо, а (+со) = +со; в) если а < О, гво а (-оо) = +со, а ° (+со) = — оо.
Символ — со +со называется минус (плюс бесконечностью. Гл. 1. Введение в анализ 3.4. Основные характеристики действительного числа. ( 1, еслих)0, зйвх= О, еслих=О, -1, если х < 0; ) О, еслих) О, -х, если х < О. если х ) О, еслих < 0; если х > О, если х ( О; Очевидны следующие соотношения между этими характеристиками тх б И: х = (х)эйп х, (х) = хэйвх, х = х+ — х И вЂ” * х 2 )х(тх++х, х~ = ~ 2 При решении задач часто применяются неравенства -)х)<-х (х<х~()х(, )х)ВО, х >О, х )О.
(2) Вместе с указанными характеристиками полезно также рассмотреть функции И -~ И; х ь )х), х е~ зйвх, х г х, х х, графики которых изображены на рис. 17 — 20. Первая и вторая функции являются мультипликативиыми отображениями, поскольку из определения этих функций следуют равенства )ху! = (хцу(, зйа(гу) = (эйв х)(айву) т(х б Р., у б И).
Каждая из указанных функций, эа исключением "зйп", обладает свойством: множество точек, расположенных выше ее графика, является выпуклым, т, е, если две точки на плоскости расположены выше графика функции, то и все точки отрезка, соединяющего их, также расноложены выше. Такие функции называются выпуклыми. Если функция У определена иа числовой нрямой И и является выпуклой, то Ч(хг б И, хэ б И) выполняется неравенство (х! + хэ Л У(х1) + г (хэ) ) < 2 ) 2 (3) Это неравеибтво очевидно: его левая часть есть ордииата точки графика с абсциссой — '+-а, э а правая часть — ордината точки отрезка с той же абсциссой, расположенного выше графика (рис.
21). Выпуклые функции будут подробно изучены в 3 5, гл. 7. Применив неравенство (3) к выпуклым функциям х м (х(, х г х~, х м х, получим ва:кные оценки )х + у) < )х! + )у(, (х + у) ( х + у , (х + у) ( х + у (4) справедливые т(х б И, у б И). Из всех перечисленных характеристик действительного числа наиболее важной является его модуль. Под основными свойствами модуля числа понимают следующие: 1) тхбИ ()х(=0)=э(х=О); 2) У(Л 6 И, х б И) 1Лх) = )ЛйхВ 3) У(х б И, у б И) 1х + у) < ) х ) + (у).
,, Последнее неравенство называется мерааемстаом треугольника, носкольку оио имеет геометрический смысл в слумае, когда х б С, у б С (см. 1 4). Будем для простоты обозначать через И одмоаргмеммо мможеспто всех дейстаительмых чисел, уморядочеммое нростраметао дейстаимгельмых чисел и уморядачеммое поле действительных чисел, различая смысл обоэмачемия мо пгекспгу излозгемия. Например, если записано х б И, то здесь И вЂ” множество действительных чисел.
Если сказано, что х ( у в И, то иод И нанимаем упорядоченное пространство. Наконец, если записано х+ у < г в И, то И означает упорядоченное ноле действительных чисел. В случае, если но тексту изложения не ясен смысл обозначения, то будем пользоваться более сложными обозначениями.
Для действительного числа х введем следующие характеристики: )х) — модуль х, эйв х— знак х, х+ — ноложительмая часть х, х — отрицательная часть х. Они вводятся до правилам: 1 3. Действительные числа 23 З.б. Метод математической индукции. Пусть запись А(Ь) означает, что высказывание А истинно при указанном Ь б И.
Суть метода математической индукции в следующем: (А(1) Л (А(й) хз А(6 + 1) УЬ б Й)) хэ (А(я) уи б Й). Рис. 11 Рис. 16 Рис. 21 Ряс. 20 Рис. 1О 2оа. Доказать, что в множестве и имеются единственные нуль н единица. < Предположим, что в множестве Й имеется два нуля О~ и Ог..Тогда, согласно аксиомам С.2 и С.4, имеем Ог =О~+От =Ог+Ог = От. Аналогично, если 1 г и 1г единицы в й, то, согласно У.2 и У.4, 1г = 1г 1г = 1г 1г = 1г.
В 23. Доказать, что: а) уравнение а + х = 6 имеет единственное решение х = — а+ 6; б) уравнение ах = 6 имеет единственное решение х = а 'Ь. < а) Число -а + 6 удовлетворяет уравнению а+ х ж Ь. В самом деле: а + ( — а+ Ь) = (а+( — а)) + Ь = О+ Ь = Ь. Других решений нет.
