И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 25
Текст из файла (страница 25)
э при ~ — кл. 274. Доказать, что если функция 1 определена и непрерывна в области а ( х < +со' и сулцествует конечный предел 1оо У'(х), то г" равномерно-непрерывна в этой области. М Из существования предела следует, что Че > 0 ЗЕ > а: Чх, у Е ]Е, +со[~ ]Х(х) У(у)] < х. (1) Фиксируем такое Е > 0 н рассмотрим гегмент [а, 2Е]. Согласно теореме Кантора, функция у равномерно-непрерывна нз [а, 2Е], т. е. Че > О, в частности, для е, указанного ранее, Зб ) 0 такое, что Чх, у Е [а, 2Е] гл [х — у[ < 6, [1'(х) — у(у)[ < е. Не ограничивая общности, считаем, что 6 < Е Тогда нз услоння [х — у[ < 6 следует, что оба числа х и у большие Е или оба меньшие 2Е. В том и другом случае для любых х и у, ббльшил а, из условия [х — у] < 6 следует неравенство [у(з!) — 1(у)[ < е, что устанавливает равномерную непрерывность функции у на !а, +ос[.
27ак. Паказазь, ио неограниченная функция г(х) = х+япх равномерно-непрерывна на всей числовой прямой и. ч Для пропзаюлылого е ) О имеем [Х(х) — ((у)[ = [г — З вЂ” (згв х — ллп у)[ < ]х — у] + [гйп х — эллу[ = х — у х+у( )х — у = [г — у[+ 2 злп — соз — ) ( [х — у[+ 2 [ — ) = 2]х — у] < е г г длз велел х н у, удовлетворяющих неравенству [х — у[ < -' = 6. 2 276. у(гнляллтгя лн равномерно — непрерывными функции: з) 6(х)=г,,гЕ] — 1,1[; б) )(г)=х, хЕК2 и а) Пу! гь е ) 0 пронзволыго задано. Тогда [у(х) — )(у) = [хз — у'[ = [х+ у[ [х — у[ < ([х]+ [у])[х — у[ < 21]х — у[ < е нрп Чх, у Е ] — Е 1[ гл [х — у[ < — „= 6, т.
е. г" — равномерно-непрерывна на ] — 1, 1[. б) Функция )' не является равномерно — непрерывной, так как при х„= и + —, уа = и! и' а Е 11, .нлгееь! [ ! „— у„[ = — ' 0 прн н -! !ю, а [ г(ха) — )(уз)[ = 2+ у > 2 ) е Чх Е ]О 2]. 108 Гл. 1. Введение в анализ Исследовать на равномерную непрерывность следугощие функции: г(*) 4 — 2, х с [- , .1]. М Функция непрерывна на [ — 1, 1], а поэтому по теорсме Кантора и равномерно-непрерывна. и 278. у(х) = 1вх, х к]О, 1[.
М Равномерная непрерывность отсутствует, тзк как если х„= е ", у„= е ", и б Й, то 1)хз — Уз[ = --„-хт -г О ПРи и ю, а )Г(х„) — Х(У„)[ = 1 > е Че б ]О, 1]. 279. 7(х) = ', х е ]О, гг[. М Рассмотрим функцию Р(х) = )(х) при х б ]О, х[, Х(0) = 1, Р(т) = О. Поскольку Функция Р непрерывна на сегменте [О, 1], то, по теореме Кантора, она и равномерно-непрерывна на этом сегменте, а следовательно, и на интервале ]О, т[.
280. 1(х) = с* сов —, х е ]О, 1[. 1 х' М Положим х„= —,, уз =, и б (г(. Тогда ]х„— у„~ =, О при и ю, 1 1 2 г )2»-)-1) 282»41) однако 1 )Д(зч) — )(у„)) = е2. + ещ8Ы) > 2 Чп б р). Следовательно, функция ие является равномерно-непрерывнои. м 281. У(х) = агссд х, х б И. м Равномерная непрерывносгь следует из того, что (см. пример 268) х — у х — у ]агс)8 х — агсгд у) = агсгй — « ]х — у( с е при )х — у) < 8 = е.
282. )(х) = хзьпх, о < х < +х. Пусть х„= ия, у„= вт + —, н б М, тогда ~)х„— у„] = — — О при и гю, 1 1 а (х(хз) — )(у )[ = (пт+ —,',) ) )зггг (пт+ — ')! = (пг+ — ') згв — ' = (т+ — ',)," — т при и оо. Следовательно, /Г(х„) — 7(у„)[ > —, ти > т, и функция не является равномерно— непрерывной. В 283. для е > 0 найти г) > О (какое — нибудь!), удовлетворяющее условиям равномерной непрерывности для Функции 1', если: а) Г(х) = хз — 2х — 1, -2 < х < 5) б) )(х) = зУх, 0 < х <+гю. ч а) Имеем [Г(х) — У(уН = [х — 2 ' — 1 — у + йу+ Ц = )х — у — 2(х — у)] < ( (г +у[ [х — у[+ 2)2: — у[ < ((х(+ (у[+ 2)]х — у( < 12 (х — у[ ( е, если )х — у! < — ' = 6.
б) Пусть е > 0 произвольное, Если числа х н у такие, что 0<х<е", О<уСе'*, (1) то 0 ( 1)гх < е, 0 < "/у с е и [х — у~ < " = Б. Отсюда следует, что )) (х) — Г(у)~ = [ ",/х — ггу! < е при )х — у! < е" = 6. Если же (1) не выполняется, т. е. котя бы одно из чисел х или у не меньше е", то згх — 1 +,"/у -2у + ( гх -3у2 + + 2/уг-1 > е Тогда йх)-~(у)[=[Ух-')у]- „. "." .. <".,'<е ~'Яп — 1 1 х — 2 )„ /~п — зу2 ) +,"/ — 1 е при [х — у[ < е" = 6.
