И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Во вто1голг случае существугт такая бесконечная последовательность (х„) значений х, х > хо. что х„— +гю при и ао и Г(х„+Т) — Г(х„) = О, т. е. 1пп (((ха+ Т) — Г(х„)) = О. Изучай, когда Т < О, заменой г+ Т = 1 приводится к уже рассмотренному. В 266.
Пусть р и тг' - — непрерывные периодические функции, определенные при х ч Н и ' Йш (гд(х) — уг(х)) = О. Доказать, что Го(х) = ггг(х), х б Н. ч Пусть Тг . период функции уа, а 7з — - период функции,й. Предло)галсимг 7тс(.И(у) ж О( г ), г. е, существует такая то пга х = ц что ( р(г) — йг(г)/ = М > о. (1) Возьмем с > О произвольное, но меньшее, чем —. В сиду непрерывности функции зг в гочка х = Г для указанного с ) 0 существует 6 > О такое, что 1уо(г) — р(г + л)1 < е, (2) как только !1г! < 5, Оогггасно условикк существует такое натуральное числа Й, что )р(1+.
17з) — й(1+ ОГз)) < с, а согда гугп к 52 имеем /р(Г + ггг17т) — Ог(1 + гпхТз)1 ( о. (3) Из неравенств (2),(3) и периодичности функций р и ф следует неравенство 1р(1) — угг(1)! =1р(1) — р(1+ ЕТз) + р(1 + гпйТ,) — тгг(Г+ ЕТо)1 < ~ (ггд(1) оо(Г + гл1Го)$ + (гго(1 + гггйТо) — ф(Г + гпоТз)$ = = )р(1) — уа(Г + гпй72 — оГг)1+ )10(Г+ гп1Гз) — го(1+ шх7з)1 ( е+ х = 2х, ь(4) голи только (ггг175 — ггТг( < 6.
(5) На мы выбрали токае число е, по 2г < М. Таким образом, неравенство (4) противоречит равенству (1). Источник противоречия — в предположении супгествоваиия точки х = 8, в катаРой ~го(г) — Ог(1)~ = М > О. Оледовательио, такой точки ие сУществУет, т..е. Р(х) оо.гл(х)г, -аа ( х < +оа. Остается показать, что при произвольных заданных числах 7г, 1Тз и 6 существуют целые числа ш > О и а, удовлетворяющие неравенству (5).
Если Тз и Тг — - рациональные, то зто очевидно. Гл. 1. Введение в анализ 104 Пусть Тг и Тг — иррациональные. Если обозначим — х = 1, — = о, то неравенство (5) эт т, т, запишем в виде О, 1 — [1], 21 — [21], 31 — [3(], ..., ([ — 1 + 1) 1 — [([ — 1 + 1) 1~, (7) каждое иэ которых принадлежит одному иэ построенных нами частичных интервалов. ПоГ11 ггг скольку частичных интервалов ( — ) + 1, а чисел (7) имеется (-) + 2, то существует хотя бы один интервал, содержащий два числа р) — [р1] и г11 — [д1], р < д, (8) 1 множества (7), Но так как длина интервала равна тт-г —, то разность между числами (8) [=]ег' меньше этой длины, т. е. 1 ( — = о.
[д1 — [д1] — Ф+ [р1]) = [(д — р)1 — ([д1] — [р1]И ( 1 [1[ Обозначая д — р = ги (т > 0), [д1] — [р1] = а и подставляя вместо 1 и ОТг ! б ггг — — и[ (,— „или [гокТг — ПТг [ ( б. Т, [ Т, ' а нх значения, получаем 267. Доказать равенство агсэ1а х + агссаэ х = —. 2 м Имеем гг Зт — — < агссйв х+ агссозх <— 2' Поскольку гйа(агсюв х+агссоэх) = 1, то агсэш х+агссозх = ~+2хт. Отсюда и из предыдущего неравенства заключаем,что й = О. 268. Доказать формулу сложения арктангенсов: х+у агсгях + агсгя у = агсгя +ет, 1 — ху где е принимает одно иэ трех значений О, 1, -1.
