И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 38
Текст из файла (страница 38)
+ р > О, 2) функция ь' непрерывна и выпукла снизу, то ь (~З зюз- з .зш зь+лз+ +р / ~ гьоьзО" +з (неравенство Иенсеиа). 276. Доказать, что если функция ь" ь] — оо, +со[ вЂ И непрерывна и выпукла снизу, то Лььзь х ь ах + 6 (а, 6 Е И) такая, что ьзх Е ] — оо, +ос[ справедливо неравенство ь'(х) ) ах+ 6.
188! 3 7. Направление выпуклости графика функции 277. Число Л б Й называется е»аорым производным числом Шварца функции 1 в точке х, если 3(е ) такая, что !пп еь = О, е > О, и ь Л = рп»» -т(1(х+в„) — 2»(х)+1(х — е„)). Доказать, что если все вторые производные числа Шварца непрерывной функции у нрохрицательны, то эта функция выпукла вниз. 278. Доказать, что если »" — выпуклая вниз функция такая, что а ( 1(х) ( 6 вх б [а, 19], и 6 возрастающая выпуклая вниз функция, определенная на [о, »д], то сложиал функция у: х ! 6(1(х)) также является выпуклой вниз. 279. ДОКаэатЬ, Чта ЕСЛИ 1», уз,, уь — ВЫПУКЛЫЕ ВНИЗ фуНКцИИ На ]а, 6[, та фуиуцня )'! х» шах Д(х) также вь»пукла вниз на ]а, 6[. !« 28О.
Если: 1) функция »" »] — оо, +со[ Н выпукла вниз; 2) г(х) > О»1х ~ О; 3) Зр > 1 ! такое, что »(дх) = дву(х), х б] — оо, +оо[, и гд ) О, то функция 6 ! х »-» (У(х))!' является выпуклой вниз на ] — схь +со[. ь 281. Пусть д, > О, а, > О (» = 1, 6), ~ д, = 1. Доказать, что =! ь» и; я"' =! .=! Отсюда, в частности, вывести, что а"6' < да+ (1 — д)Ь Уа„Ь > О (О ( д ( 1). 282. Положив в предыдущем примере ! »-в у! х,е а = » Е хв »-е »=1 получить неравенство Гельдера для сумм ху ( ) хе ~ у! где х! ) О, у! > О.
283. виславе»! ебласп»ью постоянной матрицы А = (а,!), где а»! б С, », 1 = 1, »», называе»ся множество всех комплексных чисел вида 2,' а„х,х„~ ~х»[ = 1, =»»=! где х! = о! +»4в, о„»д! б К (» = — 1). Показать, что для любой матрицы А граница числовой области С на комплексной цлоскости - является выпуклой замкнутой кривой, т. е, отрезок, соединяющей любые две точки кривой, погружен в Н, 286. Матрица А = (а„), », 1' = 1, а, называется эрмищоевй, если А' = А (т. е. а»! ='ав!). Показать, что матрица А является эрмитовой тогда и только тогда, когда ее числовая обяйпуь ' представляет собой отрезок действительной оси.
285. Пусть 1(р(2 и а,,Ь, >О (»=1, и). Тогда (а +6)л 2 а," ~ 6,' ( -! =! ~'(а,+Ь,)в ' ~ а'," » 2 6" ,! 166 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Доказать это. 288. Множество М С Е" векторов ! называется выпуклым в Е", если Чрг, гг б М Л ЧО б [О, 1] ЛГ б М; ОП + (1 — д)$з = Г. При этом множество векторов (й~ + (1 — д)уг, О < д < 1) называется отрезком, соединяющим векторы Г! и Гг. Показать, что множество векторов М = (К(К = (х, у), Г б Е, х > О Л у > О, Щ < 1] является выпуклым в Е .
28 !. Показать, что множество М = (г" ~ Г = (сйп х, соз х), Г б Ег, О < х < -". ) не является выпуклым в Е . 288. П~к~~~ть, что ~и~~~~~~~ М =(Г~Г=(х,, хг,..., гк), Гб Е", ]6[<1) (единичный шар в Ео) является выпуклым множеством в Е". 289. Пусть задана Функция Х ! (У С Е" ! м, где В -- выпуклое подмножество. Функцию ) будем называть выпуклой на Г, если Чх, у б П Л ЧИ б [О, 1] справедливо неравенство ,((Ох + (1 — 0) у) < ОХ(х) + (1 — д)) (у) Показать, что функция 1' ! х е ]х], х б Е", выпукла на Е".
