И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Элементы аэ, аэ, ..., а„называются координатами упорядоченной сисиггмы (аы аэ,, а„). Определение 7. Совокуиносигь всевозможных упорядоченных иар (а, Ь), где а Е А, Ь Е В, называется ироиэведвиивм множеств А и В и обозначается символом А х В. Аналогично, символом Аг х Аэ к ... х А„обозначают произведение множеств Аэ С .э, у = 1, гг, т.
е. совокупность вс»возможных упорядочеинык систем (аы аэ, ..., а„), где а, Е Аэ, у = 1, и. т 1. Элементы теории множеств 1.3. Булева алгебра. Пусть А, В и Р— произвольные подмножества множества Я. Тогда непосредственно из определений объединения, пересечения и дополнения вытекают следующие предложения: 1) А О В С Я, А й В С / (замкнутость операций объединения и пересечения); 2) А 0 В = В О А, А «ь В = В «ь А (коммутативность операций объединения и пересечения); 3) А о(Во Р) = (Ао В) О Р, А и (В ьз Р) = (А и В) и Р (ассоциативность операций объединения и пересечения); 4) А О (В О Р) = (А О В) «1(А 0 Р) (дистрибутивность операции объединения относительно операции пересечения); А й (В 0 Р) = (А й В) 0 (А ГьР) (дистрибутивность операции пересечения относительно операции объединения); 5) А О А = А П А = А; 6) (А О В = В) е» (А «ь В = А); 7) Аои=А, А«ьУ=А, Ащп=а, А0,2=,2; 8) А о СА =,У, А «ь СА ю яь.
Если для элементов множества а = (А, В, С, ... ) определены объединение 0 и пересечение П. для которых выполнтотся отношения 1) — 8), то тройка (а, О, «1) называется булевой алгеброй. Таким образом, если а — семейство всех частей множества Я, то (а, О, П)— булеза алгебра. 1.4. Принцип двойственности. Для произвольных подмножеств А и В множества 2 справедливы равенства С(А О В) = СА О СВ, С(А й В) = СА О СВ. Свойства, записанные равенствами (1), называются принципом двойсьнвенности.
Их можно прочитать следующим образом; дополнение к объединению множеств равно пересечению их дополнений, а дополнение к пересечению множеспьв равно объединению их дополнений. Без труда принцип двойственности переносится иа произвольное число подмножеств Я»; при этом записывают «'0А»=п«А» «ПА» =ОСА». (2) » » » » В этом случае символ дополнения С можно менять местами со знаком 0 или О, при этом знаки эти переходят один в другой. А=АьОАзО ... ОА где символ О взначаеьн объединение непересекающихся мномеспьв.
1. Доказать справедливость отношений 1) — 8) пункта 1.3. 4 1) По определению 3, п. 1.2, А О В = (х Е,У ь х б А Ы х б В), следовательно, из включения х б А О В следует х б У, т. е. А О В С У. Аналогично, по определению 4, и. 1.2, А о В = (х б,У ь х б А А х б В), поэтому из включения х б А «ь В следует включение А О В С Я.
1.8. Алгебра множеств. Пусть .7 — некоторое множество, а Р(;г ) — система всех подмножеств множества,г . Определение 1. Непуспте семейство Л С Р(Я), замкнутое относительно операций объединения, ььересечения и разносит множеств, называепься кольцом множеспьв. Определение 2. Множество Е называепься единицей семейства множеств Е, если Е б Е и ЫА б Е справедливо равенство А О Е = А. Определение 3. Кольцо множеспт, содержащее в качестве своего элеменьаа единицу, называешся алгеброй множеств.
Определение 4. Семейтавв множеств Я С Р(г) называетсн полукольцом, если оно содержипь пустое множешнва и если ЫА б В и ЫАь С А сущеспьвуюьн такие множества Аз, Аэ,...,А бЯ,чтв Гл. 1. Введение в анализ 2) Поскольку высказывание х Е А и т Е В равносильно высказыванию х Е В Ч х Е А, то А О В = (х Е Я: х Е А Ч х Е В) = (х Е У: х Е В Ч х Е А) = В О А. Второе равенство доказывается аналогично. 3) В силу свойств логического символа Ч, имеем А О(ВО Р) = (х Е т: х Е А Ч х Е (В О Р)) = (х Е У: х Е А Ч (х Е В Ч х Е Р)) = = (х Е Я: (х Е А Ч х Е В) Ч х Е Р) = (х Е У; х Е (А О В)Ч х Е Р) = (А О В) О Р.
Второе равенство из 3) доказываетсл аналогично. 4) Имеем А О (В Гг Р) = (х Е 7; х Е А Ч х Е (В П Р)) = =(хЕЯ;хЕАЧ(хЕ ВЛхЕР)) =(хЕЯ;(хЕАЧ хЕВ) Л(хЕ АЧх Е Р)) = = (х Е,у: (х Е А О В) Л (х Е А О Р)) = (А О В) ГЗ (А О Р). Второе равенство доказывается аналогично. 3) Пусть х Е А и А, тогда х Е А Л х Е А, т. е. х Е А и, тем самым, справедливо включение А О А С А. Обратное включение А С А о А непосредственно следует из определения объединения. Из двух последних включений вытекает равенство А О А = А.