Действительно, если х б 66 — другое решение, то -а+6= — +Ь, — а+(а+х) = — а+ 6, ( — а+а)+к = — а+Ь, О+х=х=-а+Ь. б) Аналогично число а '6 удовлетворяет уравнению ах = Ь: а(а 'Ь)=(а-а )Ь=1 Ь=Ь 1=Ь. Если х б 64 — какое-либо другое решение уравнения ах ж 6, то а гЬ=а Ь, а г(ах)=а Ь, (а ~а)х=а гЬ, 1.х=а 'Ь. х=а 'Ь.В 24, Элемент а б Е называется регулярным относительно внутренней бинарной операции Т, если гх, у б Е (а Т х = а Т у) л (х Т а = у Т а) ~ х = у. Доказать, что всякий элемент с б Ьг регулярен относительно сложения, а"всякий йеиулевой элемент с б 66 регулярен относительно умножения. Гл. Е Введение в анализ < Докажем, что произвольный элемент с б К регулярен относительно сложения.
В силу коммутативности сложения (с+ а = с + Ь) еь (а + с = 6 + с). Поэтому достаточно показать, что (с + а = с+ 6) =» (а = 6). На основании предыдущего примера и ассоциативности сложения имеем а = — с+ (с+ Ь) = ( — с+ с) +Ь = 0+ 6 = Ь Аналогично доказывается, что Чс б КГ(О) регулярен относительно умножения.
и 25. Обозначим Е = (у) — множество функций у': А -» А, А С К. Пусть на этом множестве определена внутренняя бинарная операция ЕхЕ Е:(у",д)» год. а) Показать, что эта операция ассоциативна. б) Определить регулярные элементы этой операции, < а) Для доказательства равенства (год)ой=у о(дай) достаточно показатзь что образы любого элемента х б А совпадают. Пусть х б А, и = й(х), е = д(и). Имеем ((у о д) о й)(х) = Ц о д)(Ь(х)) ж (у о д)(и) = у(д(и)) = ((а), (д о й)(х) = д(Цх)) = д(и) = э, следовательно, (г" о (д о й))(х) = у((д о Ь)(х)) = у(е)» т.
е. образы элементов х совпадают и ассоциативность доказана. б) Отображение ) назовем регулярным слева, если (год = ) ой) ~ (д = Ь), и регулярным справа, если (д о у = й о у) ~ (д = й). Ясно, что отображение регулярно, если оно регулярно слева и справа. Покажем сначала; что отображение у регулярно слева тогда и только тогда, когда оно инъективно. В самом деле, если у инъективно и г о д = у о й, то для любого х б А () (д(х)) = ) (Цх))) =.» (д(х) = Цх)) ~ (д = Ь). Если же г" не ннъективно, то на множестве А существуют различные числа х и у, образы которых совладают: У(х) = ((у).
Выберем отображения д и й такими, чтобы д(а) = г,, Ь(а) = у для некоторого а б А. Поскольку х ~ у, то из (о д = у о Ь не следует равенство д = Ь, т. е. у не будет регулярным слева. Покажем теперь, что у' регулярно справа тогда и только тогда, когда функция у сюръективна. Если г сюръективно, то »»х с А существует такое и б А, что у'(и) = х. Тогда (д о У = Ь о ~) ~ (д(х) = Цх)) Ух б А. Если же ( не сюръективно, то д о у = Ь о ( для тех отображений д и Ь, сужения которзях совпадают на множестве у(А). Однако отображения д и Ь могут быть различны, поскольку могут принимать различные значения на множестве Агу(А).
Таким образом, длл того чтобы отображение г было регулярно, необходимо и достаточно, чтобы оно было биективным. н 26. Множество А С К называется ограниченныл снизу, если Бт б И такое, что та б А выполняется неравенство т ( а; при этом число т называется нижней гранью. Нижняя грань т* множества А называется гаочноб низ»ней гранью множества А, если всякая другая нижняя грань т множества А не больше т". Точная нижняя грань множества А обозначается символом»в( А. Доказать, что всякое ограниченное снизу множество А имеет точную нижнюю грань, причем, )лГ А = — зар( — А), где — А = ( — х), х б А. М Согласно условию, Зт б К такое, что х ) т тх б А, откуда — х ( — и», т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