м Имеем х+у / х+у') х+у гд (агс18 х + агсэд у) = , 18 агсгя— 1 — ху' [ 1 — ху) 1 — ху поэтому агсэя х + агсгд у = агсгд + егг, х+у (1) 1 — ху где е б Ж. Поскольку )агсгдх + агсгб у[ = [агсгд —, +ел[ < х, а [агсгд —,[ < —, то *+У еу а может принимать только три значения: О, 1, -1, Вггчисляя косинусы от левой н правой частей равенства (1), получаем 1 1 х у /1 + хг,/~ + уг,,/1 д хг /1 .г „г 1 саз егг Я(-;..)' так что [аП вЂ” и[ ( а, (6) ггг Для доказательства последнего неравенства разобьем интервал [О, 1] на [-) + 1 равных 1 частей ([а] — целая часть числа а) длиной ттт —, причем, к каждому из частичных интер- [ ]+' валов условимся приписывать его левый конец и не приписывать правый.
Рассмотрим множество чисел ! 8. Непрерывность функций 105 Следовательно, функция (х, у) с е(х, у) терпит разрыв, если у = †, где х — любое с фсшсированное число. Заметим, что если ху < 1, то е = О, а лри ху ) 1 х = ж1 (так как е может принимать только три значения О, 1, — 1). Пусть ху>1 и х>0. Тогда у>Ои ысгд х > О, асс!3 у > О, а асс!8 — < О. к+у 1 — ху В равенстве (1) слева стоит непрерывная положительная функция, следовательно, и справа должна стоять положительная функция, а поэтому ел > О, т. е.
х = +1. Аналоги сно, если ху > 0 и х < 0 (у < О), то е = — 1. 269. Исследовать на непрерывность вектор — функцию (э(пх е* — 1 1 — созх) с(0) = (1, 1, О). м Функция с ири х ф 0 непрерывна, поскольку ее координаты непрерывны ири этих значениях аргумента. Далее, (. э!ах . е* — ! . 1 — созхт !!ссс с(х) = (!!ис '— , !ип ', Бш ) = (1, 1, 0), -о о г о х о х поэтому функция х с г"(х) непрерывна и при х = О. 270. Исследовать на непрерывность функциональную матрицу А(х)= хб2.
м Функциональная матрица непрерывна на Й, так как все ее элементы непрерывные на 2 функции. И Упражнения для самостоятельной работы Исследовать на непрерывность следунсщие функции: 133. г(х) = пссэ!ос х, !х~ < 1. 134. 1(х) = асссозх, [х[ < 1. 135. 1(х) = агссд г;, х Е 2. 136. с(х) = агссгд х, х й И. 137. 1(х) = — ',, х ф О, 1(0) = 1.
138. с(х) = -"-(-~-"-1, х > — 1, х ф О„с(0) = Ог 139. с"(х) = агсгд -'~-"-, х ~ — + йл, 1'(-+ Йл) = О, у б У. 140. ~(х) = зш х агсэ!сс -Хэх, х ~ - + Ьг, 1' (- + Йсг) = О, у й Ж. ! с.же э ! 143. у(х) = ( — 1)! 4 1(з!пк+соэх)+2ьс2 [ ~ л|, х Е й. 144. 1'(х) = — асс!8 -' — + -'здпх, х Ф О, г(0) = О. 145. [(х) = — с=го + 1 + —, + ... + — „, х ) 1. 146.
~(х) = [х) !п х — !п([х)!), х ) 1. 147. С(х) = — х Ц + 1+ зо + ' ' + Г 1о, х Е )О, 1]. [ т) 148. 1(х) = ' ' 149. с(х) = [х)з!птх, х Е И. ( х — [х), гестас, ) О, Х Е Йсгг((С. Олределигь точки разрыва и исследовать их характер: 152. 1(х) = зш —,, х ф О, С(0) = О. 153. ~(х) = агсгд — '" ". + л [ — *), х ф -+ ил, .сг [-, + ссл) = О, и е Х. 154. т(х) = агссд — д( — — ~ )— + л [*~ [, х ф (2и+1)л, с"((2сс+ 1)л) = О, и Е Ж. Гл.
1. Введение в анализ 155. Х(х) = агаси — х ф ж1, Х(ж1) = -", 156. Х(х) =,, х Ф вЂ” + йгг, Х ( — +йз.) = О. 157 Х(') = гя т х ~ - + 1я Х ( г + й>г) = О, 1 Е ~. 158. Х(х) = агсз>в (е>в х) а>сея —., х р' ит, Х(а>г) = 1, и Е У.. 159. Х(х) =1а тесея —, х ф О, Х(0) = О. 160. Х(х) = Ся —, х ф О, Х(0) = О. Исследовать на непрерывность вектор-Функции: 161. 7(х) = (соя х, з>п х, 1), х Е Р..
