И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Найти у1'оо1 < Применяем формулу Лейбница, положив и = х, о = вЬ х, и получаем «оо У«~~~« = (х вЬ х)«ш~« = ~~~ С««аа(х)«в«(вЬ х)«~~ «« = С«оаа х вЬ х + С«оа с1«х = х вЬ х+ 100 сЬ х. М «=о 69. у = и . Найти «1 у. < Применим формулу Лейбница к произведению у = ии, получаем «о о «(' у= ) С«о 4и«(' 'и = 2~С«о 4ия' 'и+С«о(«( и) =а .=а 2 и 4 о и + 20 4и «1в и + 90 лз и ов и + 240 ив и 4г и + 420 о« и йв и + 252 (вв и) з 70. Выразить производные ув и уо' от функции у = ((х) через последовательные дифференциалы переменных х н у, ме предполагая х независимой переменной.
Л Используя определение 3, п. 4.1, а также правило дифференцирования произведемня, получаем 4у = у (х)«7х, 4 у = У' (х)(4х) + Х'(х) «( х, (1) (2) Подставляя значение у (х), окончательно получаем 1500г «~(х) — 120х + 150х г~(х) — 2507~(х) (15х Г(х) — 2)о Ут(х) Найти производные и дифференциал указанного порядка: 67. у = —. Найти у 1 + * - 1«оо ч«1 — х м Преобразуем данную функцию к виду, удобному для дифференцирования, н применим одну из формул пункта 4.2: 14. Производные и дифференциалы высших дорлдков г/ у = /л'(х)(йх) + 3/" (х) г/ х г/х + /'(х) г( х, Из формул (1) — (3) имеем последовательно у =/(х) = —, 1(х ' г1гу — у'г/эх г/х г/г у гЬу г/гх (Ьх)г (г1х)э /га(х) ((Зх)г ~эу 3 гЬг х /х гггу + 3 (азх)г /у ггх Ьу аз ), в (Зх)э ,: (3) Найти ур'~, если: 71.
у= хг — Зх+ 2 < Представляя данную дробь в виде 1 1 1 1 — — — (х — 2) — (х — 1) хг — Зх+2 х — 2 х — 1 н применяя одну иэ формул пункта 4.2, получаем у" =( — 1) и! 1 (х — 2) "Е' (х — 1)в Ы 72. у = мп' х. м Представляя у в виде 3 . 1 у = — эш х.— — Б1п Зх 4 4 и пользуясь одной из формул пункта 4.2, находим рй 3, / вх1 Зо, / ггх1 у = — эгп (х+ —,) — — эгп (Зх+ — ) . а 4 (, 2! 4 (~ 3) 73. у = эгпг х + соэг х. м Преобразовав у к виду 3 у = — + — сов 4х, 4 4 получаем у =4 сов ~4х+ — ), в) 1. 1» 1») -1 / пг1 2)' 75.
Доказать равенства: и 1) (е' сйп(Ьх+ с))г"г = е (а + Ь ) г эш(ЬХ+с+ пу)," 2) (е "соэ(Ьх Ч-с))~"~ = е" (а + Ь ) г соэ(Ьх+ с+ ау), где Ь Эгл У = 1/аг + Ьг ' а сову = аз+6 ' 74, а+6. па-Ьх' ~ Первукг производную этой функции запишем в виде =(-;-) (-- ~' Далее, по одной из формул пункта 4.2, после (и — 1)-кратного дифференцирования получаем ""~=(-1) -1( -1) ~-"+ 1 +(н-1).~-"-х) '16 / ' '16 (в — 1)! 6" ((а+ Ьх)" + ( — 1)" (а — 6Х) ), у» Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной М Умножив левую часть первого равенства на г и сложив с левай частью второго равенства, получим (со* сов(5х + с))»" 1+ (гг"' в!!!(2гх + с))!»1 = о" (е1"~ '1 )1"г = е" (а + ог)" е» + '1 = (и + 6 ) г е1ое "г»~" '"р = (а + 6 ) г е (соз(6х+ с+ ггго) + гяп(бх + с+ ггх)).