290. Доказать, что если 1' — выпуклая на 6! С Е" функция, то Чх, б В (х, = (хг„хг, х,), х, б Е" ЧВ = 1, и) выполняется неравенство а,х,) < ~ п,у(х,), =1 к гдеа,>б,г=1,н,и ~а,=1. =! 291. Доказать, что если 1 — выпуклая на П функция н г б и, то подмножество В С 11 всед векторов х, для которых 1(х) < г, является выпуклым. 292. Показать, что если компоненты 1",(х) вектор-функции Г являются значениями выпуклых функций 1,, ! = 1, и, на некотором отрезке [а, 6], то функция Е: х ! (!"(х), А), где А — любой постоянный вектор, А = (А!, Аг, ..., А„), А, > О, из Е", также выпукла на [а, 6]. 293.
Показать, что если элементы ап(х) матричной функции А: х ь (а,г(х)), х б [а, 6], являются значениями выпуклых на [а, 6] функций ап: х ь а„(х), то для любой постоянной матрицы В !. неотрицательными элементами функция Е: х ! (А(х), В), х б [а, 6], также выпукла. Под скалярным произведением матриц А и В понимаем величину (А, В) = а<г(х)6сю где 6„— элементы матрицы В (проверить выполнимость аксиом скалярного произведения в Е").
294. Пусть функции а,: х !-! а,(х), 6,: х ! 6,(х) неотрицательны, выпуклы и возрастают на [а, 6] Ч! = 1, н. Показать, что в этом случае функция Е: х ьо (а, Ь) — скалярное произведение векторов а = (а!(х), ..., а (х)), Ъ = (6г(х), ..., 6„(х)) — выпукла на [а, 6]. ~] 8. Раскрытие неопределенностей 8.1. Раскрытие неопределенностей вида —.
Первое правило Лопиталя. е о' Если функции 1" и д определены в некоторой окрестности точки а (х ф а), где а-- число или символ со, и при х а обе стремятся к нулю, а производные )ч и у существуют г1 В случае, когда В огре:юк действительнои оси, это определение выпуклости совпадает с овределением Выпуклости вниз. ! 8. Раскрытие неопределенностей 167 в упомянутой окрестности временно не обращаются в «Ч „од )' за исключением, быть может, самой точки х = а, причем одно- нуль при х ~ а, н существует конечный или бесконечный предел йп1 — = йп1 —, )(х) у (х) -««( ) -«у(х) 8.2.
Раскрытие неопределенностей вида —. Второе правило Лопиталя. Если функции ) и у при х а обе стремятся к бесконечности, а производные )«и д' существуют для всех х, принадлежащих некоторой окрестности точки а и отличных от а, причем (у'(х)) + (д'(х))з ф О в упомянутой окрестности и х ф а, существует конечный или бесконечный предел Ьш —, У (х) *-«д'(х) ' то Бш — ' = 1пп —, 1(х) . ) (х) д(х) у'(х) з то, согласно указанному правилу, ю = —.
М з' Найти пределы: х'+ (1п х + 1) — х х 1 1 — х М Функции 1': х х*+'(1вх -). 1) — х и д 1 х 1 — х, х > О, х ф 1, удовлетворяют следующим условиям: 1) !цп Дх) = 1пп д(х) = О; 1 -1 2) ик производные у"'1 х «х*+'(1п х + 1).(1+ -'+ 1п х) + х* — 1, д': х 1 — 1 существуют при х > О; 3) существует 1пп гз(сг = -2; 4) ()"'(х)) + (д'(х)) т' О при х > О. од ) Следовательно, применимо первое правило Лопнталя, согласно которому имеем !пп х"+'(1п х + 1) — х . 1" (х) =!пп, = — 2.
м 1 1 — х 1 д'(х) 117. 1нп «-1 !ох — х+ 1 и Функции у 1х 1 х" -х и д: х «!их — х+1, х > О, х ф 1, удовлетворяют следующим условиям: 1) 1пп 1(х) = 1нн д(х) = О; з 1 -1 2) производные ~': х 1 х (1пх+ 1) — 1 и д'ох 1 — — 1 существуют в достаточно малой окрестности точки х = 1; 3) (У (х)) + (д'(х)) ~ О, х ~ 1,в указанной окрестности; 4) согласно предыдущему примеру, существует конечный предел йш —, = 1пп ('(х), х«ы(1п х+ 1) — х = — 2. 1 д'(х) 1 1 — х Следовательно, применимо первое правило Лопиталя, и мы имеем )'(х) и, х + (!их+1) — х !нп — = 1цп = — 2, м -1 д(х) 1 — х 1Г1 118. ю = йш — ~ — — — (, *-о х ( 1Ьх сдх ) М Преобразуя функцию и: х 1 — ( —,„— — 1), х 6 К'1(О), к виду а: х,ь «и« замечаем, что функции у 1х «сЬхсйа х — ейхсозх, д: х 1 хзЬхзш х удовлетворяют условиям первого правила 1!опнталя. Поскольку существует Х'(х) .