Равенство А П А ж А доказывается аналогично. б) Предположим, что справедливо равенство А гт В = А. Тогда (А Г1 В = А) =:Ь (А С А и В) => (А С В). Пользуясь полученным включением, находим А О В = (х Е У; х Е А Ч х Е В) С (х Е Я: х Е В Ч х Е В) = В. А поскольку А о В ~ В, то А о В = В. Таким образом, (Аг1 В=А)~(АОВ=В). (1) Пусть теперь А о В = В. Тогда справедливы импликации (А о В = В) =т (А и В С В) =г (А С В). Пользуясь включением А С В, находим А гт В = (х Е Я: х Е А Л х Е В) З (х Е У: х Е А Л х Е А) = А. А поскольку справедливо и обратное включение А г1 В С А, то А Г1 В = А, следовательно, (А и В = В) хт (А Гт В = А). (2) Иэ (Ц и (2) следует (А г1 В ж А) еэ (А О В = В).
Т) Если х Е А о в, то х Е А Ч х Е а. Поскольку множество и не содержит ни одного элемента, то иэ х Е А О тг следует х Е А, т. е. А О а С А, что совместно с включением А О тз Э А равносильно равенству А О и = А. Далее,иэ о С А Г1 и С и непосредственно следует равенство А О а = З. Поскольку А С Я, то А П У = (х Е Я: х Е А Л х Е Я) й (х Е 7:х Е А Л х Е А) = А, что совместно с включением А Г1,т С А влечет равенство А О .7 = А. Наконец,непосредственно из включений .У С А О Я С .У следует равенство А О,У = У.
~ 8) Согласно свойству 1), А 0 СА С .У. (3) Пусть х Е .У, тогда если х Е А, то х Е А и СА; если же х Е А, то х Е СА и снова х Е А О СА. Таким образом, из х Е .7 следует х Е А О СА, т. е. Я С А О СА. (4) Из (3) и (4) следует равенство А о СА =.У. (5) Для доказательства равенства А Г1 СА = и покажем, что множество А Г1 СА не содержит ии одного элемента. Действительно, согласно равенству (5), любой элемент множества,У принадлежит А или СА. Если х Е А, то х Е СА и, следовательно, х ф А О СА.
Если же х Е СА, то х Е А (так как еслибы х Е А, то х ф СА), и снова х ф А О СА. Поскольку множество А О СА не содержит ни одного элемента, то это множество пустое, т. е, А Г1 СА = и. й 11. Элементы теории множеств 2. Доказать принцип двойственности: с(Аов) =сАпсв, С (А П В) = СА О СЫ (1) (2) (см. равенства (1), и.
1.4). и Докажем равенство (1) (равенство (2) доказывается аналогично). Пусть х б С(А о Ы), тогда, согласно равенству (5) предыдущей задачи, х К А О В, т. е, х К А Л х й В. Отсюда т с СА л г б СВ, а следовательно, я б СА П СВ. Таким образом, С (А О Ы) С СА гз СЫ. (3) Предположим теперь, что х б СА Г1 СВ. Тогда х б СА Л я б СВ, т. е. л И А Л я (3 В, а значит, я й А 0 Ы и х б С(А О Ы). Отсюда С (А О В) С СА гз СВ. (4) Из включений (3) и (4) следует равенство (1). 1» 3.
Доказать равенства Ю и 5) задачи 1, получаем первое из равенств (1): В) = (А о А) с (А о В) = А г1 (А о В), О В) = А. Есви х Е А г1 (А О В), то в б А Л я б А О В ип Ао(Агз В) =Ап(АО В) =А М Пользуясь свойствами 4) А О (А гз Остается доказать, что А й (А следовательно, А 1з(А О Ы) С А. (2) Если же х б А, то т б А О В, а значит, л к А Гз (А О В), т. е. А САГЗ(АОВ). (3) Из включений (2) и (3) следует второе из равенств (1). > 4. Доказать равенства: а) ('СА = А; б) С,У = Н; в) СН = .7. П а) Если х б ССА, то х ф СА, а поэтому х б А и справедливо включение ССА С А. Наоборот, если г б А, то г й СА, а поэтому х б ССА и справедливо включение А С ССА. Из доказанных включений следует равенство а).
б) Множество С.у пустое, так как отрицание х К С У справедливо для любого х б,7. в) Если х к,7, то э ф н, а поэтому л к Сн и, следовательно,,7 С Са. Поскольку всегда Си С .7, то из последних двух включений следует равенство в). > 5. Доказать справедливость включения (А(В) С (А(Р) и (Р~Ы). < Пусть х б (А'1Ы), тогда х б А л л ф В. Если при этом хфР, то я б (А1Р) н, следовательно, г б (А1Р) 0 (Р1Ы). Если же л б Р, то поскольку я ф В, находим,, чтд, х б (Р1В), а поэтому х б (А1Р) о (Р1В). Таким образом, как при х ф Р, так и'прй х к Р из условия т к (А1Ы) следует х б (А1Р) о (Р1В), что равносильно доказываемому включеникь й 6. Определить множества А О В, А Гз Ы, А1Ы, В1А, А Л В, если: а) А = (г; 0 < г < 2), В = (т: 1 < я < 1); б) А=(х:хз — Зг <О), В=(л:л — 4х+3) О); в) А = (х: ]я — 1] < 2), Ы = (х: [л — 1]+]х — 2] < 3).
и Пользуясь определениями объединения, пересечения, разности и снмметрнческой3эаз. ности множеств, находим: а) А О В = (г: (О < л < 2) Ч (1 < я < 3)) = (х: 0 < х < 3); А Г1 В = (х; (О < х < 2) Л (1 < х < 3)) = (я: 1 < х < 2); А1В = (л: (О < х < 2) Л г ф [1, 3]) = (л: 0 < х < 1); Ы(А = (г: (1 < х < 3) Л х ф ]О, 2[) = (»: 2 < х < 3); А Л В = (я: (А1В) О (Ы1А)) = (л: (О < х < 1) М (2 ( (х ( (3) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
