И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 34
Текст из файла (страница 34)
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной следовательно, для точки б = 0 значений аргумента хз и хз, о которых говорилось в условии задачи, не существует. Приведенные рассуждения не исключают, однако, положительного ответа на поставленный вопрос для некоторых классов функций, удовлетворяющих всем условиям теоремы Лагранжа.
и 90. Доказать неравенства; а) |эгл х — зш у| ( |х — у|; б) ру" (х — у) < хп — уп < ргп (х — у), если О < у < х н р > 1; а — 6 а а — 6 в) ]асс!0 а — асс!К Ь| ( |а — 6|; г) — < !и — < —, если 0 < Ь < а. 6 Ь и По Формуле Лагранжа, имеем: а) э!их — вшу = (х — у! сов 5, откуда |эш х — з!ну| = | сов б[[х — у| ( |х — д|; б) Х1 — уз = р~' (х — у), у ( с < х, откуда (х — у)ру' ( х~ — у~ < (х — у)рх" в) эгсгб а — агссб 6 = —,, (а — ь), откуда [аг«гб а — агсчдЬ| < |а — ь|; г) |п а — (п Ь = 1(а — 6), а < б < Ь, откуда —" ( 1п -', ( — ", г 91. Доказать, что если функция Г" дифференцируема, но не ограничена на конечном интервале ]а, 6[, то ее проиэводнал у' также не ограничена на интервале ]а, 6[.
м Пусть Функция у днфференцируема на ]а, 6[ и не ограничена при х и 6 — О. Возьмем произвольную последовательность (х„), сходящуюся к 6 слева. Тогда существует такой номер 11', что при Чп > 11' выполняется неравенство [г(хп)[ > А, каким бы А > О ни было. Фиксируем любое число ш > У н рассмотрим при и > зп разность у(х ) — у(х, ).
Применяя теорему Лагранжа к функции ) на сегменте [х „х„], находим ! у(Хп) — ((х ) х — х,„ 1пп г" (х) = О, + то 1цп — = О, У(х) т. е. у (х) = о(х) прн х — +ос. ч Пусть (хп) — — произвольная последовательность значений аргумента такая, что .г +оо.
Тогда Чс > 0 ЭЛ': Чп > Л! справедливо неравенство [1 (х„)| < —. Фиксируем па > У и, взяв и > по, применим теорему Лагранжа к функции з' на отрезке [Хпэ, Хп]' ! (Хп) — у(хпп) хп — Х„п (2) где хп, < С, < х В силу неравенства (1), из (2) имеем Г (хп) — ! (Х„) е Хп — Хп, 2 Иэ (3) получаем неравенства Х хп 2 х„ Хп г' где х,„< ~,пп < хп. При достаточно больших и левая частьп в силу условия задачи, больше любого наперед заданного положительного числа, откуда следует неограниченность производной У' цри х — 6 — О.
Обратное утверждение неправильно: иэ неограниченности производной в интервале не следует неограниченность функции на этом интервале, например: Г": х и,/х, О ( х < а. и. 92. Доказать, что если функция )' днфференцируема в бесконечном интервале ]хм +оо[ 1 б. Теоремы Рояля, Лагранжа.
Коши 121 Прп больших и, очевидно, справедливо неравенство У( .) < < —. х„ 2' а [1 — -'-"~-], <,'- всегда при и > по, тогда, используя неравенство (4), пря ие > ет'и'при достаточно больших и > по получим неравенство — Е« Е, У("-) (б) или, ~<е ° В Поскольку (ее) — произвольная бесконечно большая последовательностьь все члены которой положительны, то имеем с 1пп — = О =ь (у'(х) = о(х)) при х +со. И У(") х + о Х 93. Доказать, что если функция 2' дифференпируема в бесконечном интервале ]хе, +со[ и у(х) = е(х) при х +оо, то 1пп [у'(х)[ = О. В частности, если существует Рлп 1 (х) = 12 то Й = О.