'2зЬхйп х Ьп1 —, = !1ш Ь е«* -о д (х) . — зЬхз1л х+х(сЬхз!их + айхсозх) — '— " *— '"* + сЬхе" + '1' созх 1ба Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменкой замечание. длл нахождения 1оп ЦЦ можно было бы применить правило лопнталя (лважлы), 001 ! однако здесь, как и в других подобных примерах, улобнее (с вычислительной точки зрения) пользоваться еамечатеаьиыми пределами. 1 119.
чг = Гйп е *2 х !00 х« -+а ! < Поскольку для вектор-функции 1 / — 100 — 1 2 — 100 ° — 1 лж Гив е 'х сх = 1пп с 'х, йш х — !0 (, / 1,-+0 +0 то находим пределы каждой нз компонент в отдельности, Имеем 1 00 1ш! е 'х '00 «и 11ш — = 50! 1ш! е " ж 0 0 +сю ех Х + (здесь второе правило Лопиталя применено 50 раз). Для второй компоненты предварительно применяем представление а" = е" "", и > О, и проводим некоторое преобразование с тем, чтобы можно было воспользоваться правилом Лоп игала: *! «!02 * 1 й!ах" = Иш с ~ уже 2 — =О, 1 2 2 1п х .
—, — 2!а х !пп — х 2 +0 х 1п х !пп —, = !пп *-+0 Х ' -+0 1пп +0 е — 1 , е — 1 !и* с Гип Гип +0 х1пх с — 0 Поэтому окончательно н» = (О, 1). И 1 120. - ! '((» " ), (-, ),!и г). М Для нахождения предела вектор — функции вычисляем пределы каждой из ее компонент. Поскольку компоненты представляют собой степенно — показательные выражения, то приме- НяЕМ ПрЕдСтаВЛЕНИЕ и' = Е" 10 ", О > О, И, ПрИВЕдя СООтВЕтСтаущщИЕ НЕОПрсдЕЛЕННОСтн К ВИду 0 0' —, пользуемся правилом Лопиталя. Имеем 1 ( л»' ) ! -2 й ~1 ш ~~$ 2.
+1! 2«+1 (2 +1!2 ) жс «-+сю ~ 2х+ 1 л и 2 +1 1 иии йш — =О, 2х+1 /2 ! (й .«х*) йп! ( — агсьдх) = е -+ = е', .!. со сг ! 1 1+ 2 и»с!х где х= йш «Е о йш (!!!х) = йш е ( =е, -1- сю + ос -+0 — !0 (Здесь мы воспользовались непрерывностью функции х» с и теоремой о пределе произве- 2, !»2 дения). Для нахождения о = 1нп х1л х = Гип —,, применяем второе, а для нахождения +0 -+0 ' -1 6 = Гйп ' — первое правило Лоииталя. Имеем =.
+О 1 8, Раскрытие неопределенностей где 1 1 з) = !па 'ь,'ь = -2 1пп +ь -т + х 2 з — = -2 1пп — = О.'" в!1 2х ь-+ьь с!1 2к !пп в !п(Ь!3 + Следовательно, «г = 1, е, 1 121. Найти предел матричной функции < 1 (ь'" ) ь (АоЬ ) 1 (ььмб ) 1 (1.1 13 х Е) — 1, 1['1(О), з зсовв — в!пв, всовв — впгх, — звпгк 1 2 3 Ш 2 -О 2хйпх гг *-о 2хз ь о бхг 6 Аналогично получаем для всех других элементов: 1 !пп( * )* =е, — = йгл— О Хг -а ьзв 2х з в — (1+ зг) агс!бх, — 2загсбб х 1 = йп 3 ь О 2хз ь-о бзз 3' А ьЬ 1 х — Агв!г в !а —, г *-о хг о А-ь* 2зз 1Аьььь 2 йзп !Ь вЂ” Г! =е, 3= о 1 . х — в(з) 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