3 9. Равномерная непрерывность функций 284. Доказать, что сумма и произведение конечного числа равномерно-иеирарывигак на интервале ]а, 6[ функций равномерно — непрерывны на этом интервале. и Достаточно рассмотреть случай двух равномерно — непрерывиык на ]а, 6[ функций 6 и д. Согласно уславугю, Чб > 0 36б > 0: Ух, У б ]а, 6[Л ~х — У] < Ьб =У 1Х(х) — У(У)[ < 2' (Ь) 'й > 0 3 Ьэ > О: Чх, У й ]а, 6[ Л )х — У] < Ьз =у ~Х(х) У(У)[ < 2' (2) Если ]х — у[ < 6, 6 = лпа(6ы Ьу), то будут выполняться оба неравенства (1) и (2).
Тогда непрерывность суммы следует из неравенства йх)+ д(х) — ((у) — УЬ)~ < [.((х) — Х(у)~+ Ь(х) — УЬ)[ < -+ — = у справедливого Чх, У б]а, 6[, если 1х — У[ < 6. Рарномерная непрерывность произведения вытекает из того, что [Х(х) д( ) — ХЬ) УЬ)[ = [.((х) д(х) — У(х) д(У) + 1(х) д(У) —.(Ь) УЬ)! < < 17(х)[]д(х) — д(у)/+ ]д(у)/ [у(х) — 6(У)] < Х вЂ” + Ьд-, еслн [х — у[ < 6, х б ]л, Ь[, у б ]а, Ь[, где Ь = злр ]у(х)], 64 = элр [д(х)].
уе1«, 61 *л1, б1 285. Доказать, что если ограниченная монотонная функция б": ]а, 6[-у и иепрерьувиа на конечном или бесконечном интервале ]а, 6[, то эта функция равномерно-непрерывна Иа интервале ]а, 6[. ч Из условия следует, что существуют конечные пределы ~(о + 0) = рпп )(х), ((6 — 0) = ((бп ((х). Если о и 6 — конечны, то, полагая 7'(а) = г"(а+ 0), б(Ь) = ~(6 — 0), получаем непрерьцуную функцию Х на сегменте [а, 6], которая„в силу теоремы Кантора, равномерно — непрерывна иа [а, 6].
Если одно нз чисел л, Ь или оба эти числа равны — оо, соответственно +со, то рассуждая, как н при решении примера 274, снова убеждаемся, что функция ( равномерно-непрерыв- на. В 286. Модулем непрерывности функции г';]а, 6[ И называется функция 6 у ыт(6), где ыт(6) = злр ]б (х) — 1'(у)[, х и у — любые точки нз ]а, Ь[, связанные условием [х — У] и 6. Доказать, что для равномерной непрерывноспг функции у на ]а, Ь[ необкодимо и доста- точно, чтобы !1ш убб(6) = О.
б-+э м Необходимоспбь. Пусхь йш ыт(б) = О. Тогда б бэ 'уб > О 3 Ьб > 0: Чх, у б ]а, 6[ л 'уб < Ьб =. лбу(6) < е. Так как убб(б) = уир [7(х) — Г(у)), то у, уе1«,б1 1. -у1<б 1б (х) — У(У)) < б ух, у б ]а, Ь[Л [х — у) < 6, т. е. функция 1 равномерно — непрерывна на ]а, 6[. Досшоточносибэ.
Пусть у' — равномерно-непрерывна на ]з, 6[, тогда Чб > 0 36 > О: Чх, У б ]а, 6[Л ]х — У[ < 6 ~ 17(х) — У(У)] < —. 2 Но тогда при тек же условиях относительно х и у имеем убт(6) = злр [у(х) — у(У) ч — < б, ,ул1,Ч 1у — у1<б т. е. !пп убт(6) = О. б-+э ПО Гл. 1.
Введение в анализ Упражнения для самостоятельной работы Исследовать на равномерную непрерывность следующие функции; 171. ~(х) = ь/хх+ 1, х Е Ж. 172. у(х) = у~Р!ах, ! < х < +ос, 173. Г(х) = ьухх!их, О < х < 1. 174. 7(х) =,/х, О < х < +оо. 2 2 175. у(х) = — ',, О < х < +оо. 176. у(х) = — *,, — 1 < х < О. 177. Дх) = —;,, х Е И. 178.
Г(х) = х+ !п х, 1 < х < +со. 178. )(х) = х!их, х Е ]О, ![, 180. Г(х) = е ", х Е В. 181. ((х) = —... х Е Ы. 182. Г(х) = хх !и х, х ) !. 183. 1(х) = х соа х, х Е !!. 184. у(х) = х~ соа х, х Е [О, т]. 185. 1(х)=х +х +1, гЕК. Глава 2 Дифференциальное исчисление функций одной переменной ~ 1. Производная явной функции 1.1.
Основныо определения. Определение 1. Путаь дано функция у <]а, Ь[ !й. Разность сэх = х — хо (х, хо к]аг Ь[) поэыопгтсл приращением аргумсг<гцп е <ночке хо, Определение 2. Разность ЛУ(хэ) = у(хо + <.'гх) — ((хо) называется приращением .<нпчсний функцпи Э' в гцочкс хэ. Определении 3. Если гущесошугга предел (конечный или бесконечньгй) гад(хо) ь -О дгх гчо он нп<ыепгтгн проиэаоднои (конечной или бесконечнойу функции ( е точке хо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