и Допустим, что 1пп [у'(х)[ = А, .4 ~ О, о Е о тоска ое (О < е < А) ЗВ такое, что при х > В выполняется неравенство [у'(х)[) А — е. (1) Фиксируем х~ > В и возьмем х > хо. Применяя теорему Лагранжа к функции у' на сегменте [хо, х], получим, принимая во внимание неравенство (1), (2) =[((б)[3А — е, хо <б<х. х — х Переходя в неравенстве (2) к пределу при х +оо, получим 1шо — ) А — е, у(х) а зто противоречит условное ((х) = о(х), Таким образом, А = О, т. е. 1пп ]2'(х)[ = О.
ео Допустим теперь, что сушествует 1пп у'(х) = й. '1'отда дтя произвольной последовательности (хо,), хо, > О, х„, +ос, имеем 1пп у'(х,„) = Й, т. е. Ее > О ВМ такое, что при ет > М выполняется неравенство й — е < у'(х ) < й+е.
(з) Взяв гло > М и оо > то, получим, применив теорему Лагранжа к функции У на сегменте [х,ы, хо~], Х( *.) — Х(х,) = Х (6.), хем < 4'., < х — Хжо Из неравенства (3) следует неравенство У(х .) — Х(х .,) (4) а 152 Гл. 2, Дифференциальное исчисление функций одной переменной Переходя к пределу в неравенстве (4) при и! — ! +со, получим Ь вЂ” з< 1пп — ' — (Й+з. ~~т ) х Поскольку 11ш .',— "1 = О, то получаем Ь вЂ” с < О, Ь+ х > О, откуда, в силу произвольности П*,.
е, следует, что Ь = О. М 94. Доказать, что если функция )' непрерывна на сегменте [а, 6], имеет конечную производную внутри него и не является линейной, то в интервале ]а, 6[ найдется, по меньшей мере, одна такая точка с, по ,Г(6) — Г(а) Ь вЂ” а я разбивая произвольным образом сегмент [а, 6] на я частей точками аа = хо < х! < хг « ... х = 6, получаем ]г(6) — 1(а)~ = ~ ~у(*! ) — г(х,) < ~ ~[)(х; ) — г(х,)]. По формуле Лагранжа имеем г (х,е!) — 1(х,) = г (с,) ггх;, х, < ф < х,е!, ! ы О, я — 1, где гьх, = х,+! — х,.
Таким образом, приходим к неравенству — ! [Х(6) — Х(а)[ < ~ ~]Х'(6)] 2ух !=о Функция Г отлична от линейной, поэтому существует такое разбиение сегмента [а, Ь], что среди чисел ]у'(С,)] найдется наибольшее, отличное от нуля, которое обозначим ] Г~(4)]. Тогда иэ (1) получим строгое неравенство — ! ]Х(6) — Я(а)] < ]Х'(б)[~~! !ах, = (Ь вЂ” аЯ'(Я, =е откуда ]Х~(Ь)] > и(-~ — ~1-1-, и < б < Ь, ы Я5. Доказать, что если функция Х имеет вторую производную на сегменте [а, 6] и У'(а) = Г'(6) = О, то в интервале ]а, 6[ существует, по менылей мсре, одна точка с такая, что Х '(с) >, ]у(6) — у(а)].
и если у(х) = сопзг, то утверждение очевидно. предположим, что функция г' отличив от постоянной. Из условия у'(а) = у'(Ь) = О следует, что Х отлична от линейной функции. ,г Применяя формулу Коши конечных приращений к функциям Г н у! ! х !-!. "— — г1- на сегменте [а, — ) и к функциям 1' н !Ь ! х ! 1 — -'1- на сегменте ) —, Ь), получаем 8 (Г ("~ ) — у(~)) а+Ь а<8! < —; 2 (6 — а)г 8 (Г(ь) - Г (ф)) а+Ь вЂ” <сг < Ь.