Отсюда по аксиоме равенства комплексных чисел и следуют доказываемые формулы. ~ 'г'6, Преобразовав функцию Х ! х г яп х, где р — натуральное число, в тригонометригр ческий многочлен /(х) = ~~г А» сов'2йх, 'о! /) 2гг »=о /р-г гр р (- ) Д ( 1)» -,» м1»-р1 „» ~ ( )» -,» г г»-р1» — гре »-о »=г+! Сг»р '2 го Во второй сумме, стоящей в скобках, введем новый индекс. суммирования 1»г полагая 2р --1'. При этом, использовав известную формулу Суг',г = Сгл», получим С'' »=о »'=о ( — 1) С„р(о » 1 + е ) + — — — ~ ~(- 1) С.г, сов 2(й — р)г + С'г»р » — о Далее, по одной из Формул пункта 422, ! — ! (-1) (вгп Рх) = ) ( — 1) Сг,2 (й — гг) соз (2(й — я)х+ — ) »=о р-! ( — 1) ~РСггар2» Р~'(й — Р)о соя (2(й — Р)х -1- — ) .
> »=о 1 1 г' 1 1 77. Испо»ьзу» тождество „= —. ( —, — —. ), показать, что хо+1 2» (,х — г хюг)' ( ° )"=,, "- 1 1»сб ( — 1)»и! — згп((гг + 1) агсс!я х) . : +1) (хо+1) г 4 Сначала и раз проддфференцнруем указанное тождество: ( ~" (-"' )1М 1 ( ( — 1)" г (-1)" ! ) ,г11) г, 1(..) +! ( +) +! Далее, применяя к комплексньгм числам (х — г) " ! и (х+г) " ' формулу Муавра, имеем ( )рб= ((1+ г. ) +(соз(гг+ 1) гг + ! яв(п + 1) уг)— хо+1) 2г' (1+ х ) г (гов(а+ 1) гг — гяв(в -1-1) го) =, +, яп(го+ 1) го, ,г ( — 1)" гг! (11 хо) г »=о найти /1в1(х).
М Сначала с помощью формул Зйлегга и бинома Ньютона преобразуем функцию / в тригонометрический многочлен. Имоем '1 4. Производные и дифференциалы высших порядков 143 где >о = агд (х + г) = — — агсгдх = агсссдх. 78. Найти Х1 ">(0), если Х(г ) = агссдх. м ДиФференцируя Х два раза, получаем Х (х) = —, Хо(х) = 1+х (1+х) 1->-х откуда (1 + хг)Х '(х) + ОхХ (х) ш О. Применяя к полученному тождеству формулу Лейбница, находим (1+ х )Х1 ">(х) + 2 (и — 2)хХО' >(х) + (и — '1)(п — 3)Х1" >(х) ->- + 2хХ1" '>(х)+ 2(п — 2)Хг" >(х) ав О. Подставив х = О, имеем рекуррентное соотношение Хт>(0) = -(и — 1)(п — 2)Х~" >(0), нз которого прп и четном находим Х (0) = О, а при и = 20+ 1, последовательно полагая 1го> 0=0,1,2 ...,-- формулу Х~"">(о) = (-ц" (23)., й б ж,.
в 79. Вычислить Хт>(0), если Х(г) = соа(поагсшпх). м Дифференцпруем Х н возводим найденное выражение в квадрат, а затем дифференцируем полученное еще раз и прихолим к тождеству (1 — х )Х (х) — хХ (х) -> т Х(х) = О, Дифференцируя зто тождество и — 2 раза с помощью формулы Лейбница, получаем (1 — х )ХР'>(х) — 2х(и — 2)Х' '>(х) — (и — 2)(п — З)Хт (х)— — хХР' ~>(х) — (в — 2)Хг" г>(х) + т~Х1~ г>(х) ш О.
Отсюда прп х = 0 следует рекуррентная формула Х'о'(О', = (( — 2)' — гг)Х'" '>(О), (1) нз которой прп и = 210 й Е И, с учетом начального значения Х(О) = 1 находим >(0) = ( — 1) гпг(тг — 2 ) ... (т — (20 — 2) ). Аналогично, полагая в (1) и = 20+ 1, й Е Н, и учитывая значение Х'(О) = О, приходим к равенству Хогг"'>(О) = О. и 80. Дока~ать, что функцпл Х:х~ х "яв-,, х~0, О, х= О, и Е >г>, в точке г = О имеет прои~водные до и-го порлдка включительно и не имеет производной (и + 1)-го порядка.