) (,„в',,„;и',, х -',А«') хыО ][ (', /х!, созе), хр'О, (1, О, 1) х = О. 164. 7(х) = (~-+ — -): —, ~ ', ..., '~"" '), если х Е ] — 1, +эг [)(О) н 7(0) = (>/2, 2ьС2, ..., тт>2). > > 165. 7(х) = (1+с), (1+2г), ... (1+>их)*), если х Е ] — 1, +со[>>[0) и Г(0) (е, е, ..., е'").
Исследовать на непрерывность функциональные матрицы: 166. А(х) =, х Е Й. созх 1 1 — х >' 167. А(х) = (~ гь ~), х Е Й, г = 1, ш, > = 1, г>. 169. Л(х) = (а„(х)), где а,>(х) = (1 + >х), г = 1, ги, Х = 1, и, х Е ] — 1, ос[ >(О) н А(0) = Е. гт 169. Л(х) = (нй(х)), где а,>(х) = (1+ — ) г, х ф 0 и А(0) = Е. 170.
— 0 ... 0 А(х)=, хФО, Л(0)=Е 0 0 .~ 9. Равномерная непрерывность функций 9.1. Определение равномерной непрерывности. Определение. Функции Х: Л И наэыьае>ион равномерно — неирерыеной ни множестее Х, если >ус > 0 36 > 0: >ут, у Е Х Л )х — у[ < 6 ~ )Х(х) — Х(у)! < с. йсли функция Х не является равномерно — непрерыв><ой, то зто означает следуя»цее.
Ч е > 0 >>'6 > О: Э х, у Е Л г> [х — у] < 6 =.'> )Х(х) — Х(у)] > е. 9.2. Теорема Кантора. Теорема. Если ф>ункцня Х; [а, Ь] И неирерыона на сегмени>е [а, 6], то она раэномсрнов неирерьюна но это,н сомме нте. 1 271. Показать, что функция Х(х) = —, х Е ]о, 1[, непрерывна на интервале ]о, 1[, но не х является равномерно — непрерывной на этом интервале. м Функция Х непрерывна, как всякая элементарная функция. Покажем, что она не является равномерно — непрерывной на интервале ]О, 1[.
6 О. Равномерная непрерывность функций Пусть х„= — —, у„=, а Е УП Тогда ее!в е [» — у»[= О при и — !оо, (н+1)(в+1+ е) т. с. разность [х„— у„[ мажет быть меньше любого наперед заданного положительного числа. Однако [1( г„) — ((у„)[ = [а+ 1 — и — 1 — е] = е Че > О. Следовательно, функция у не юншется равномерно. и! арсрывной па интервале ]О, 1[. 272.
Показатгч чта функция 1"(х) = зш — непрерывна и ограничена на интервале ]О, 1[, но не является равномерно — ненрерывной на этом иНтерВаЛЕ. и Ограниченность функции Х очевидна, а непрерывность следует из того, что функции у л злв у, у Е (эд з! —, х Е ]О, 1[, непрерывны, а поэтому их композиция также непрерывна. Пусть х„= —, у„= —,, в Е л(. Тогда [хз — уз[ = 2 ! »-л! ' ' з .!.! ' = (э+л)(з Ел) -л 0 при и -+ оо в то время кзк [г'(х„) — 1(у„)[ = 1 > е Че Е ]О, 1].
Следовательно, функция У не является равномерна-непрерывной нз ]О, 1[ 273. Показать, мо функция г'(х) = гйп х непрерывна и ограничена на числовой прямой Й. на не явля! тся равномерно -непрерывной на этой прямой. м Ограниченность н непрерынность очевидны, а равномерная непрерывность отсутствует, тзк как У(х„) — ~(у„)[ = 1 ) е Че Е ]О, 1], Чх„= эгнгя яи у„= пт+ —, и Е )л), 2' несмотря на та, 'ыо Г л! [.г,„— у„[ = э~!ля —,ЧГ ия -1- — ! = -л 0 Ы Ч;Я+ „.+ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