2 (Ь вЂ” а)г Складывая полученные равенства, находим 8()'(Ь) — У(а)) У'(б!) Х'(Ьг) Ь вЂ” сг' (6 а)г Ь! — а $5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши Поскольку Х'(а) = Х'(Ь) = б, то правую часть последнего равенства можно записать в виде Х'(6) Х'(4г) Х'(6) — Х'(а) Х'(Ь) — Х'(Ег) л е 6 — а Ь вЂ” ьг 6 — а Ь вЂ” дг где а < гд < 6, 6 < ггг < Ь. Оценивая по абсолютной величине (1), с учетом (2), имеем 8»Х(6) — 1'(а)» <»Х (Ш)»+ [Х (ггг)». Предположим, что Х(Ь) ~ Х(а) (в противном случае доказательство тривиально: точкой с может служить любая точка интервала ]а, 6[).
В силу нашего предположения, котя бы одно из чисел ]Х '(ггг)] или»Хл(цг)» отлично от нуля. Обозначим »Х (с)] = шах(]Х' (лг)», ]Хл(гп))]. Тогда имеем 8»Х(Ь) — Х(а)» (Ь вЂ” а)г откуда [Х (с)» ~ г»Х(6) — Х(а)» (знак равенства не исключаем, так как возможен случай, когда»Хл(гг,)» = »Хл(гтг)[).
° 96. Доказатьг что если вектор-функция г"; »й Е" имеет непрерывную производную иа сегменте [а, 6],то справедливо неравенство »1(6) — 1(а)» < (Ь вЂ” а) шах»Г~(х)». «ь м Функция Г: х ь (г"(6) — т(а))(х — а) — г(х)(6 — а) дифференцнруема на сегменте [а, 6], иа концах сегмента принимает одно и то же значение, поэтому по теореме Ролла 3с б]а, 6[ такое, что Г'(6) = О, или (Г(6) — Г(а)) = (Г'(б), (Г(Ь) — ге(а)))(6 — а).
Оценивая обе части полученного равенства по модулю, приходим к неравенству »У(6) — д(а)» <»д'(б)»(Ь вЂ” а). (1) Поскольку функция !Г'» непрерывна на [а, Ь], то по теореме Вейерштрасса оиа принимает максимальное значение гпах»г"'(х)» в некоторой точке х б [а, 6]. Следовательно, »г'(с)» = гпак»1 (х)», и на основании (1) получаем доказываемое неравенство. М 97. Доказать, что если вектор-функция Р: К Е а) непрерывна на [а, 6]; б) дифференцируема в интервале ]а, Ь», в) производная Р~(х) ф б в ]а, Ь[, то 38 б]а, Ь[ такое, что Р(6) — Р(а) = ЛЕ®, где Л вЂ” некоторая постоянная.
м Пусть Г; х ~ (Х(х), д(х)), (Х(х), д(х)) ~ Е . Тогда функции Х и д, в силу условий а) н б), непрерывны на сегменте [а, 6] и дифференцируемы в интервале ]а, Ь[. Кроме того, (Хг(х)) + (д~(х))~ ф б по условию в). Следовательно, цо теореме Коши, 36 б]а, Ь[ такое, что (Х(Ь) — Х(а))д (ь) = Х (4)(д(6) — д(а)). Если, например, Х'(8) ф б, то Р(ь) — Г(а) = (Х(6) — Х(а), д(6) — д(а)) = (Х'(8), д'(4)) = ЛР'(4)„ Х(6) — Х(а) где Х(Ь) — Х(а) Х'Ы) Упражнения для самостоятельной работы 191. Убедиться на примере функций Х, д, гг, что ни одно из трек условий теоремы Ролля не является излишним, если: — + — ', если а < х < 6, Х ...— ь:." О, солих=а, х=6; 154 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной д:х~ ~х(, — 1(х(1; Зг:х~ сбп, О(х( —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