М Поскольку 1!ш х~-*г = О, то Х'(0) = О. Предположим, что длл некоторого натурального .-о й ( п — 1 (и = 2, .1, ...) Х1~>(О) = О. Покажем, что тогда и Х<г ы>(0) = О. Действительно, поскольку тН> (2 -й+ +1) '1 1"-Х г -оо Х1ь>(х) = С >7А 2 (2п — 1) .=о то по определенинг производной Х1 >(О) = 1>гп = 1гш ~~ бп 2п(2п — 1) ... (2п — 3+о+1) х " ' ~а>п -) = О.
Х'"(х) — Х">(О) . „. „,у, 1110 . -о х о о х~ =о 144 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной !!РО ! . ! ! ! Здесь учитываем то, что функции (з!и -/ содержит член вида --;та!в — или —,„соз —, (в зависимости от того, четное или нечетное 3). Итак, с помол!ью метода математической индукции мы показали, что /ПО(О) = О !!Г1 = 1, и.
Наконец, полагая в (1) й = и, замечаем, что )пп /!»!(х) не существует, т. е. функция /!"! -о раэрывна в нуле. Следовательно, она не может иметь производной в этой точке. и Упражнения для самостоятельной работы Найти и-ю производную функции /! ! 136. /(х) = е' . 137. /(х) =,, „. 138.
/(х) = хзр»(х). 139. /(х) = х" 'е*. 140. Найти /'(х), если /!(х) /з(х) ... / (х) у!(х) /!(х) /з(х) ... /»(х) !»'(х) /(х) = /~ ~(х) /~ ~(х) ... /~~"!(х] !л1"!(х) Найти и — ю производную 141. /(х) = (згп2х, з!и х, х '), 1. Е !т, 142. /(х) = " +' I !з(~) -„тд. 1 зЬ2х 143. У(х) =,+',. 144. /(х) = хзе' . 1 х ... х" 2».(-! 146.
/(х) = ха!п(Зх+2!). 146. /(х) = » «+! 3» 14Т. Пусть « = «(х), ч = ч(х) есть в — кратно дифференцируемые вектор-функции. Тогда («(х), ч(х))РО = ~ С,", («! 2(х), и!" ь1(х)) . Доказать это, 148. Доказать, что формула Лейбница (в — кратного дифференцирования произведения) справедлива также для матричных функций А = А(х) и В = В(х), т. е. (А(х)В(х))!»! = 2 С»ьАга!(х)В!» ь>(х), если А и В есть и — кратно дифференцнруеиые функции.
Найти и-ю производную, используя примеры !4!, 148 , е"*); х"). 161. Показать, что функции у = /(х) = С!е»+ Сзс ' ' (ы, Сг, Сэ — постоянные) удовлетворяет уравнению у + а!~у = О, 1б2. Показать,что функция з = з(г) = —,)п сЬ(1,/у1), 149. Г(х) = («(х), ч(х)), если: а) «(х) = (жп х, згп 2х, ..., з!и пх), т(х) = (с*, гз*, б) «(х) = (сов х, сок 2х, ..., сових), ч(х) = (х, х~!, 160, /(х) = А(х)В(х), если: ( з|впх соззх ) В( ) ( з)!эх — соз»х з!и г!х / ' ! — с)! пх !' хе* хзез* х'г'* '! г+, б)А(х)=( 1» з ), В(х)= 4 )их сЬ»х зЬ»х /' ! !!+*В 1 1п! х 3 4. Производные и дифференциалы высших порядков 145 где Й, д — постоянные, является решением уравнения зз» »ю» з гп — ' = тд — й (=) т = сопзд зы (я) 153.
Показать, что вектор — функция /0~ / 2созг»1 / 2з)пз х: 1» С» 1 е +Сз 2созз +Се 2япг, С; «сопят, 1 3 сов? — з1п? 3япг+ созг/ удовлетворяет уравнению — = Ах, где зз з» А= — 2 — 1 2 154. Показать,что вектор-функции х: 1 »-» С» 1 г' + Сз 1 е ' + Сз 0 ез'+ Сз 1 зз»+ +Сз 0 е '+Сз 1 .з ззх удовлетворяет уравнению — „,, = Ах, где А= -1 3 — 1 155. Показать. что если некоторая вектор-функция х = х(1) удовлетворяет уравнению кзд — „, = Лх» где А — постоянная матрица, то она является решением уравнения —" =А"х Чг» Е?Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
